Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

M.S.Vovos · #41

siobaras έγραψε:Σημείωση εκ των προτέρων: Αν τυχόν και τα Δ1, Δ3 είναι γνωστά ερωτήματα που υπάρχουν ήδη, παρακαλώ μη χιμήξετε, είμαι ειλικρινής ότι δεν τα πήρα από κάπου.
Κατά τα άλλα, κράξτε ελεύθερα!

Δεν μπορώ να καταλάβω για τι ανθρώπους μας έχετε περάσει. Δεν νομίζετε ότι είναι λίγο προσβλητικό να χρησιμοποιούνται τέτοιες εκφράσεις;

Ο κ. Γρηγόρης δημιούργησε το παρών θέμα για συγκεκριμένους λόγους:

Δεν μπορούμε να "κράζουμε", όπως λέτε, τα θέματα με χαρακτηριστική άνεση, αν πρώτα δεν έχουμε μπει στη διαδικασία κατασκευής ενός τέτοιου προβλήματος.

Και όχι για να "κράζουμε" τη δουλειά του άλλου.

siobaras · #42

M.S.Vovos έγραψε:
siobaras έγραψε:Σημείωση εκ των προτέρων: Αν τυχόν και τα Δ1, Δ3 είναι γνωστά ερωτήματα που υπάρχουν ήδη, παρακαλώ μη χιμήξετε, είμαι ειλικρινής ότι δεν τα πήρα από κάπου.
Κατά τα άλλα, κράξτε ελεύθερα!
Δεν μπορώ να καταλάβω για τι ανθρώπους μας έχετε περάσει. Δεν νομίζετε ότι είναι λίγο προσβλητικό να χρησιμοποιούνται τέτοιες εκφράσεις;

Ο κ. Γρηγόρης δημιούργησε το παρών θέμα για συγκεκριμένους λόγους:

Δεν μπορούμε να "κράζουμε", όπως λέτε, τα θέματα με χαρακτηριστική άνεση, αν πρώτα δεν έχουμε μπει στη διαδικασία κατασκευής ενός τέτοιου προβλήματος.

Και όχι για να "κράζουμε" τη δουλειά του άλλου.

Κράξτε αν κάτι δε σας αρέσει, εννοώ. Αλλά μη με κράξετε ότι την έκλεψα χωρίς να το λέω, γιατί, ειλικρινά, δεν την έχω δει από κάπου (τα Δ1 & Δ3).
Κάποιος που παρακολούθησε το άλλο θέμα μπορεί να έμεινε με την εντύπωση ότι δεν αντιδρώ καλά στην κριτική.

Δεν προσβάλλω κανέναν. Αν (ΑΝ) είσαι ακόμα θυμωμένος (απαντώ στον ενικό, διότι έτσι ξεκίνησες την επικοινωνία μας) προσπάθησε να μην αρπάζεσαι με το παραμικρό. Παρακολουθώ το site πολύ καιρό παρά τα λίγα posts μου και έχω μεγάλη εκτίμηση σε πάρα πολλά από τα μέλη του.
(Άλλωστε από το διαγώνισμα του κ.Μαυρογιάννη είναι το θέμα Δ4, που διαφώνησε μαζί μου στο άλλο topic).

Αν έχεις κανένα σχόλιο για το θέμα, με χαρά να το ακούσω.

mikemoke · #43

siobaras έγραψε:Θα βάλω αυτό που έβαλα στο διαγώνισμα προσομοίωσης του σχολείου μου, σχολιάζοντας ενδιάμεσα και στο τέλος το σκεπτικό μου.
Θα χαρώ να ακούσω γνώμες (όχι απαραίτητα θετικές).

Τα ερωτήματα Δ1 και Δ3 τα σκέφτηκα μόνος μου (αν και δεν αποκλείω να υπάρχει κάτι αντίστοιχο κάπου, είναι πολύ "λιτές" προτάσεις). Το Δ2 είναι πασίγνωστη ιδιότητα, φυσικά, αλλά μου ταίριαζε και το Δ4 το έκλεψα από το περσινό διαγώνισμα προσομοίωσης της Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης (το έχω δει και αλλού, αλλά δε θυμάμαι την πηγή και δεν ξέρω σε ποιον άλλον να αποδώσω τα εύσημα).

Θεωρούμε μια συνάρτηση , κοίλη στο με .
Στο Δ4 συνεχίζει να ισχύει το
Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα.

(Εξετάζει Bolzano ή ΘΕΤ, ορισμό κοίλης και θ.Rolle με τη λύση μου)

Δ.2 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από την ευθεία για κάθε $x \in(a,b)$ , όπου

(Εξετάζει ΘΜΤ, μονοτονία, μελέτη προσήμου συνάρτησης)

Δ.3 Αν επιπλέον δίνεται ότι , να δείξετε ότι $\int _{a} ^{b} f(x)dx > 0$

(Εξετάζει υπολογισμό απλού ολοκληρώματος και ανισοτικές σχέσεις σε ολοκληρώματα)

Δ.4 Υποθέτουμε επιπλέον ότι $f''(x)<0, x \in[a,b]$ . Έστω $t \in[a,b]$ και το εμβαδό μεταξύ της , την εφαπτομένη της στο και τις ευθείες . Να βρείτε την τιμή του για την οποία το γίνεται ελάχιστο.

(Εξετάζει την ιδιότητα κοίλης-εφαπτομένης, υπολογισμό ολοκληρώματος και μελέτη μονοτονίας - ακροτάτων)

Δικό μου σχόλιο: Στα αρνητικά, δε μου πολυαρέσει που το Δ4 έχει κοινά πεδία που εξετάζει με προηγούμενο ερώτημα.
Κατά τα άλλα, με ικανοποιεί αισθητικά το ότι υπάρχει γεωμετρική ερμηνεία των ζητουμένων. Αυτός είναι και ο λόγος που αποφάσισα να βάλω και το Δ4, παρά την παραπάνω "σύγκρουση".

Σημείωση εκ των προτέρων: Αν τυχόν και τα Δ1, Δ3 είναι γνωστά ερωτήματα που υπάρχουν ήδη, παρακαλώ μη χιμήξετε, είμαι ειλικρινής ότι δεν τα πήρα από κάπου.
Κατά τα άλλα, κράξτε ελεύθερα!

Στο Δ4 ισχύει το ότι f(a)=-f(b)

από το Δ3;

siobaras · #44

mikemoke έγραψε:
siobaras έγραψε:Θα βάλω αυτό που έβαλα στο διαγώνισμα προσομοίωσης του σχολείου μου, σχολιάζοντας ενδιάμεσα και στο τέλος το σκεπτικό μου.
Θα χαρώ να ακούσω γνώμες (όχι απαραίτητα θετικές).

Τα ερωτήματα Δ1 και Δ3 τα σκέφτηκα μόνος μου (αν και δεν αποκλείω να υπάρχει κάτι αντίστοιχο κάπου, είναι πολύ "λιτές" προτάσεις). Το Δ2 είναι πασίγνωστη ιδιότητα, φυσικά, αλλά μου ταίριαζε και το Δ4 το έκλεψα από το περσινό διαγώνισμα προσομοίωσης της Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης (το έχω δει και αλλού, αλλά δε θυμάμαι την πηγή και δεν ξέρω σε ποιον άλλον να αποδώσω τα εύσημα).

Θεωρούμε μια συνάρτηση , κοίλη στο με .
Στο Δ4 συνεχίζει να ισχύει το
Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα.

(Εξετάζει Bolzano ή ΘΕΤ, ορισμό κοίλης και θ.Rolle με τη λύση μου)

Δ.2 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από την ευθεία για κάθε $x \in(a,b)$ , όπου

(Εξετάζει ΘΜΤ, μονοτονία, μελέτη προσήμου συνάρτησης)

Δ.3 Αν επιπλέον δίνεται ότι , να δείξετε ότι $\int _{a} ^{b} f(x)dx > 0$

(Εξετάζει υπολογισμό απλού ολοκληρώματος και ανισοτικές σχέσεις σε ολοκληρώματα)

Δ.4 Υποθέτουμε επιπλέον ότι $f''(x)<0, x \in[a,b]$ . Έστω $t \in[a,b]$ και το εμβαδό μεταξύ της , την εφαπτομένη της στο και τις ευθείες . Να βρείτε την τιμή του για την οποία το γίνεται ελάχιστο.

(Εξετάζει την ιδιότητα κοίλης-εφαπτομένης, υπολογισμό ολοκληρώματος και μελέτη μονοτονίας - ακροτάτων)

Δικό μου σχόλιο: Στα αρνητικά, δε μου πολυαρέσει που το Δ4 έχει κοινά πεδία που εξετάζει με προηγούμενο ερώτημα.
Κατά τα άλλα, με ικανοποιεί αισθητικά το ότι υπάρχει γεωμετρική ερμηνεία των ζητουμένων. Αυτός είναι και ο λόγος που αποφάσισα να βάλω και το Δ4, παρά την παραπάνω "σύγκρουση".

Σημείωση εκ των προτέρων: Αν τυχόν και τα Δ1, Δ3 είναι γνωστά ερωτήματα που υπάρχουν ήδη, παρακαλώ μη χιμήξετε, είμαι ειλικρινής ότι δεν τα πήρα από κάπου.
Κατά τα άλλα, κράξτε ελεύθερα!
Στο Δ4 ισχύει το ότι από το Δ3;

Όχι, δεν ισχύει, είναι δεδομένο μόνο για το Δ3. Το Δ4 έχει μόνο επιπλέον δεδομένο των αρχικών το ότι $f''(x)<0, x \in[a,b]$ .

Al.Koutsouridis · #45

Μια προσπάθεια για θέμα, κλεμμένη από εισαγωγικές εξετάσεις άλλης χώρας. Περισσότερο για κάποιες ιδέες, όχι άγνωστες.

Θέμα Δ

Δίνονται οι συναρτήσεις f,g

που ορίζονται από τις σχέσεις

$f(x) = x+1-\sin x$

$g(x) = \dfrac{\ln \left | \sin x -1 \right |}{\ln 2}$

όπου

πραγματική μεταβλητή.

Δ1) Να προσδιορίσετε το πεδίου ορισμού της

καθώς και το σύνολο τιμών της.

Δ2) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της

και να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία στα διάστηματα της μορφής
$(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, \dfrac{3\pi}{2} +2k\pi) , k \in \mathbb{Z}$ .

Δ3) Να βρείτε το ελάχιστο $k \in \mathbb{Z}$ ώστε η εξίσωση

$x+1 - \sin x + \dfrac{\ln \left | \sin x -1 \right |}{\ln 2} = 0$ να έχει λύση σε διάστημα της μορφής $(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, \dfrac{3\pi}{2} +2k\pi)$ , $x \in \mathbb{R}$ .

Δ4) Να προσδιορίσετε τις τιμές της πραγματικής παραμέτρου

για τις οποίες η εξίσωση

$\sin \left ( x- a \ln \left | x \right | \right ) = x+1$

έχει άπειρες ρίζες ως προς $x \in \mathbb{R}$ .

Να σημειώσω ότι το "Αμ΄ έπος αμ΄ έργον" είναι και το ρητό του Μηχανικού Στρατού στο οποίο υπηρέτησα. Στη δε μονάδα (15η Ταξιαρχία Πεζικού) είχαμε σαν ρητό το "και ούτος αριθμός ικανός", σε περίπτωση που παραπονεθεί κανείς για την δυσκολία

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #46

siobaras έγραψε: Θεωρούμε μια συνάρτηση , κοίλη στο με .

Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα.

(Εξετάζει Bolzano ή ΘΕΤ, ορισμό κοίλης και θ.Rolle με τη λύση μου)

Δ.2 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από την ευθεία για κάθε $x \in(a,b)$ , όπου

(Εξετάζει ΘΜΤ, μονοτονία, μελέτη προσήμου συνάρτησης)

Δ.3 Αν επιπλέον δίνεται ότι , να δείξετε ότι $\int _{a} ^{b} f(x)dx > 0$

(Εξετάζει υπολογισμό απλού ολοκληρώματος και ανισοτικές σχέσεις σε ολοκληρώματα)

Δ.4 Υποθέτουμε επιπλέον ότι $f''(x)<0, x \in[a,b]$ . Έστω $t \in[a,b]$ και το εμβαδό μεταξύ της , την εφαπτομένη της στο και τις ευθείες . Να βρείτε την τιμή του για την οποία το γίνεται ελάχιστο.

Δ1.Από Bolzano έχει τουλάχιστον μία ρίζα.Εστω c<d

δύο ρίζες.Αν εφαρμόσουμε Rolle στο [c,d]

τότε υπάρχει

$v\in (c,d)$ με f'(v)=0

Αλλά η

είναι γνησίως φθίνουσα.Αρα $x>v\Rightarrow f'(x)< 0$

Αρα και η

είναι γνησίως φθίνουσα στο [v,b]

.

Παίρνουμε f(b)< f(d)=0

που είναι ΑΤΟΠΟ.

Αρα έχει ακριβώς μια ρίζα.

Δ2 Αν θέσουμε $g(x)=f(b)\dfrac{x-a}{b-a}+f(a)\dfrac{x-b}{a-b},x\in [a,b]$

η γραφική παράσταση της

είναι το ευθύγραμμο τμήμα

.

Πρέπει να δείξουμε ότι $x\in (a,b)\Rightarrow h(x)=f(x)-g(x)> 0$

Είναι h(a)=h(b)=0

. Επίσης

όπου

σταθερός αριθμός που εξαρτάται από τα a,b

Αρα η

είναι γνησίως φθίνουσα.

Η

σαν συνεχής θα έχει ολικό ελάχιστο σε ένα $k\in [a,b]$

Αν $k\in (a,b)$ τότε f'(k)=0

και $x> k\Rightarrow f'(x)< 0,x< k\Rightarrow f'(x)> 0$

που σημαίνει ότι στο

έχουμε ολικό μέγιστο.ΑΤΟΠΟ.

Αφού h(a)=h(b)=0

το ολικό ελάχιστο είναι στα a,b

και το ζητούμενο είναι άμεσο.

Δ3.Από το Δ2 έχουμε $f(x)>f(b)\dfrac{x-a}{b-a}+f(a)\dfrac{x-b}{a-b}$ για $x\in (a,b)$

Ολοκληρώνοντας και λαμβάνοντας υπ όψιν ότι f(a)=-f(b)

παίρνουμε το ζητούμενο.

Ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων είναι εύκολος και μπορεί να βγει και γεωμετρικά αφού έχουμε τρίγωνα.

Δ4Προσθέτωντας στην

μια σταθερά τίποτα δεν αλλάζει ως προς τα μέγιστα και ελάχιστα των εμβαδών.Ετσι μπορούμε να

θεωρήσουμε ότι $f(x)\geq 0$
(δεν χρειάζεται αλλά για να γίνει πιο σαφές)

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο (t,f(t)

είναι

Για

δίνει

ενώ για

δίνει

.

Προφανώς το ζητούμενο εμβαδό ελαχιστοποιείται όταν ελαχιστοποιείθει το εμβαδόν που τραπεζίου που ορίζεται από τα

(a,0),(b,0)

και τα σημεία που τέμνει η εφαπτομένη τις x=a,x=b

(είναι το ζητούμενο εμβαδό μαζί με το ολοκλήρωμα της

που είναι σταθερό)

Το εμβαδό αυτό είναι $\dfrac{b-a}{2}(2f(t)+f'(t)(a+b-2t))$

Θα δείξουμε ότι ελαχιστοποιείται όταν $t=\dfrac{a+b}{2}$

Aφου

κοίλη βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη.

Αρα $f(t)+f'(t)(\frac{a+b}{2}-t)\geq f(\frac{a+b}{2})$

Ετσι $\dfrac{b-a}{2}(2f(t)+f'(t)(a+b-2t))\geq\dfrac{b-a}{2}2 f(\frac{a+b}{2})$ με ισότητα αν $t=\dfrac{a+b}{2}$

Δεν χρειάζεται πουθενά η δεύτερη παράγωγος.

siobaras · #47

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
siobaras έγραψε: Θεωρούμε μια συνάρτηση , κοίλη στο με .

Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα.

(Εξετάζει Bolzano ή ΘΕΤ, ορισμό κοίλης και θ.Rolle με τη λύση μου)

Δ.2 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από την ευθεία για κάθε $x \in(a,b)$ , όπου

(Εξετάζει ΘΜΤ, μονοτονία, μελέτη προσήμου συνάρτησης)

Δ.3 Αν επιπλέον δίνεται ότι , να δείξετε ότι $\int _{a} ^{b} f(x)dx > 0$

(Εξετάζει υπολογισμό απλού ολοκληρώματος και ανισοτικές σχέσεις σε ολοκληρώματα)

Δ.4 Υποθέτουμε επιπλέον ότι $f''(x)<0, x \in[a,b]$ . Έστω $t \in[a,b]$ και το εμβαδό μεταξύ της , την εφαπτομένη της στο και τις ευθείες . Να βρείτε την τιμή του για την οποία το γίνεται ελάχιστο.

Δ1.Από Bolzano έχει τουλάχιστον μία ρίζα.Εστω δύο ρίζες.Αν εφαρμόσουμε Rolle στο τότε υπάρχει

$v\in (c,d)$ με

Αλλά η είναι γνησίως φθίνουσα.Αρα $x>v\Rightarrow f'(x)< 0$

Αρα και η είναι γνησίως φθίνουσα στο .

Παίρνουμε που είναι ΑΤΟΠΟ.

Αρα έχει ακριβώς μια ρίζα.

Δ2 Αν θέσουμε $g(x)=f(b)\dfrac{x-a}{b-a}+f(a)\dfrac{x-b}{a-b},x\in [a,b]$

η γραφική παράσταση της είναι το ευθύγραμμο τμήμα .

Πρέπει να δείξουμε ότι $x\in (a,b)\Rightarrow h(x)=f(x)-g(x)> 0$

Είναι . Επίσης όπου σταθερός αριθμός που εξαρτάται από τα

Αρα η είναι γνησίως φθίνουσα.

Η σαν συνεχής θα έχει ολικό ελάχιστο σε ένα $k\in [a,b]$

Αν $k\in (a,b)$ τότε και $x> k\Rightarrow f'(x)< 0,x< k\Rightarrow f'(x)> 0$

που σημαίνει ότι στο έχουμε ολικό μέγιστο.ΑΤΟΠΟ.

Αφού το ολικό ελάχιστο είναι στα και το ζητούμενο είναι άμεσο.

Δ3.Από το Δ2 έχουμε $f(x)>f(b)\dfrac{x-a}{b-a}+f(a)\dfrac{x-b}{a-b}$ για $x\in (a,b)$

Ολοκληρώνοντας και λαμβάνοντας υπ όψιν ότι παίρνουμε το ζητούμενο.

Ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων είναι εύκολος και μπορεί να βγει και γεωμετρικά αφού έχουμε τρίγωνα.

Δ4Προσθέτωντας στην μια σταθερά τίποτα δεν αλλάζει ως προς τα μέγιστα και ελάχιστα των εμβαδών.Ετσι μπορούμε να

θεωρήσουμε ότι $f(x)\geq 0$
(δεν χρειάζεται αλλά για να γίνει πιο σαφές)

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο είναι

Για δίνει ενώ για δίνει .

Προφανώς το ζητούμενο εμβαδό ελαχιστοποιείται όταν ελαχιστοποιείθει το εμβαδόν που τραπεζίου που ορίζεται από τα

και τα σημεία που τέμνει η εφαπτομένη τις

(είναι το ζητούμενο εμβαδό μαζί με το ολοκλήρωμα της που είναι σταθερό)

Το εμβαδό αυτό είναι $\dfrac{b-a}{2}(2f(t)+f'(t)(a+b-2t))$

Θα δείξουμε ότι ελαχιστοποιείται όταν $t=\dfrac{a+b}{2}$

Aφου κοίλη βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη.

Αρα $f(t)+f'(t)(\frac{a+b}{2}-t)\geq f(\frac{a+b}{2})$

Ετσι $\dfrac{b-a}{2}(2f(t)+f'(t)(a+b-2t))\geq\dfrac{b-a}{2}2 f(\frac{a+b}{2})$ με ισότητα αν $t=\dfrac{a+b}{2}$

Δεν χρειάζεται πουθενά η δεύτερη παράγωγος.

Πολύ ωραία λύση, ευχαριστώ για το χρόνο.
Του Δ4 δεν την είχα σκεφτεί, αλλά και στο Δ2 βρίσκω ενδιαφέρουσα και διδακτική την προσέγγιση, διαφέρει από τη δική μου (μάλλον τυποποιημένη λύση)

Για το Δ4 κι εμένα μου φάνηκε ότι η δεύτερη παράγωγος δεν είναι απαραίτητο δεδομένο, αλλά (α) δε σκέφτηκα την παραπάνω λύση (β) δε θα ήθελα να πρέπει να φανταστεί κάποιος το σημείο ελαχίστου.

Μικρή ερώτηση: Όντως στο Δ4 αποδείξατε ότι έχουμε ελάχιστο εμβαδό στο μέσο του διαστήματος. Πώς εξασφαλίζεται με αυτή την απόδειξη ότι το ελάχιστο το λαμβάνει μόνο σε αυτή τη θέση;
(Δεν αμφισβητώ τη λύση, μου άρεσε πολύ. Προσπαθώ να κατανοήσω.)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #48

siobaras έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
siobaras έγραψε: Θεωρούμε μια συνάρτηση , κοίλη στο με .

Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα.

(Εξετάζει Bolzano ή ΘΕΤ, ορισμό κοίλης και θ.Rolle με τη λύση μου)

Δ.2 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από την ευθεία για κάθε $x \in(a,b)$ , όπου

(Εξετάζει ΘΜΤ, μονοτονία, μελέτη προσήμου συνάρτησης)

Δ.3 Αν επιπλέον δίνεται ότι , να δείξετε ότι $\int _{a} ^{b} f(x)dx > 0$

(Εξετάζει υπολογισμό απλού ολοκληρώματος και ανισοτικές σχέσεις σε ολοκληρώματα)

Δ.4 Υποθέτουμε επιπλέον ότι $f''(x)<0, x \in[a,b]$ . Έστω $t \in[a,b]$ και το εμβαδό μεταξύ της , την εφαπτομένη της στο και τις ευθείες . Να βρείτε την τιμή του για την οποία το γίνεται ελάχιστο.

Δ1.Από Bolzano έχει τουλάχιστον μία ρίζα.Εστω δύο ρίζες.Αν εφαρμόσουμε Rolle στο τότε υπάρχει

$v\in (c,d)$ με

Αλλά η είναι γνησίως φθίνουσα.Αρα $x>v\Rightarrow f'(x)< 0$

Αρα και η είναι γνησίως φθίνουσα στο .

Παίρνουμε που είναι ΑΤΟΠΟ.

Αρα έχει ακριβώς μια ρίζα.

Δ2 Αν θέσουμε $g(x)=f(b)\dfrac{x-a}{b-a}+f(a)\dfrac{x-b}{a-b},x\in [a,b]$

η γραφική παράσταση της είναι το ευθύγραμμο τμήμα .

Πρέπει να δείξουμε ότι $x\in (a,b)\Rightarrow h(x)=f(x)-g(x)> 0$

Είναι . Επίσης όπου σταθερός αριθμός που εξαρτάται από τα

Αρα η είναι γνησίως φθίνουσα.

Η σαν συνεχής θα έχει ολικό ελάχιστο σε ένα $k\in [a,b]$

Αν $k\in (a,b)$ τότε και $x> k\Rightarrow f'(x)< 0,x< k\Rightarrow f'(x)> 0$

που σημαίνει ότι στο έχουμε ολικό μέγιστο.ΑΤΟΠΟ.

Αφού το ολικό ελάχιστο είναι στα και το ζητούμενο είναι άμεσο.

Δ3.Από το Δ2 έχουμε $f(x)>f(b)\dfrac{x-a}{b-a}+f(a)\dfrac{x-b}{a-b}$ για $x\in (a,b)$

Ολοκληρώνοντας και λαμβάνοντας υπ όψιν ότι παίρνουμε το ζητούμενο.

Ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων είναι εύκολος και μπορεί να βγει και γεωμετρικά αφού έχουμε τρίγωνα.

Δ4Προσθέτωντας στην μια σταθερά τίποτα δεν αλλάζει ως προς τα μέγιστα και ελάχιστα των εμβαδών.Ετσι μπορούμε να

θεωρήσουμε ότι $f(x)\geq 0$
(δεν χρειάζεται αλλά για να γίνει πιο σαφές)

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο είναι

Για δίνει ενώ για δίνει .

Προφανώς το ζητούμενο εμβαδό ελαχιστοποιείται όταν ελαχιστοποιείθει το εμβαδόν που τραπεζίου που ορίζεται από τα

και τα σημεία που τέμνει η εφαπτομένη τις

(είναι το ζητούμενο εμβαδό μαζί με το ολοκλήρωμα της που είναι σταθερό)

Το εμβαδό αυτό είναι $\dfrac{b-a}{2}(2f(t)+f'(t)(a+b-2t))$

Θα δείξουμε ότι ελαχιστοποιείται όταν $t=\dfrac{a+b}{2}$

Aφου κοίλη βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη.

Αρα $f(t)+f'(t)(\frac{a+b}{2}-t)\geq f(\frac{a+b}{2})$

Ετσι $\dfrac{b-a}{2}(2f(t)+f'(t)(a+b-2t))\geq\dfrac{b-a}{2}2 f(\frac{a+b}{2})$ με ισότητα αν $t=\dfrac{a+b}{2}$

Δεν χρειάζεται πουθενά η δεύτερη παράγωγος.
Πολύ ωραία λύση, ευχαριστώ για το χρόνο.
Του Δ4 δεν την είχα σκεφτεί, αλλά και στο Δ2 βρίσκω ενδιαφέρουσα και διδακτική την προσέγγιση, διαφέρει από τη δική μου (μάλλον τυποποιημένη λύση)

Για το Δ4 κι εμένα μου φάνηκε ότι η δεύτερη παράγωγος δεν είναι απαραίτητο δεδομένο, αλλά (α) δε σκέφτηκα την παραπάνω λύση (β) δε θα ήθελα να πρέπει να φανταστεί κάποιος το σημείο ελαχίστου.

Μικρή ερώτηση: Όντως στο Δ4 αποδείξατε ότι έχουμε ελάχιστο εμβαδό στο μέσο του διαστήματος. Πώς εξασφαλίζεται με αυτή την απόδειξη ότι το ελάχιστο το λαμβάνει μόνο σε αυτή τη θέση;
(Δεν αμφισβητώ τη λύση, μου άρεσε πολύ. Προσπαθώ να κατανοήσω.)

Οι κυρτές(κοίλες) συναρτήσεις είναι Γεωμετρία.Ολα τα παραπάνω εκτός του Δ4 είναι γεωμετρικά προφανή.Μάλιστα το Δ2 είναι ο κανονικός ορισμός.Το Δ4 τουλάχιστον σε εμένα δεν είναι γεωμετρικά προφανές.Φυσικά και μπορεί να βγει με γεωμετρία.
Στο Δ4 δεν έδειξα ότι είναι μοναδικό γιατί ζητάει την τιμή του

που γίνεται ελάχιστο και όχι όλες τις τιμές.
Σε κάθε περίπτωση αυτή είναι μοναδική γιατί για $t\neq \dfrac{a+b}{2}$ είναι
$f(t)+f'(t)(\frac{a+b}{2}-t)> f(\frac{a+b}{2})$
Η εφαπτομένη τέμνει την γραφική παράσταση μόνο στο σημείο επαφής(για κοίλες μιλάμε)

siobaras · #49

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
siobaras έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
siobaras έγραψε: Θεωρούμε μια συνάρτηση , κοίλη στο με .

Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα.

(Εξετάζει Bolzano ή ΘΕΤ, ορισμό κοίλης και θ.Rolle με τη λύση μου)

Δ.2 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από την ευθεία για κάθε $x \in(a,b)$ , όπου

(Εξετάζει ΘΜΤ, μονοτονία, μελέτη προσήμου συνάρτησης)

Δ.3 Αν επιπλέον δίνεται ότι , να δείξετε ότι $\int _{a} ^{b} f(x)dx > 0$

(Εξετάζει υπολογισμό απλού ολοκληρώματος και ανισοτικές σχέσεις σε ολοκληρώματα)

Δ.4 Υποθέτουμε επιπλέον ότι $f''(x)<0, x \in[a,b]$ . Έστω $t \in[a,b]$ και το εμβαδό μεταξύ της , την εφαπτομένη της στο και τις ευθείες . Να βρείτε την τιμή του για την οποία το γίνεται ελάχιστο.

Δ1.Από Bolzano έχει τουλάχιστον μία ρίζα.Εστω δύο ρίζες.Αν εφαρμόσουμε Rolle στο τότε υπάρχει

$v\in (c,d)$ με

Αλλά η είναι γνησίως φθίνουσα.Αρα $x>v\Rightarrow f'(x)< 0$

Αρα και η είναι γνησίως φθίνουσα στο .

Παίρνουμε που είναι ΑΤΟΠΟ.

Αρα έχει ακριβώς μια ρίζα.

Δ2 Αν θέσουμε $g(x)=f(b)\dfrac{x-a}{b-a}+f(a)\dfrac{x-b}{a-b},x\in [a,b]$

η γραφική παράσταση της είναι το ευθύγραμμο τμήμα .

Πρέπει να δείξουμε ότι $x\in (a,b)\Rightarrow h(x)=f(x)-g(x)> 0$

Είναι . Επίσης όπου σταθερός αριθμός που εξαρτάται από τα

Αρα η είναι γνησίως φθίνουσα.

Η σαν συνεχής θα έχει ολικό ελάχιστο σε ένα $k\in [a,b]$

Αν $k\in (a,b)$ τότε και $x> k\Rightarrow f'(x)< 0,x< k\Rightarrow f'(x)> 0$

που σημαίνει ότι στο έχουμε ολικό μέγιστο.ΑΤΟΠΟ.

Αφού το ολικό ελάχιστο είναι στα και το ζητούμενο είναι άμεσο.

Δ3.Από το Δ2 έχουμε $f(x)>f(b)\dfrac{x-a}{b-a}+f(a)\dfrac{x-b}{a-b}$ για $x\in (a,b)$

Ολοκληρώνοντας και λαμβάνοντας υπ όψιν ότι παίρνουμε το ζητούμενο.

Ο υπολογισμός των ολοκληρωμάτων είναι εύκολος και μπορεί να βγει και γεωμετρικά αφού έχουμε τρίγωνα.

Δ4Προσθέτωντας στην μια σταθερά τίποτα δεν αλλάζει ως προς τα μέγιστα και ελάχιστα των εμβαδών.Ετσι μπορούμε να

θεωρήσουμε ότι $f(x)\geq 0$
(δεν χρειάζεται αλλά για να γίνει πιο σαφές)

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο είναι

Για δίνει ενώ για δίνει .

Προφανώς το ζητούμενο εμβαδό ελαχιστοποιείται όταν ελαχιστοποιείθει το εμβαδόν που τραπεζίου που ορίζεται από τα

και τα σημεία που τέμνει η εφαπτομένη τις

(είναι το ζητούμενο εμβαδό μαζί με το ολοκλήρωμα της που είναι σταθερό)

Το εμβαδό αυτό είναι $\dfrac{b-a}{2}(2f(t)+f'(t)(a+b-2t))$

Θα δείξουμε ότι ελαχιστοποιείται όταν $t=\dfrac{a+b}{2}$

Aφου κοίλη βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη.

Αρα $f(t)+f'(t)(\frac{a+b}{2}-t)\geq f(\frac{a+b}{2})$

Ετσι $\dfrac{b-a}{2}(2f(t)+f'(t)(a+b-2t))\geq\dfrac{b-a}{2}2 f(\frac{a+b}{2})$ με ισότητα αν $t=\dfrac{a+b}{2}$

Δεν χρειάζεται πουθενά η δεύτερη παράγωγος.
Πολύ ωραία λύση, ευχαριστώ για το χρόνο.
Του Δ4 δεν την είχα σκεφτεί, αλλά και στο Δ2 βρίσκω ενδιαφέρουσα και διδακτική την προσέγγιση, διαφέρει από τη δική μου (μάλλον τυποποιημένη λύση)

Για το Δ4 κι εμένα μου φάνηκε ότι η δεύτερη παράγωγος δεν είναι απαραίτητο δεδομένο, αλλά (α) δε σκέφτηκα την παραπάνω λύση (β) δε θα ήθελα να πρέπει να φανταστεί κάποιος το σημείο ελαχίστου.

Μικρή ερώτηση: Όντως στο Δ4 αποδείξατε ότι έχουμε ελάχιστο εμβαδό στο μέσο του διαστήματος. Πώς εξασφαλίζεται με αυτή την απόδειξη ότι το ελάχιστο το λαμβάνει μόνο σε αυτή τη θέση;
(Δεν αμφισβητώ τη λύση, μου άρεσε πολύ. Προσπαθώ να κατανοήσω.)

Οι κυρτές(κοίλες) συναρτήσεις είναι Γεωμετρία.Ολα τα παραπάνω εκτός του Δ4 είναι γεωμετρικά προφανή.Μάλιστα το Δ2 είναι ο κανονικός ορισμός.Το Δ4 τουλάχιστον σε εμένα δεν είναι γεωμετρικά προφανές.Φυσικά και μπορεί να βγει με γεωμετρία.
Στο Δ4 δεν έδειξα ότι είναι μοναδικό γιατί ζητάει την τιμή του που γίνεται ελάχιστο και όχι όλες τις τιμές.
Σε κάθε περίπτωση αυτή είναι μοναδική γιατί για $t\neq \dfrac{a+b}{2}$ είναι
$f(t)+f'(t)(\frac{a+b}{2}-t)> f(\frac{a+b}{2})$
Η εφαπτομένη τέμνει την γραφική παράσταση μόνο στο σημείο επαφής(για κοίλες μιλάμε)

Σωστά, το σκέφτηκα κι εγώ στο ενδιάμεσο (για το Δ4).

Συμφωνώ ότι είναι γεωμετρικά προφανή, συμφωνώ εκτός του Δ4.
Παραδόξως, όμως, ελάχιστοι μαθητές στο σχολείο μου κατάφεραν να τα προσεγγίσουν όλα σωστά.
Ίσως σε άλλα σχολεία το επίπεδο να είναι υψηλότερο.

Και πάλι ευχαριστώ για το χρόνο σας.

#50

(Προτεινόμενο) 4ο θέμα:

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\varepsilon\varphi\big(\tfrac{x}{\alpha}\big)\,,\quad x\in\big(-\tfrac{\alpha\pi}{2},\,\tfrac{\alpha\pi}{2}\big)\,,\; \alpha>0\,.$

Να βρεθεί για ποιες τιμές του θετικού πραγματικού αριθμού $\alpha$ , οι γραφικές παραστάσεις $C_{f}$ και $C_{f^{-1}}$ της και της αντίστροφής της συνάρτησης $f^{-1}$ , αντίστοιχα, έχουν περισσότερα από ένα σημεία τομής.
Αν $\alpha>1$ , να αποδειχθεί ότι οι $C_{f}$ και $C_{f^{-1}}$ έχουν ακριβώς σημεία τομής.
Για $\alpha>2$ , να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται - αρχίζοντας από το , καταλίγοντας στο και με αυτήν την σειρά- από την $C_{f^{-1}}$ , την ευθεία $y=\alpha$ , την ευθεία $x=\alpha$ και την $C_{f}$ . (Να γίνει σχήμα.)

edit: 12:37: 25/6/17 Στο iii. αντικαταστάθηκε η σχέση $\alpha>1$ με την $\alpha>2$ ώστε το θέμα να είναι ευκολότερο.

Al.Koutsouridis · #51

grigkost έγραψε:(Προτεινόμενο) 4ο θέμα:

Έστω η συνάρτηση $f(x)=\varepsilon\varphi\big(\tfrac{x}{\alpha}\big)\,,\quad x\in\big(-\tfrac{\alpha\pi}{2},\,\tfrac{\alpha\pi}{2}\big)\,,\; \alpha>0\,.$

Να βρεθεί για ποιες τιμές του θετικού πραγματικού αριθμού $\alpha$ , οι γραφικές παραστάσεις $C_{f}$ και $C_{f^{-1}}$ της και της αντίστροφής της συνάρτησης $f^{-1}$ , αντίστοιχα, έχουν περισσότερα από ένα σημεία τομής.

Αν $\alpha>1$ , να αποδειχθεί ότι οι $C_{f}$ και $C_{f^{-1}}$ έχουν ακριβώς σημεία τομής.

Για $\alpha>2$ , να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται - αρχίζοντας από το , καταλίγοντας στο και με αυτήν την σειρά- από την $C_{f^{-1}}$ , την ευθεία $y=\alpha$ , την ευθεία $x=\alpha$ και την $C_{f}$ . (Να γίνει σχήμα.)

Περιγραφική προσπάθεια..

i, ii) Τα όποια κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της

με την αντιστροφή της θα βρίσκονται επί της διχοτόμου του πρώτου τεταρτημόριου. Οπότε για να τα βρούμε αρκεί να λύσουμε την εξίσωση f(x) -x = 0

στο παραπάνω διάστημα. Θεωρούμε την συνάρτηση $g(x) = \tan (\dfrac{x}{a}) -x$ στο διάστημα $\left ( -\dfrac{a\pi}{2}, \dfrac{a\pi}{2} \right )$ . Παρατηρούμε ότι είναι περιττή, οπότε αρκεί να την μελετήσουμε για $x \in \left [0, \dfrac{a\pi}{2} \right )$ . Στο διάστημα αυτό η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με

$g{'}(x) = \dfrac{1-a\cos^{2} (\dfrac{x}{a})}{a\cos^{2} (\dfrac{x}{a})}$

Για a < 1

είναι

οπότε η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\left [0, \dfrac{a\pi}{2} \right )$ . Άρα για κάθε $x \in \left (0, \dfrac{a\pi}{2} \right )$ θα ισχύει g(x) > g(0) = 0

. Επομένως για a < 1

δεν υπάρχουν άλλα κοινά σημεία εκτός από το (0,0)

.

Για

είναι $g{'}(x) = 0 \Leftrightarrow \cos (\dfrac{x}{a}) = \pm 1 \Rightarrow x = a(2\pi k \pm \pi)$ . (1)

Έστω ότι υπάρχει ένα $x_{0} \in \left (0, \dfrac{a\pi}{2} \right )$ για το οποίο $g(x_{0}) =0$ . Τότε στο διάστημα $[0,x_{0}]$ ισχύουν οι προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle και άρα θα υπάρχει ένα $x_{1} \in (0,x_{0})$ για το οποίο $g{'}(x_{1}) = 0$ . Πράγμα άτοπο λόγω της (1). Επομένως ούτε σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν άλλα κοινά σημεία εκτός του (0,0)

.

Για

η $g{'}(x) = 0 \Leftrightarrow 1-a\cos^{2} (\dfrac{x}{a}) \Leftrightarrow \cos (\dfrac{x}{a}) = \pm \dfrac{1}{\sqrt{a}}$ (2).

Η συνάρτηση $\cos (\dfrac{x}{a})$ παίρνει θετικές (του διαστήματος [0,1]

) τιμές στο διάστημα $\left (0, \dfrac{a\pi}{2} \right )$ και μάλιστα λόγο της μονοτονίας της (γνησίως φθίνουσα ) θα έχει μοναδική ρίζα σε αυτό, έστω $x_{0}$ . Για την οποία ισχύει $g{'}(x) < 0, x \in (0,x_{0})$ και $g{'}(x) > 0 , x \in \left ( x_{0}, \dfrac{a\pi}{2} \right )$ .

Στο διάστημα $(0, x_{0})$ η εξίσωση g(x)=0

δεν έχει λύσεις αφού είναι γνησίως φθίνουσα και g(0)=0

. Άρα θα είναι $g(x_{0}) < 0$ . Στο διάστημα $\left ( x_{0}, \dfrac{a\pi}{2} \right )$ η g(x)

είναι γνησίως αύξουσα και το όριό της καθώς τείνουμε στο δεξί άκρο του διαστήματος είναι συν άπειρο. Οπότε αρκούντος κοντά σε αυτό θα υπάρχει ένα $x_{2} \in \left ( x_{0}, \dfrac{a\pi}{2} \right )$ για το οποίο $g(x_{2}) > 0$ . Στο διάστημα $[x_{0}, x_{2}]$ ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος Bolzano, οπότε θα υπάρχει ένα $x_{3}$ για το οποίο $g(x_{3}) =0$ . Το οποίο είναι και μοναδικό λόγω της μονοτονίας σε αυτό το διάστημα. Εύκολά βλέπουμε ότι εκτός του παρπαάνω διαστήματος δεν μπορεί να υπάρχει ρίζα της g(x) =0

.

Δείξαμε δηλαδή ότι υπάρχει μοναδική ρίζα για θετικά

. Ομοίως λόγω της περιττότητας της g(x)

υπάρχει μοναδική λύση για τα αρνητικά

και μαζί με την λύση στο μηδέν μας δίνουν ακριβώς τρία κοινά σημεία.

iii) Παρατηρούμε ότι για το σημείο $x = a\pi/3$ είναι $g(\dfrac{a\pi}{3}) = \tan (\dfrac{a\pi}{3a}) -\dfrac{a\pi}{3}= \sqrt{3}-\dfrac{a\pi}{3} < 0$ , για a>2

. Άρα η ρίζα της g(x) = 0

θα βρίσκεται στο διάστημα $\left ( \dfrac{a\pi}{3}, \dfrac{a\pi}{2} \right )$ . Όμως $\dfrac{a\pi}{3} > a$ .

Από την παραπάνω μελέτη της σχετικής θέσης του σημείου τομής των καμπυλών προκύπτει το σχήμα
[attachment=0]amepos_amergon.png[/attachment]

Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν

, λόγω και των συμμετριών, θα δίνεται από το ολοκλήρωμα

$\Displaystyle{E = 2 \int_{0}^{a} (x-\tan (\dfrac{x}{a})) dx } =2( a \ln (\cos(1)) +\dfrac{a^2}{2})= 2a \ln (\cos 1) +a^2$

(γνωστό ολοκλήρωμα, υπάρχει σε άσκηση του σχολικού βιβλίου).

#52

grigkost έγραψε:Έστω η συνάρτηση $f(x)=\varepsilon\varphi\big(\tfrac{x}{\alpha}\big)\,,\quad x\in\big(-\tfrac{\alpha\pi}{2},\,\tfrac{\alpha\pi}{2}\big)\,,\; \alpha>0\,.$

Να βρεθεί για ποιες τιμές του θετικού πραγματικού αριθμού $\alpha$ , οι γραφικές παραστάσεις $C_{f}$ και $C_{f^{-1}}$ της και της αντίστροφής της συνάρτησης $f^{-1}$ , αντίστοιχα, έχουν περισσότερα από ένα σημεία τομής.

Αν $\alpha>1$ , να αποδειχθεί ότι οι $C_{f}$ και $C_{f^{-1}}$ έχουν ακριβώς σημεία τομής.

Για $\alpha>2$ , να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται - αρχίζοντας από το , καταλίγοντας στο και με αυτήν την σειρά- από την $C_{f^{-1}}$ , την ευθεία $y=\alpha$ , την ευθεία $x=\alpha$ και την $C_{f}$ . (Να γίνει σχήμα.)

Και η δική μου προσέγγιση:

Η συνάρτηση $f(x)={\varepsilon\varphi}\,\big(\tfrac{x}{\alpha}\big)\,,\quad x\in\big(-\tfrac{\alpha\pi}{2},\,\tfrac{\alpha\pi}{2}\big)\,,\; \alpha>0\,,$ είναι παραγωγίσιμη στο $\big(-\tfrac{\alpha\pi}{2},\,\tfrac{\alpha\pi}{2}\big)$ με $f'(x)=\frac{1}{\alpha\,{\sigma\upsilon\nu}\,^2(\frac{x}{\alpha})}>0$ για κάθε $x\in\big(-\tfrac{\alpha\pi}{2},\,\tfrac{\alpha\pi}{2}\big)$ . Επομένως είναι γνησίως αύξουσα, και επειδή είναι και συνεχής, έπεται ότι είναι 1-1; άρα αντιστρέψιμη.

Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα -όπως και η αντίστροφή της $f^{-1}$ - έπεται ότι τα σημεία τομής των $C_{f}$ και $C_{f^{-1}}$ βρίσκονται επί της ευθείας . Για να προσδιορισθούν αυτά τα σημεία αρκεί να βρεθούν τα σημεία τομής της $C_{f}$ με την . Επειδή η $C_{f}$ τέμνει την στο και $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\to{\frac{\alpha\pi}{2}}^{-}}{f(x)}=+\infty$ , για να υπάρχουν κι άλλα σημεία τομής πρέπει και αρκεί η $C_{f}$ μετά το να βρίσκεται κάτω από την . Ή ισοδύναμα, η εφαπτόμενη ευθεία στην $C_{f}$ στο να έχει κλίση , δηλαδή
$\begin{aligned} f'(0)<1\quad&\Leftrightarrow\quad \frac{1}{\alpha\,{\sigma\upsilon\nu}\,^2\big(\tfrac{0}{\alpha}\big)}<1\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\Leftrightarrow\quad 1<\alpha\,. \end{aligned}$
Στο i. αποδείχθηκε ότι για $\alpha>1$ η $C_{f}$ έχει -εκτός από το σημείο - και άλλα σημεία τομής με την ; και, συνεπώς, με την $C_{f^{-1}}$ . Επειδή η είναι περιττή, έπεται ότι -μη συμπεριλαμβανομένου του σημείου - το πλήθος των σημείων τομής της $C_{f}$ με την είναι άρτιο. Λόγω της μονοτονίας της προκύπτει ότι τα σημεία τομής της $C_{f}$ με την -συμπεριλαμβανομένου του σημείου - είναι ακριβώς . Άρα οι $C_{f}$ και $C_{f^{-1}}$ έχουν ακριβώς σημεία τομής.
Έστω το σημείο τομής των $C_{f}$ και $C_{f^{-1}}$ στο πρώτο τεταρτημόριο.
[attachment=0]prot_4o.png[/attachment] Επειδή $f(\alpha)={\varepsilon\varphi}\,{1}<2<\alpha$ και η είναι γνησίως αύξουσα, έπεται ότι το βρίσκεται στο "δεξί" ημιεπίπεδο που ορίζει η $x=\alpha$ . Επειδή οι $C_{f}$ και $C_{f^{-1}}$ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία , το εμβαδόν ${\rm{E}}$ του χωρίου που περικλείεται από την $C_{f^{-1}}$ , την ευθεία $y=\alpha$ , την ευθεία $x=\alpha$ και την $C_{f}$ είναι το διπλάσιο του εμβαδού χωρίου που περικλείεται από την $C_{f}$ , την ευθεία $x=\alpha$ και την ευθεία . Επομένως
$\begin{aligned} {\rm{E}}&=2\int_{0}^{\alpha}\big|x-f(x)\big|\,dx\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=2\int_{0}^{\alpha}\big(x-{\varepsilon\varphi}\,\big(\tfrac{x}{\alpha}\big)\big)\,dx\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=2\int_{0}^{\alpha}x\,dx-2\int_{0}^{\alpha}{\varepsilon\varphi}\,\big(\tfrac{x}{\alpha}\big)\,dx\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\mathop{=\!=\!=\!=\!=\!=}\limits^{\begin{subarray}{c} {t\,=\,\tfrac{x}{\alpha}} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} {\alpha\, dt\,=\,dx} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} \end{subarray}}\,2\Big[\frac{x^2}{2}\Big]_{0}^{\alpha}-2\alpha\int_{0}^{1}{\varepsilon\varphi}\,{t}\,dt\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\alpha^2-2\alpha\int_{0}^{1}\frac{{\eta\mu}\,{t}}{{\sigma\upsilon\nu}\,{t}}\,dt\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\mathop{=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=}\limits^{\begin{subarray}{c} {u\,=\,{\sigma\upsilon\nu}\,{t}} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} {-du\,=\,{\eta\mu}\,{t}\,dt} \\\noalign{\vspace{0.05cm}} \end{subarray}}\,\alpha^2+2\alpha\int_{{\sigma\upsilon\nu}\,{0}}^{{\sigma\upsilon\nu}\,{1}}\frac{1}{u}\,du\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\alpha^2+2\alpha\,\Big[\log|u|\Big]_{1}^{{\sigma\upsilon\nu}\,{1}}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\alpha^2+2\alpha\,\log|{\sigma\upsilon\nu}\,{1}|\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\alpha^2+2\alpha\,\log({\sigma\upsilon\nu}\,{1})\,.\end{align*}$

Al.Koutsouridis · #53

Al.Koutsouridis έγραψε: Θέμα Δ

Δίνονται οι συναρτήσεις που ορίζονται από τις σχέσεις

$f(x) = x+1-\sin x$

$g(x) = \dfrac{\ln \left | \sin x -1 \right |}{\ln 2}$

όπου πραγματική μεταβλητή.

Δ1) Να προσδιορίσετε το πεδίου ορισμού της καθώς και το σύνολο τιμών της.

Δ2) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της και να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία στα διάστηματα της μορφής
$(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, \dfrac{3\pi}{2} +2k\pi) , k \in \mathbb{Z}$ .

Δ3) Να βρείτε το ελάχιστο $k \in \mathbb{Z}$ ώστε η εξίσωση

$x+1 - \sin x + \dfrac{\ln \left | \sin x -1 \right |}{\ln 2} = 0$ να έχει λύση σε διάστημα της μορφής $(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, \dfrac{3\pi}{2} +2k\pi)$ , $x \in \mathbb{R}$ .

Δ4) Να προσδιορίσετε τις τιμές της πραγματικής παραμέτρου για τις οποίες η εξίσωση

$\sin \left ( x- a \ln \left | x \right | \right ) = x+1$

έχει άπειρες ρίζες ως προς $x \in \mathbb{R}$ .

Τώρα που το παρατηρώ το Δ1 πρέπει να είναι εκτός ύλης (αν και ίσως να μπορεί να δικαιολογηθεί με το σχολικό βιβλίο) όποτε το όλο θέμα δεν είναι κατάλληλο για εξατάσεις. Το αφήνω όμως σε περίπτωση που θέλει να ασχοληθεί κανείς με τα Δ2, Δ3 και Δ4.

Σταμ. Γλάρος · #54

Al.Koutsouridis έγραψε:
Al.Koutsouridis έγραψε: Θέμα Δ

Δίνονται οι συναρτήσεις που ορίζονται από τις σχέσεις

$f(x) = x+1-\sin x$

$g(x) = \dfrac{\ln \left | \sin x -1 \right |}{\ln 2}$

όπου πραγματική μεταβλητή.

Δ1) Να προσδιορίσετε το πεδίου ορισμού της καθώς και το σύνολο τιμών της.

Δ2) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της και να την μελετήσετε ως προς την μονοτονία στα διάστηματα της μορφής
$(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, \dfrac{3\pi}{2} +2k\pi) , k \in \mathbb{Z}$ .

Δ3) Να βρείτε το ελάχιστο $k \in \mathbb{Z}$ ώστε η εξίσωση

$x+1 - \sin x + \dfrac{\ln \left | \sin x -1 \right |}{\ln 2} = 0$ να έχει λύση σε διάστημα της μορφής $(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, \dfrac{3\pi}{2} +2k\pi)$ , $x \in \mathbb{R}$ .

Δ4) Να προσδιορίσετε τις τιμές της πραγματικής παραμέτρου για τις οποίες η εξίσωση

$\sin \left ( x- a \ln \left | x \right | \right ) = x+1$

έχει άπειρες ρίζες ως προς $x \in \mathbb{R}$ .
Τώρα που το παρατηρώ το Δ1 πρέπει να είναι εκτός ύλης (αν και ίσως να μπορεί να δικαιολογηθεί με το σχολικό βιβλίο) όποτε το όλο θέμα δεν είναι κατάλληλο για εξατάσεις. Το αφήνω όμως σε περίπτωση που θέλει να ασχοληθεί κανείς με τα Δ2, Δ3 και Δ4.

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια για το Δ1.
Είναι $D_{f} = \mathbb{R}$ .
Επίσης f'(x)= 1- cosx >0

, $\forall x\in \mathbb{R}-\left \{ 2\kappa \pi , \kappa \in \mathbb{Z} \right \}$ .
Επειδή η f '

μηδενίζεται σε μεμονωμένα σημεία του πεδίου ορισμού της συμπεραίνουμε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .
(Βλέπε σχόλιο σελίδα 136 σχολικού).

Επιπλέον έχουμε $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) =\lim_{x\rightarrow -\infty } = \left [ x\left ( 1+\dfrac{1}{x} -\frac{sinx}{x}\right ) \right ] = -\infty$ .

Εύκολα προσδιορίζουμε ότι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty } = \frac{sinx}{x} = 0$ .
(Μηδενική επί φραγμένη).

Ομοίως προκύπτει : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = + \infty$ .
Συνεπώς $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$ .
Μου φαίνεται κανονικά εντός ύλης...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Re: Αμ΄ έπος αμ΄ έργον (προσομοίωση 4ου θέματος)

Μέλη σε σύνδεση