Σελίδα 1 από 36

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 19, 2015 2:04 pm
από KARKAR
Στο παρελθόν είχαν δημιουργηθεί με πρωτοβουλία εκλεκτών συναδέλφων , συλλογές ασκήσεων

στα τετράγωνα , τα ισόπλευρα τρίγωνα και στα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα .

Στην παρούσα θέση , ας αναρτήσουμε θέματα ποικίλης δυσκολίας , τα οποία όμως θα έχουν

ως σχήμα εκκίνησης ένα ορθογώνιο ( κατά προτίμηση μακρόστενο και όχι στενόμακρο ).

Άσκηση 1
Συλλογή  ασκήσεων  με ορθογώνια.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια.png (6.71 KiB) Προβλήθηκε 10088 φορές

Σε ορθογώνιο ABCD , διαστάσεων a \times b , ( b<\dfrac{a}{2} ) , γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου AB , το οποίο

τέμνει την πλευρά DC στα σημεία S,T . Εκφράστε το τμήμα ST , συναρτήσει των πλευρών

του ορθογωνίου και βρείτε το λόγο \dfrac{b}{a} , ώστε : i)     ST= b ... ή ...ii)  (ASTB)=\dfrac{2}{3}(ABCD)

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 19, 2015 3:15 pm
από ealexiou
Για το α)

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια ¨Ασκ. 1α.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια ¨Ασκ. 1α.png (16.8 KiB) Προβλήθηκε 10067 φορές


Π.Θ στο \triangle SOS', SO^2=SS'^2+S'O^2 \Rightarrow b^2+\dfrac{b^2}{4} =\dfrac{a^2}{4}\Rightarrow \dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}


Για το β)

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια ¨Ασκ. 1β.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια ¨Ασκ. 1β.png (12.16 KiB) Προβλήθηκε 10056 φορές


Ας είναι ST=x

Αν \dfrac{(ASTB)}{(ABCD)}=\dfrac{2}{3} τότε \dfrac{(a+x)}{2}b=\dfrac{2}{3}ab \Rightarrow x=\dfrac{a}{3}

Π.Θ στο \triangle SOS', \left(\dfrac{a}{6}\right )^2+b^2=\dfrac{a^2}{4} \Rightarrow \dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{3}

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 19, 2015 8:08 pm
από KARKAR
Άσκηση 2
Ίσα  ορθογώνια.png
Ίσα ορθογώνια.png (7.86 KiB) Προβλήθηκε 9991 φορές

Εντοπίστε ( κατασκευάστε ) σημείο S στην πλευρά AD , του διαστάσεων a\times b

ορθογωνίου ABCD , ώστε αν φέρω ST \parallel DB και SP \perp DB , τα τρίγωνα

DPS , SAT να είναι ίσα . Υπολογίστε , στη συνέχεια , το τμήμα AS .

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 19, 2015 8:10 pm
από exdx
ΑΣΚΗΣΗ 3

Αν \displaystyle{E} τυχαίο σημείο στο εσωτερικό του \displaystyle{ABCD} και οι ημιευθείες \displaystyle{AE,BE,CE,DE} τέμνουν τις πλευρές του στα \displaystyle{P,M,K,L} . Δείξτε ότι :
\displaystyle{AE + BE + CE + DE \ge KE + ME + PE + LE}

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 19, 2015 8:32 pm
από Doloros
ΑΣΚΗΣΗ 4

προβολή και καθετότητα.png
προβολή και καθετότητα.png (7.27 KiB) Προβλήθηκε 9968 φορές


Στο ορθογώνιο ABCD , K είναι η προβολή του B στην AC.

Αν M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N τα μέσα των DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AK αντίστοιχα , δείξετε ότι MN \bot NB.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 19, 2015 8:53 pm
από raf616
Doloros έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 4

προβολή και καθετότητα.png


Στο ορθογώνιο ABCD , K είναι η προβολή του B στην AC.

Αν M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N τα μέσα των DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AK αντίστοιχα , δείξετε ότι MN \bot NB.


Καλησπέρα κ. Νίκο! Μία προσπάθεια:

Έστω L το μέσο της AB. Τότε είναι απλό ότι τα τρίγωνα LDM και LMC είναι ίσα. Έστω R το μέσο της LC. Ισχύει RL = RC = RB = RN= \dfrac{LC}{2} αφού και

LN \parallel BK και άρα LN \perp AK. Ακόμα RM = \dfrac{LD}{2} = \dfrac{LC}{2} και άρα τα M, N, L, B, C ανήκουν σε κύκλο. Άρα \angle MNB = \angle MLB = 90^{o} και έτσι το ζητούμενο

εδείχθη.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 19, 2015 8:55 pm
από KARKAR
Doloros έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 4
Στο ορθογώνιο ABCD , K είναι η προβολή του B στην AC.

Αν M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N τα μέσα των DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AK αντίστοιχα , δείξετε ότι MN \bot NB.

dol..png
dol..png (11.44 KiB) Προβλήθηκε 9960 φορές
Ο κύκλος που διέρχεται από τα B,C,M , διέρχεται και από το μέσο S της AB και

έστω ότι τέμνει την AK στο N . Επειδή \widehat{CNS}=90^0 (βαίνει σε ημικύκλιο )

το N είναι το μέσο της AK , (SN \parallel BK ) ο.ε.δ.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 19, 2015 8:55 pm
από ealexiou
KARKAR έγραψε:Άσκηση 2
Το συνημμένο Ίσα ορθογώνια.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Εντοπίστε ( κατασκευάστε ) σημείο S στην πλευρά AD , του διαστάσεων a\times b

ορθογωνίου ABCD , ώστε αν φέρω ST \parallel DB και SP \perp DB , τα τρίγωνα

DPS , SAT να είναι ίσα . Υπολογίστε , στη συνέχεια , το τμήμα AS .


Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια ¨Ασκ. 2.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια ¨Ασκ. 2.png (12.83 KiB) Προβλήθηκε 9960 φορές


Ας είναι MN μεσοπαράλληλη των AB,CD και DT διχοτόμος της \angle  ADB και KS μεσοκάθετη της DT. Το σημείο Sείναι το ζητούμενο αφού \boxed{DS=ST} και AS=AD-SD=DA'-ST=DA'-PA'\Rightarrow \boxed{AS=DP}

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 19, 2015 9:15 pm
από Doloros
KARKAR έγραψε:Άσκηση 2
Το συνημμένο Ίσα ορθογώνια.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Εντοπίστε ( κατασκευάστε ) σημείο S στην πλευρά AD , του διαστάσεων a\times b

ορθογωνίου ABCD , ώστε αν φέρω ST \parallel DB και SP \perp DB , τα τρίγωνα

DPS , SAT να είναι ίσα . Υπολογίστε , στη συνέχεια , το τμήμα AS .


Ορθογώνια (KARKAR)_2.png
Ορθογώνια (KARKAR)_2.png (13.72 KiB) Προβλήθηκε 9943 φορές


Αν K η προβολή του T στην BD θα είναι TA = TK = x και άρα η DT είναι διχοτόμος του τριγώνου DAB. Θέτουμε \boxed{DB = d = \sqrt {{a^2} + {b^2}} }

Επειδή , x = \dfrac{{ab}}{{b + d}} και ST//DB προκύπτει εύκολα: \boxed{AS = y = \frac{{{b^2}}}{{b + d}}}.

Ν.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 19, 2015 9:59 pm
από KARKAR
Άσκηση 5
Παράλληλο  τμήμα.png
Παράλληλο τμήμα.png (8.18 KiB) Προβλήθηκε 9920 φορές
Σημείο S βρίσκεται σε τυχαία θέση στο εσωτερικό ορθογωνίου ABCD .

Οι κάθετες από το B προς την DS και από το C προς την AS , τέμνονται

στο σημείο T . Δείξτε ότι ST \parallel AB .

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 19, 2015 10:24 pm
από ealexiou
KARKAR έγραψε:Άσκηση 5
Το συνημμένο Παράλληλο τμήμα.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημείο S βρίσκεται σε τυχαία θέση στο εσωτερικό ορθογωνίου ABCD .

Οι κάθετες από το B προς την DS και από το C προς την AS , τέμνονται

στο σημείο T . Δείξτε ότι ST \parallel AB .


Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια ¨Ασκ. 5.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια ¨Ασκ. 5.png (17.83 KiB) Προβλήθηκε 9903 φορές


Είναι τετράπλευρο SETZ εγγράψιμο καθώς και το ABZCED, οπότε:

\angle STZ= \angle SEZ \equiv \angle AEZ =\angle ADZ \Rightarrow \angle ZST =90° -\angle STZ = 90° -\angle ADZ =\angle ZDC και το ζητούμενο έπεται άμεσα.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 19, 2015 10:36 pm
από sakis1963
Ασκηση 6

GEOMETRIA133 Τέμνουσα διαγωνίων ορθογωνίου.png
GEOMETRIA133 Τέμνουσα διαγωνίων ορθογωνίου.png (24.7 KiB) Προβλήθηκε 9894 φορές

Εστω M, N τα μέσα των πλευρών AB, AD ορθογωνίου ABCD και O το κέντρο του.

a. Να αχθεί από M ευθεία που τέμνει με τη σειρά τις διαγώνιες BD, AC του ορθογωνίου στα S, T αντίστοιχα, ώστε OS=TC (υπολογιστικά ή γεωμετρικά)

b. Αποδείξτε ότι αν P=NT \cap BD τότε OP=OS

c. Βρείτε τον λόγο \dfrac{a}{b} των πλευρών του ορθογωνίου ώστε MT \perp BD

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Δεκ 19, 2015 11:10 pm
από STOPJOHN
ΑΣΚΗΣΗ 3
Καλησπέρα

Kατασκευάζω τις ευθείες ST//AB,IJ//BC Στηρίζομαι στην πρόταση της σχέσης μεταξύ καθέτου από ένα σημείο και πλάγιων τμημάτων από το ίδιο σημείο δηλαδή LS\prec SB\Leftrightarrow LE\prec EB μπορεί να ισχύει και το ίσον σε μια ειδική θέση των ευθειών.Αρα είναι

BE\geq LE\geq SE,
AE\geq EK\geq ET,
CE\geq PE\geq EI,
DE\geq EM\geq EI

Με πρόσθεση κατά μέλη των παραπάνω ανισοτήτων καταλήγουμε στην αποδεικτέα σχέση


Γιάννης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 7:32 am
από Μιχάλης Νάννος
Καλημέρα. Χαιρετίζω την ιδέα του Θανάση με μια απλή για ζέσταμα…

Άσκηση 7
07.jpg
07.jpg (71.04 KiB) Προβλήθηκε 9834 φορές
Στο ορθογώνιο ABCD, του παραπάνω σχήματος, δίνεται ότι EKZ\parallel AD,\,EC = \dfrac{{AK}}{2} και C\widehat EB = {60^ \circ }. Να βρείτε τη γωνία x = A\widehat CE.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 8:32 am
από STOPJOHN
ΑΣΚΗΣΗ 6

Καλημέρα

Θέτω OS=d,OT=\varepsilon.

LM//\dfrac{OB}{2}=\dfrac{d+\varepsilon }{2},NL=LM,2OB=\sqrt{a^{2}+b^{2}},

NL//OP\Rightarrow \dfrac{TP}{TN}=\dfrac{OP}{NL}\Rightarrow OP=d=OS,DP=SB=OT=\varepsilon

Στο τρίγωνο OAB με τέμνουσα MST από το θεώρημα του Μενελάου :

\dfrac{SB}{OS}\dfrac{OT}{AT}\dfrac{AM}{MB}=1\Rightarrow \varepsilon ^{2}-d^{2}=2d\varepsilon 

\Leftrightarrow \varepsilon =d(1+\sqrt{2})(**),

2(d+\varepsilon) =\sqrt{a^{2}+b^{2}},(*)

(*),(**)\Rightarrow d=\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{4+2\sqrt{2}},
\varepsilon =\dfrac{\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}}{8}

Για το τρίτο ερώτημα :

Στο ορθογώνιο τρίγωνο

OMB,MS\perp OB,   MS^{2}=d\varepsilon ,(1),

MS^{2}=\dfrac{a^{2}}{4}-\varepsilon ^{2},(2),

(1),(2)\Rightarrow \dfrac{b}{a}=\sqrt{\sqrt{2}+1}\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{2}+1}}


Γιάννης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 9:10 am
από STOPJOHN
Μιχάλης Νάννος έγραψε:Καλημέρα. Χαιρετίζω την ιδέα του Θανάση με μια απλή για ζέσταμα…

Άσκηση 7
Το συνημμένο 07.jpg δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο ABCD, του παραπάνω σχήματος, δίνεται ότι EKZ\parallel AD,\,EC = \dfrac{{AK}}{2} και C\widehat EB = {60^ \circ }. Να βρείτε τη γωνία x = A\widehat CE.


Kαλημέρα

Θέτω EB=d,\hat{CAE}=\hat{\omega } . Συνεπώς

EC=2d,AK=4d,SA=SK=ES=2d,


\hat{x}+\hat{\omega }=60^{0},


\hat{x}=2\hat{\omega },

\hat{x}=40^{0}

Φιλικά και Θρυλικά
Γιάννης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 9:11 am
από KARKAR
Άσκηση 8
Άσκηση  8.png
Άσκηση 8.png (11.59 KiB) Προβλήθηκε 9812 φορές
Ορθογώνιο ABCD , διαστάσεων a \times b , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Η εφαπτομένη του

περικύκλου στο B , τέμνει την προέκταση της DC στο σημείο S , από το οποίο φέρουμε

το άλλο εφαπτόμενο τμήμα ST και στη συνέχεια το κάθετο προς την DC τμήμα TP .

α) Υπολογίστε το τμήμα CS . β) Αν CS=\dfrac{a}{3} , υπολογίστε το τμήμα TP .

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 10:33 am
από Φανης Θεοφανιδης
ΑΣΚΗΣΗ 9

Δίνεται ορθογώνιο AB\Gamma \Delta στο οποίο K είναι το σημείο τομής της διχοτόμου
της γωνίας \hat{A} και της από το \Gamma καθέτου στην B\Delta. Δείξτε ότι B\Delta =\Gamma K.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 11:29 am
από ealexiou
Φανης Θεοφανιδης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9

Δίνεται ορθογώνιο AB\Gamma \Delta στο οποίο K είναι το σημείο τομής της διχοτόμου
της γωνίας \hat{A} και της από το \Gamma καθέτου στην B\Delta. Δείξτε ότι B\Delta =\Gamma K.


Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 9.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 9.png (15.15 KiB) Προβλήθηκε 9744 φορές

Η αιτιολόγηση το απόγευμα

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 11:32 am
από STOPJOHN
ΑΣΚΗΣΗ 9

Το τετράπλευρο \Delta TNK είναι εγράψιμο σε κύκλο και \hat{B\Delta N}=\hat{TKN}=\omega ,

Από την ομοιότητα των τριγώνων \Delta B\Gamma ,NK\Gamma \Rightarrow \dfrac{b}{N\Gamma }=\dfrac{a}{a-b+N\Gamma }\Leftrightarrow N\Gamma =b=B\Gamma

Αρα τα τρίγωνα NK\Gamma ,B\Gamma \Delta ,είναι ίσα και το ζητούμενο έχει δειχθεί.

Οι πλευρές του ορθογωνίου είναι AB=a,A\Delta =b





Γιάννης