Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Συντονιστής: spyros

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4626
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #81 από Doloros » Τρί Δεκ 22, 2015 9:39 pm


ΑΣΚΗΣΗ 33


Ορθογώνια KARKAR_xx.png
Ορθογώνια KARKAR_xx.png (7.79 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές


Έστω ορθογώνιο ABCD με AB = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = b . σημείο P κινείται στην πλευρά DA ανάμεσα στα D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A. Γράφουμε τον κύκλο (K) \to (D,DA).

1. Να γράψετε κύκλο (L) με κέντρο στην AB που να διέρχεται από το B και να εφάπτεται εξωτερικά του (C).

2. Να βρεθεί η θέση του P , ώστε ο κύκλος (L) να εφάπτεται και της DC.

3. Βρείτε ακεραίους a,b ώστε οι κύκλοι (K)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(L) να έχουν ακτίνες με μέτρα ακεραίους και να ισχύει το προηγούμενο 2. ερώτημα.

Ν.


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 650
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #82 από sakis1963 » Τρί Δεκ 22, 2015 10:05 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 32
Άσκηση 32.png
Στην πλευρά DC του ορθογωνίου ABCD βρίσκονται σημεία P,Q , ώστε

οι AP,BQ τεμνόμενες στο S , να ορίζουν τρίγωνο SPQ με εμβαδό ίσο με

το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος PQ .


Ασκηση 32

Θέτω PQ=x

\dfrac{(SAB)}{(SPQ)}=(\dfrac{a}{x})^2 \Rightarrow \dfrac{(APQB)+(SPQ)}{(SPQ)}=1+\dfrac{ab-b(a-x)/2}{ab/2}=(\dfrac{a}{x})^2 απόπου

(\dfrac{a}{x})^2-\dfrac{x}{a}-2=0 όπου θέτω y=\dfrac{a}{x} και γίνεται y^3-2y-1=0 που έχει δεκτή ρίζα την y=\dfrac{a}
{x}=\dfrac{\sqrt5+1}{2}=\phi (οι άλλες είναι αρνητικές -1, \dfrac{1-\sqrt5}{2})

Αρα \boxed{PQ=\dfrac{a}{\phi}} (ανεξάρτητο του b)

Σάκης
τελευταία επεξεργασία από sakis1963 σε Τρί Δεκ 22, 2015 10:09 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4626
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #83 από Doloros » Τρί Δεκ 22, 2015 10:05 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 32
Το συνημμένο Άσκηση 32.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στην πλευρά DC του ορθογωνίου ABCD βρίσκονται σημεία P,Q , ώστε

οι AP,BQ τεμνόμενες στο S , να ορίζουν τρίγωνο SPQ με εμβαδό ίσο με

το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος PQ .


Ορθογώνια (KARKAR)_32.png
Ορθογώνια (KARKAR)_32.png (12.88 KiB) Προβλήθηκε 689 φορές


Πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα:

\left\{ \begin{gathered}
  xy = ab \hfill \\
  ay = ab + bx \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x = a\frac{{\sqrt 5  - 1}}{2} \hfill \\
  y = b\frac{{\sqrt 5  + 1}}{2} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. .

Υπάρχουν άπειρα τρίγωνα με την κορυφή S να κινείται σε σταθερή ευθεία παράλληλη στην AB.

Ν.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8397
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #84 από KARKAR » Τρί Δεκ 22, 2015 10:11 pm

Άσκηση 34
Άσκηση  34.png
Άσκηση 34.png (8.06 KiB) Προβλήθηκε 688 φορές
Σε ορθογώνιο του οποίου το μήκος AB είναι διπλάσιο του πλάτους AD , γράφουμε

κύκλο εφαπτόμενο της AB στο μέσο της M και ο οποίος τέμνει την DC σε

δύο σημεία , από τα οποία το πλησιέστερο προς την κορυφή D , ονομάζουμε S .

Αν η BS τέμνει τον κύκλο στο T , δείξτε ότι CT \perp BS .


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3618
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #85 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Δεκ 22, 2015 10:26 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 34
Άσκηση 34.png
Σε ορθογώνιο του οποίου το μήκος AB είναι διπλάσιο του πλάτους AD , γράφουμε κύκλο εφαπτόμενο της AB στο μέσο της M και ο οποίος τέμνει την DC σε δύο σημεία , από τα οποία το πλησιέστερο προς την κορυφή D , ονομάζουμε S .Αν η BS τέμνει τον κύκλο στο T , δείξτε ότι CT \perp BS .
BT \cdot BS = B{M^2} = B{C^2}\mathop \Rightarrow \limits^{\angle SCB = {{90}^0}} CT \bot BS

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4626
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #86 από Doloros » Τρί Δεκ 22, 2015 11:29 pm


ΑΣΚΗΣΗ 35


Ορθογώνια KARKAR_xxxx.png
Ορθογώνια KARKAR_xxxx.png (9.75 KiB) Προβλήθηκε 653 φορές


Έστω ορθογώνιο ABCD. Στο σημείο D φέρνουμε κάθετη επί τη διαγώνιο BD που τέμνει την ευθεία AB στο E.

Η κάθετη στην AB στο E τέμνει τις ευθείες CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD στα Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H αντίστοιχα.

Η από το H παράλληλη στην AB τέμνει τις ευθείες AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC στα P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T αντίστοιχα.

1. Δείξετε ότι οι ευθείες AZ\,\,,\,\,BD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CP συντρέχουν , έστω σε σημείο S.

2. Αν \dfrac{{EB}}{{EZ}} = l να βρείτε συναρτήσει του l το λόγο , \dfrac{{PT}}{{TC}}.


Έγινε διόρθωση του 3 ερωτήματος
Ν.
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Τετ Δεκ 23, 2015 8:45 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 650
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #87 από sakis1963 » Τρί Δεκ 22, 2015 11:59 pm

Doloros έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 33

Το συνημμένο Ορθογώνια KARKAR_xx.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο


Έστω ορθογώνιο ABCD με AB = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC = b . σημείο P κινείται στην πλευρά DA ανάμεσα στα D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,A. Γράφουμε τον κύκλο (K) \to (D,DA).

1. Να γράψετε κύκλο (L) με κέντρο στην AB που να διέρχεται από το B και να εφάπτεται εξωτερικά του (C).

2. Να βρεθεί η θέση του P , ώστε ο κύκλος (L) να εφάπτεται και της DC.

3. Βρείτε ακεραίους a,b ώστε οι κύκλοι (K)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(L) να έχουν ακτίνες με μέτρα ακεραίους και να ισχύει το προηγούμενο 2. ερώτημα.

Ν.

Ασκηση 33
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.33.png
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.33.png (31.22 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές


1. Εστω ότι ο κύκλος (K) τέμνει την DC στο S, ο κύκλος με διάμετρο SB τέμνει τον (K) στο T που είναι το σημείο επαφής των κύκλων (K),(L).
Το κέντρο του (L) έστω L=DT\cap AB και η ακτίνα του LB

2. Τώρα έχουμε τον (L), με κέντρο L και ακτίνα LB=b, και ζητούμε την ακτίνα r=DP=DT=DS του (K).

Από Π.Θ. στο DAL έχουμε (r+b)^2=b^2+(a-b)^2 που μετά από λίγες πράξεις γίνεται r^2+2rb-(a-b)^2=0 και έχει δεκτή ρίζα την r=-b+\sqrt{a^2+2b^2-2ab}

3. Τα R=b, a-b, r+b αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα, άρα a=m^2-n^2+2mn, b=R=m^2-n^2, r=2n^2 όπου m, n τυχαίοι ακέραιοι.

GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.33(2).png
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.33(2).png (33.49 KiB) Προβλήθηκε 600 φορές

Στο δεύτερο σχήμα φαίνεται, άλλος τρόπος, πιο εύκολος για την εύρεση του σημείου επαφής T των (K), (L) (που προκύπτει από την ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων DZT, LBT)
Με το σχήμα αυτό επίσης τεκμηριώνεται και η καθετότητα SE\perp ZB στο T που αιτιολογεί τον πρώτο τρόπο κατασκευής με τον κύκλο (O)

Σάκης
τελευταία επεξεργασία από sakis1963 σε Τετ Δεκ 23, 2015 1:15 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5164
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #88 από george visvikis » Τετ Δεκ 23, 2015 12:46 pm

Doloros έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 35


Το συνημμένο Ορθογώνια KARKAR_xxxx.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο


Έστω ορθογώνιο ABCD. Στο σημείο D φέρνουμε κάθετη επί τη διαγώνιο BD που τέμνει την ευθεία AB στο E.

Η κάθετη στην AB στο E τέμνει τις ευθείες CD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD στα Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H αντίστοιχα.

Η από το H παράλληλη στην AB τέμνει τις ευθείες AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC στα P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T αντίστοιχα.

1. Δείξετε ότι οι ευθείες AZ\,\,,\,\,BD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CP συντρέχουν , έστω σε σημείο S.

2. Αν \dfrac{{EB}}{{EZ}} = l να βρείτε συναρτήσει του l το λόγο , \dfrac{{PT}}{{TC}}.


Έγινε διόρθωση του 3 ερωτήματος
Ν.


Καλημέρα στους φίλους.

Ορθογώνια.35.png
Ορθογώνια.35.png (18.11 KiB) Προβλήθηκε 603 φορές

1) Έστω M, N τα σημεία τομής της BS με τις AC, ZP αντίστοιχα.
Επειδή \displaystyle{\varphi  + \omega  = {90^0}}, θα είναι \displaystyle{Z\widehat AC = {90^0}} και με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι \displaystyle{A\widehat ZP = {90^0}}. Άρα AC//ZP και αφού τα σημεία M, N είναι τα μέσα των AC, ZP, οι ευθείες AZ\,\,,\,\,BD\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CP συντρέχουν.

2) Είναι EB=lEZ και στο ορθογώνιο τρίγωνο DEB:

\displaystyle{E{Z^2} = A{D^2} = EA \cdot AB \Leftrightarrow E{Z^2} = EA(EB - EA) \Leftrightarrow E{Z^2} - lEA \cdot EZ + E{A^2} = 0},

απ' όπου παίρνουμε \boxed{\frac{{EZ}}{{EA}} = \frac{{l + \sqrt {{l^2} - 4} }}{2}} (1)

Είναι όμως: \displaystyle{Z{D^2} = PD \cdot DA \Leftrightarrow E{A^2} = TC \cdot EZ \Leftrightarrow TC = \frac{{E{A^2}}}{{EZ}}} και \displaystyle{PT = AB = \frac{{E{Z^2}}}{{EA}}}

Άρα: \displaystyle{\frac{{PT}}{{TC}} = {\left( {\frac{{EZ}}{{EA}}} \right)^3}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} } \boxed{\frac{{PT}}{{TC}} = {\left( {\frac{{l + \sqrt {{l^2} - 4} }}{2}} \right)^3}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8397
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #89 από KARKAR » Τετ Δεκ 23, 2015 2:44 pm

Άσκηση 36
Άσκηση  37.png
Άσκηση 37.png (8.31 KiB) Προβλήθηκε 583 φορές
Σε ορθογώνιο ABCD , διαστάσεων 7\times 4 , τμήμα SP με άκρα επί των

AB , CD , εφάπτεται του τεταρτοκυκλίου A\overset{\frown}{QD} , (Q \in AB) σε σημείο T .

α) Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του τραπεζίου ASPD .

β) Βρείτε τη θέση της SP , ώστε να είναι (ASPD)=\dfrac{1}{2}(ABCD)


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #90 από ealexiou » Τετ Δεκ 23, 2015 3:27 pm

Άσκηση 36

β) Ας είναι S' η προβολή του S στην DC και DP=SB=S'C=x

Π.Θ στο \triangle PS'S, PS^2=PS'^2+SS'^2 \Rightarrow (PT+TS)^2=(7-2x)^2+4^2\ (1), Όμως

PT=DP=x και TS=\sqrt{AS^2-AT^2}=\sqrt{(7-x)^2-4^2} και η (1) γίνεται (x+\sqrt{(7-x)^2-4^2})^2=(7-2x)^2+4^2 \Rightarrow \boxed{x=2} ή \boxed{x=\dfrac{8}{3}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5164
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #91 από george visvikis » Τετ Δεκ 23, 2015 4:48 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 36
Το συνημμένο Άσκηση 37.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε ορθογώνιο ABCD , διαστάσεων 7\times 4 , τμήμα SP με άκρα επί των

AB , CD , εφάπτεται του τεταρτοκυκλίου A\overset{\frown}{QD} , (Q \in AB) σε σημείο T .

α) Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του τραπεζίου ASPD .

β) Βρείτε τη θέση της SP , ώστε να είναι (ASPD)=\dfrac{1}{2}(ABCD)


Ορθογώνια.36.png
Ορθογώνια.36.png (13.77 KiB) Προβλήθηκε 555 φορές
α) Έστω MN η διάμεσος του τραπεζίου. Το εμβαδόν του τραπεζίου γίνεται ελάχιστο, όταν ελαχιστοποιείται η διάμεσος, δηλαδή όταν το N συμπέσει με το T. Τότε όμως θα είναι από Π. Θ ,

MN=MT=2\sqrt{3} και \boxed{{(ASPD)_{\min }} = 8\sqrt 3 }

β) Η MN τέμνει τη BC στο F. Θα πρέπει MN=NF

Ορθογώνια.36.β.png
Ορθογώνια.36.β.png (15.31 KiB) Προβλήθηκε 549 φορές

Η SP προσδιορίζεται αν από το μέσο N της MF φέρω τις εφαπτόμενες στο τεταρτοκύκλιο. Έχουμε δύο λύσεις.


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 650
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #92 από sakis1963 » Τετ Δεκ 23, 2015 6:29 pm

Ασκηση 37
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.37.png
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.37.png (15.75 KiB) Προβλήθηκε 536 φορές

Εστω ορθογώνιο ABCD και τέταρτο έλλειψης με κέντρο A και ημιάξονες AB=a, AD=b

α. Βρείτε σημείο S της έλλειψης ώστε αν T, P οι προβολές του στις AB, AD το (APST) να γίνεται μέγιστο

β. Αν E, F τα συμμετρικά του A ως προς τα T, P (του μεγίστου του α. ερωτήματος), αποδείξτε ότι η FE εφάπτεται της έλλειψης στο S και διχοτομείται απ'αυτό

Για ευκολία μπορείτε να θεωρήσετε a=5, b=3


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8397
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #93 από KARKAR » Τετ Δεκ 23, 2015 9:42 pm

Άσκηση 38
Άσκηση 37.png
Άσκηση 37.png (8.47 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές
Σημείο S κινείται επί της πλευράς AB του διαστάσεων a \times b ορθογωνίου ABCD .

Mε μία κορυφή το S , σχεδιάστε το "εγγεγραμμένο" νέο ορθογώνιο STPQ .

Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το AS=x ?

Αν έχετε κουράγιο υπολογίστε το (STPQ) , συναρτήσει των a,b,x


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #94 από ealexiou » Τετ Δεκ 23, 2015 10:15 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 38
Το συνημμένο Άσκηση 37.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σημείο S κινείται επί της πλευράς AB του διαστάσεων a \times b ορθογωνίου ABCD .

Mε μία κορυφή το S , σχεδιάστε το "εγγεγραμμένο" νέο ορθογώνιο STPQ .

Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το AS=x ?

Αν έχετε κουράγιο υπολογίστε το (STPQ) , συναρτήσει των a,b,x


Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 38.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 38.png (19.8 KiB) Προβλήθηκε 486 φορές


Η μέγιστη τιμή του AS=x επιτυγχάνεται ο περίκυκλος του εσωτερικού ορθογωνίου εφάπτεται των AD και BC, δηλαδή έχει ακτίνα \dfrac{a}{2} και κέντρο, προφανώς το O (σημείο τομής των διαγωνίων του ABCD),οπότε είναι \boxed{SM=\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{2}}

και άρα AS=AM-SM \Rightarrow \boxed{AS=x =\dfrac{a}{2}-\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{2}}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8397
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #95 από KARKAR » Τετ Δεκ 23, 2015 11:19 pm

Άσκηση 39
Άσκηση 39.png
Άσκηση 39.png (5.53 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές
Στη "γωνιά" A του διαστάσεων a \times b , σταθερού μακρόστενου ορθογωνίου ABCD

σχεδιάζουμε όμοιο , αλλά στενόμακρο και μεταβλητού μεγέθους ορθογώνιο APST .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της απόστασης της ( κινούμενης ) κορυφής S από το B .


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1656
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #96 από ealexiou » Τετ Δεκ 23, 2015 11:56 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 39
Το συνημμένο Άσκηση 39.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στη "γωνιά" A του διαστάσεων a \times b , σταθερού μακρόστενου ορθογωνίου ABCD

σχεδιάζουμε όμοιο , αλλά στενόμακρο και μεταβλητού μεγέθους ορθογώνιο APST .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της απόστασης της ( κινούμενης ) κορυφής S από το B .


Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 39.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 39.png (16.51 KiB) Προβλήθηκε 466 φορές


Είναι \triangle ADO \sim \triangle DAB \Rightarrow DO=\dfrac{b^2}{a}=st και το S κινείται πάνω στην AO, οπότε το SB γίνεται ελάχιστο στη θέση S_0B και είναι \dfrac{S_0B}{a}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\Rightarrow S_0B=\dfrac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}
τελευταία επεξεργασία από ealexiou σε Πέμ Δεκ 24, 2015 12:13 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4626
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #97 από Doloros » Πέμ Δεκ 24, 2015 12:06 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 39
Το συνημμένο Άσκηση 39.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στη "γωνιά" A του διαστάσεων a \times b , σταθερού μακρόστενου ορθογωνίου ABCD

σχεδιάζουμε όμοιο , αλλά στενόμακρο και μεταβλητού μεγέθους ορθογώνιο APST .

Βρείτε την ελάχιστη τιμή της απόστασης της ( κινούμενης ) κορυφής S από το B .


Ορθογώνια (KARKAR)_39.png
Ορθογώνια (KARKAR)_39.png (14.93 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές


Επειδή η γωνία {a_1} = \widehat {BAS} = \widehat {ADB} ( σταθερή) το S κινείται σε σταθερή ευθεία .

Προφανώς δε το τμήμα BS γίνεται ελάχιστο όταν BS \bot AS , δηλαδή στη θέση {S_0} τομή των ευθειών AS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DB.

Θα είναι δε \boxed{B{S_0} = \frac{{{a^2}}}{d}\,\,\,,\,\,d = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = DB}.

Ν.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8397
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #98 από KARKAR » Πέμ Δεκ 24, 2015 8:41 am

Άσκηση 40
Άσκηση 40.png
Άσκηση 40.png (7.59 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές
Το M είναι το μέσο της πλευράς AB , ορθογωνίου ABCD . Αν οι BD , MC

τέμνονται σχηματίζοντας οξεία γωνία 60^0 , βρείτε το λόγο \dfrac{a}{b} .

Γκρίνιες για την "ποιότητα" του αποτελέσματος δεν νοούνται γουρουνιάρες μέρες ...


NIZ
Δημοσιεύσεις: 220
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #99 από NIZ » Πέμ Δεκ 24, 2015 10:06 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 40
Το συνημμένο Άσκηση 40.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το M είναι το μέσο της πλευράς AB , ορθογωνίου ABCD . Αν οι BD , MC

τέμνονται σχηματίζοντας οξεία γωνία 60^0 , βρείτε το λόγο \dfrac{a}{b} .

Γκρίνιες για την "ποιότητα" του αποτελέσματος δεν νοούνται γουρουνιάρες μέρες ...


Ortho_40.png
Ortho_40.png (169 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές


Καλημέρα! Θα τα πούμε, μια και δεν σας τά'πανε άλλοι.

Είναι \displaystyle{k+m=180^0-60^0 \Rightarrow tan(k+m)=tan 120^0 
\Rightarrow \frac{tan k +tan m}{1-tan k \cdot tan m}=-\sqrt{3} \; (1)}
Επειδή \displaystyle {tan k =\frac{a}{b}=x \; \; , \; tan m =\frac {a}{2b}=\frac{1}{2}x}
έχουμε
\displaystyle { (1)\Rightarrow \frac{\frac{3}{2}x}{1-\frac{1}{2}x^2}=-\sqrt{3}\Leftrightarrow 
x^2\sqrt{3}-3x-2\sqrt{3}=0\Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{33}}{2\sqrt{3}}}
Και επειδή η k είναι οξεία είναι \displaystyle {x=\frac{a}{b}=\frac{3+\sqrt{33}}{2\sqrt{3}}
=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{11}}{2}}


Νίκος Ζαφειρόπουλος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5164
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #100 από george visvikis » Πέμ Δεκ 24, 2015 10:07 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 40
Το συνημμένο Άσκηση 40.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το M είναι το μέσο της πλευράς AB , ορθογωνίου ABCD . Αν οι BD , MC

τέμνονται σχηματίζοντας οξεία γωνία 60^0 , βρείτε το λόγο \dfrac{a}{b} .

Γκρίνιες για την "ποιότητα" του αποτελέσματος δεν νοούνται γουρουνιάρες μέρες ...


Καλημέρα και Χρόνια Πολλά :mathexmastree:

Ορθογώνια.40.png
Ορθογώνια.40.png (11.95 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές

Έστω N το μέσο της BD. Είναι \displaystyle{SC = \frac{2}{3}MC = \frac{{\sqrt {{a^2} + 4{b^2}} }}{3},SB = \frac{2}{3}BN = \frac{{BD}}{3} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{3}}

Νόμος συνημιτόνων στο BSC:
\displaystyle{{b^2} = \frac{{{a^2} + 4{b^2}}}{9} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{9} - \frac{1}{9}\sqrt {{a^2} + 4{b^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}} \right)^2} - 7\left( {\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}}} \right) + 4 = 0}

Η τελευταία αυτή εξίσωση για a>b, δίνει \boxed{\frac{a}{b} = \sqrt {\frac{{7 + \sqrt {33} }}{2}} }

Τι σόι αποτέλεσμα είναι αυτό τώρα;;; :lol:



Επιστροφή σε “ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης