Ελάχιστη απόσταση

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9112
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστη απόσταση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 05, 2017 1:29 pm

Μικρή  απόσταση.png
Μικρή απόσταση.png (8.52 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές
Εισαγωγή : Βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών AB και CD του σχήματος .

Ευθεία διερχόμενη από την αρχή των αξόνων , τέμνει τις άλλες στα S,P .

Δεν είναι πλέον δύσκολο για σας να βρείτε την ελάχιστη τιμή του (SP) :mad:

Αν όμως σας φαίνεται κάπως δύσκολο , βρείτε πότε το (SP) ισούται με 2 .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6095
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστη απόσταση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 05, 2017 4:57 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 05, 2017 1:29 pm
Μικρή απόσταση.pngΕισαγωγή : Βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών AB και CD του σχήματος .

Ευθεία διερχόμενη από την αρχή των αξόνων , τέμνει τις άλλες στα S,P .

Δεν είναι πλέον δύσκολο για σας να βρείτε την ελάχιστη τιμή του (SP) :mad:

Αν όμως σας φαίνεται κάπως δύσκολο , βρείτε πότε το (SP) ισούται με 2 .
Ελάχιστη απόσταση...png
Ελάχιστη απόσταση...png (10.8 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές
\displaystyle AB:\frac{x}{6} + \frac{y}{4} = 1 και \displaystyle CD:\frac{x}{{12}} + \frac{y}{{6}} = 1. Έστω y=ax ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και τέμνει

τις δύο ευθείες στα σημεία \displaystyle S\left( {\frac{{12}}{{3a + 2}},\frac{{12a}}{{3a + 2}}} \right),P\left( {\frac{{12}}{{2a + 1}},\frac{{12a}}{{2a + 1}}} \right)

\displaystyle S{P^2} = 144{\left( {\frac{1}{{2a + 1}} - \frac{1}{{3a + 2}}} \right)^2} + 144{a^2}{\left( {\frac{1}{{2a + 1}} - \frac{1}{{3a + 2}}} \right)^2} = \frac{{144{{(a + 1)}^2}({a^2} + 1)}}{{{{(2a + 1)}^2}{{(3a + 2)}^2}}} \Leftrightarrow

\boxed{SP = f(a) = \frac{{12|a + 1|\sqrt {{a^2} + 1} }}{{(2a + 1)(3a + 2)}}} Με λογισμικό βρίσκω για \boxed{a\simeq 4.4808} ελάχιστη τιμή \boxed{SP_m_i_n\simeq 1.9628}

Πράγματι, η ευθεία \boxed{x=0}, που επίσης διέρχεται από την αρχή των αξόνων αποκόπτει από τις δύο άλλες ευθείες τμήμα

μήκους BD=2>1.9628. Οι άλλες ευθείες της μορφής y=ax, για τις οποίες είναι SP=2 βρίσκονται από τις

ρίζες της εξίσωσης: \displaystyle \frac{{12|a + 1|\sqrt {{a^2} + 1} }}{{(2a + 1(3a + 2)}} = 2 \Leftrightarrow 12{a^3} + {a^2} - 44a - 32 = 0 \Leftrightarrow (3a + 4)(4{a^2} - 5a - 8) = 0

Έχουμε λοιπόν τις ευθείες: \boxed{y =  - \frac{4}{3}x}, \boxed{y = \left( {\frac{{5 + 3\sqrt {17} }}{8}} \right)x}, \boxed{y = \left( {\frac{{5 - 3\sqrt {17} }}{8}} \right)x}


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ελάχιστη απόσταση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Δεκ 05, 2017 10:46 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Δεκ 05, 2017 4:57 pm

\boxed{SP = f(a) = \frac{{12|a + 1|\sqrt {{a^2} + 1} }}{{(2a + 1)(3a + 2)}}} Με λογισμικό βρίσκω για \boxed{a\simeq 4.4808} ελάχιστη τιμή \boxed{SP_m_i_n\simeq 1.9628}
Μήπως μου διαφεύγει κάτι; Για a=-1 παίρνουμε SP=0.
Απλά αν το δούμε οι δύο ευθείες έχουν διαφορετική κλίση και επομένως θα τέμνονται.
Το σημείο τομής τους είναι το (-12,12). Από εκεί περνάει η ευθεία y=-x και τότε θα είναι SP=0 αφού τα S,P θα ταυτίζονται.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9668
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελάχιστη απόσταση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 05, 2017 11:14 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:
Τρί Δεκ 05, 2017 10:46 pm
Μήπως μου διαφεύγει κάτι; Για a=-1 παίρνουμε SP=0.
Απλά αν το δούμε οι δύο ευθείες έχουν διαφορετική κλίση και επομένως θα τέμνονται.
Το σημείο τομής τους είναι το (-12,12). Από εκεί περνάει η ευθεία y=-x και τότε θα είναι SP=0 αφού τα S,P θα ταυτίζονται.
Δεν σου διαφεύγει κάτι αλλά, νομίζω πως εξυπακούεται, ο θεματοθέτης εννοεί το α' τεταρτημόριο. Ακριβώς για να αποφευχθεί η τετριμμένη περίπτωση.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ελάχιστη απόσταση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Δεκ 05, 2017 11:23 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Δεκ 05, 2017 11:14 pm

Δεν σου διαφεύγει κάτι αλλά, νομίζω πως εξυπακούεται, ο θεματοθέτης εννοεί το α' τεταρτημόριο. Ακριβώς για να αποφευχθεί η τετριμμένη περίπτωση.
Ευχαριστώ κ.Λάμπρου.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9112
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ελάχιστη απόσταση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Δεκ 06, 2017 7:40 am

Δεν σας κρύβω ότι όταν "σκάρωνα" την άσκηση , αρχικά είχα σκεφθεί τη λύση στο πρώτο

τεταρτημόριο , με το διασκεδαστικό να εντοπίζεται στην απροσδόκητη δυσκολία της λύσης .

Όταν όμως πρόσθεσα το δεύτερο ερώτημα , το οποίο έχει 4 λύσεις , ανακάλυψα ότι περισσότερη

"διασκέδαση " , θα βγει από το γεγονός ότι η προφανής απάντηση στο πρώτο ερώτημα που είναι

μηδέν , πιθανόν να ξεφύγει από τους λύτες .

Βλέποντας την απάντηση του Γιώργου του επεσήμανα αμέσως το παραπάνω . Αλλά ο τρομερός Βισβίκης -

παρότι συμφώνησε - για λόγους αξιοπρέπειας υποθέτω , δεν θέλησε να προβεί στη συμπλήρωση :clap2:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: KARKAR και 1 επισκέπτης