Ελάχιστη απόσταση

KARKAR · #1

: Μικρή απόσταση.png (8.52 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές

Εισαγωγή : Βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών

και

του σχήματος .

Ευθεία διερχόμενη από την αρχή των αξόνων , τέμνει τις άλλες στα S,P

.

Δεν είναι πλέον δύσκολο για σας να βρείτε την ελάχιστη τιμή του (SP)

Αν όμως σας φαίνεται κάπως δύσκολο , βρείτε πότε το (SP)

ισούται με

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 05, 2017 1:29 pm
Μικρή απόσταση.pngΕισαγωγή : Βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών και του σχήματος .

Ευθεία διερχόμενη από την αρχή των αξόνων , τέμνει τις άλλες στα .

Δεν είναι πλέον δύσκολο για σας να βρείτε την ελάχιστη τιμή του

Αν όμως σας φαίνεται κάπως δύσκολο , βρείτε πότε το ισούται με .

: Ελάχιστη απόσταση...png (10.8 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές

$\displaystyle AB:\frac{x}{6} + \frac{y}{4} = 1$ και $\displaystyle CD:\frac{x}{{12}} + \frac{y}{{6}} = 1.$ Έστω y=ax

ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και τέμνει

τις δύο ευθείες στα σημεία $\displaystyle S\left( {\frac{{12}}{{3a + 2}},\frac{{12a}}{{3a + 2}}} \right),P\left( {\frac{{12}}{{2a + 1}},\frac{{12a}}{{2a + 1}}} \right)$

$\displaystyle S{P^2} = 144{\left( {\frac{1}{{2a + 1}} - \frac{1}{{3a + 2}}} \right)^2} + 144{a^2}{\left( {\frac{1}{{2a + 1}} - \frac{1}{{3a + 2}}} \right)^2} = \frac{{144{{(a + 1)}^2}({a^2} + 1)}}{{{{(2a + 1)}^2}{{(3a + 2)}^2}}} \Leftrightarrow$

$\boxed{SP = f(a) = \frac{{12|a + 1|\sqrt {{a^2} + 1} }}{{(2a + 1)(3a + 2)}}}$ Με λογισμικό βρίσκω για $\boxed{a\simeq 4.4808}$ ελάχιστη τιμή $\boxed{SP_m_i_n\simeq 1.9628}$

Πράγματι, η ευθεία $\boxed{x=0},$ που επίσης διέρχεται από την αρχή των αξόνων αποκόπτει από τις δύο άλλες ευθείες τμήμα

μήκους BD=2>1.9628.

Οι άλλες ευθείες της μορφής y=ax,

για τις οποίες είναι SP=2

βρίσκονται από τις

ρίζες της εξίσωσης: $\displaystyle \frac{{12|a + 1|\sqrt {{a^2} + 1} }}{{(2a + 1(3a + 2)}} = 2 \Leftrightarrow 12{a^3} + {a^2} - 44a - 32 = 0 \Leftrightarrow (3a + 4)(4{a^2} - 5a - 8) = 0$

Έχουμε λοιπόν τις ευθείες: $\boxed{y = - \frac{4}{3}x},$ $\boxed{y = \left( {\frac{{5 + 3\sqrt {17} }}{8}} \right)x},$ $\boxed{y = \left( {\frac{{5 - 3\sqrt {17} }}{8}} \right)x}$

Λάμπρος Κατσάπας · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 05, 2017 4:57 pm

$\boxed{SP = f(a) = \frac{{12|a + 1|\sqrt {{a^2} + 1} }}{{(2a + 1)(3a + 2)}}}$ Με λογισμικό βρίσκω για $\boxed{a\simeq 4.4808}$ ελάχιστη τιμή $\boxed{SP_m_i_n\simeq 1.9628}$

Μήπως μου διαφεύγει κάτι; Για a=-1

παίρνουμε

.
Απλά αν το δούμε οι δύο ευθείες έχουν διαφορετική κλίση και επομένως θα τέμνονται.
Το σημείο τομής τους είναι το (-12,12)

. Από εκεί περνάει η ευθεία y=-x

και τότε θα είναι SP=0

αφού τα

θα ταυτίζονται.

#4

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 05, 2017 10:46 pm
Μήπως μου διαφεύγει κάτι; Για παίρνουμε .
Απλά αν το δούμε οι δύο ευθείες έχουν διαφορετική κλίση και επομένως θα τέμνονται.
Το σημείο τομής τους είναι το . Από εκεί περνάει η ευθεία και τότε θα είναι αφού τα θα ταυτίζονται.

Δεν σου διαφεύγει κάτι αλλά, νομίζω πως εξυπακούεται, ο θεματοθέτης εννοεί το α' τεταρτημόριο. Ακριβώς για να αποφευχθεί η τετριμμένη περίπτωση.

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 05, 2017 11:14 pm

Δεν σου διαφεύγει κάτι αλλά, νομίζω πως εξυπακούεται, ο θεματοθέτης εννοεί το α' τεταρτημόριο. Ακριβώς για να αποφευχθεί η τετριμμένη περίπτωση.

Ευχαριστώ κ.Λάμπρου.

KARKAR · #6

Δεν σας κρύβω ότι όταν "σκάρωνα" την άσκηση , αρχικά είχα σκεφθεί τη λύση στο πρώτο

τεταρτημόριο , με το διασκεδαστικό να εντοπίζεται στην απροσδόκητη δυσκολία της λύσης .

Όταν όμως πρόσθεσα το δεύτερο ερώτημα , το οποίο έχει

λύσεις , ανακάλυψα ότι περισσότερη

"διασκέδαση " , θα βγει από το γεγονός ότι η προφανής απάντηση στο πρώτο ερώτημα που είναι

μηδέν , πιθανόν να ξεφύγει από τους λύτες .

Βλέποντας την απάντηση του Γιώργου του επεσήμανα αμέσως το παραπάνω . Αλλά ο τρομερός Βισβίκης -

παρότι συμφώνησε - για λόγους αξιοπρέπειας υποθέτω , δεν θέλησε να προβεί στη συμπλήρωση

Ελάχιστη απόσταση

Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Re: Ελάχιστη απόσταση

Μέλη σε σύνδεση