Σελίδα 34 από 36

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 27, 2016 9:50 am
από Φωτεινή
KARKAR έγραψε:Άσκηση 234
Άσκηση 234.pngΠροεκτείνουμε τις πλευρές CB ,CD , ορθογωνίου ABCD κατά τμήματα BS=BA

και DP=DA αντίστοιχα . Τα σημεία P,A,S είναι προφανώς συνευθειακά .

Δείξτε ότι ο περίκυκλος του ορθογωνίου διέρχεται από το μέσο M του τμήματος PS .

A\hat MC=90^o (εγγεγραμένη,AC διάμετρος του κύκλου)
\vartriangle PCS ισοσκελές
άρα το ύψος CM είναι και διάμεσος.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 27, 2016 9:50 am
από george visvikis
KARKAR έγραψε:Άσκηση 234
Άσκηση 234.pngΠροεκτείνουμε τις πλευρές CB ,CD , ορθογωνίου ABCD κατά τμήματα BS=BA

και DP=DA αντίστοιχα . Τα σημεία P,A,S είναι προφανώς συνευθειακά .

Δείξτε ότι ο περίκυκλος του ορθογωνίου διέρχεται από το μέσο M του τμήματος PS .


Η CA είναι διάμετρος του κύκλου, άρα η CM είναι κάθετη στην PS κι επειδή το τρίγωνο CPS είναι ισοσκελές, το M θα είναι μέσο του PS.

Με διαφορά dt. Γεια σου Φωτεινή.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 27, 2016 9:52 am
από Φωτεινή
george visvikis έγραψε:Η CA είναι διάμετρος του κύκλου, άρα η CM είναι κάθετη στην PS κι επειδή το τρίγωνο CPS είναι ισοσκελές, το M θα είναι μέσο του PS.

Γιώργο γράφαμε ταυτόχρονα :)
Καλημέρα.!

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 27, 2016 9:53 am
από KARKAR
Άσκηση 235
Άσκηση 235.png
Άσκηση 235.png (12.1 KiB) Προβλήθηκε 1330 φορές
Ο κύκλος (K,2) εφάπτεται της πλευράς AB , του ορθογωνίου ABCD και το σημείο επαφής

τη χωρίζει σε τμήματα με μήκη 4 και 3 . Η εφαπτομένη DS του κύκλου ,τέμνει την BC στο P .

Υπολογίστε την πλευρά AD αν : α) Τα σημεία K,S,C είναι συνευθειακά .. β) Είναι PB=PS .

Η άσκηση είναι προφανώς εμπνευσμένη από το KARKAR-AVATAR :lol:

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιούλ 27, 2016 10:54 am
από george visvikis
KARKAR έγραψε:Άσκηση 235
Άσκηση 235.pngΟ κύκλος (K,2) εφάπτεται της πλευράς AB , του ορθογωνίου ABCD και το σημείο επαφής

τη χωρίζει σε τμήματα με μήκη 4 και 3 . Η εφαπτομένη DS του κύκλου ,τέμνει την BC στο P .

Υπολογίστε την πλευρά AD αν : α) Τα σημεία K,S,C είναι συνευθειακά .. β) Είναι PB=PS .

Η άσκηση είναι προφανώς εμπνευσμένη από το KARKAR-AVATAR :lol:


Πρώτα το α) ερώτημα (γιατί ως γνωστόν "ένα ένα τα τρων' τα σύκα"! :D )
Ορθογωνια.235.png
Ορθογωνια.235.png (19.77 KiB) Προβλήθηκε 1325 φορές

\displaystyle{D{C^2} - D{K^2} = C{S^2} - K{S^2} \Leftrightarrow 49 - {(b - 2)^2} - 16 = C{S^2} - 4 \Leftrightarrow } \boxed{{(b - 2)^2} = 37 - C{S^2}} (1)

\displaystyle{K{C^2} = {(b - 2)^2} + 9\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} {(CS + 2)^2} = 46 - C{S^2} \Leftrightarrow C{S^2} + 2CS - 21 = 0 \Leftrightarrow CS = \sqrt {22}  - 1}

και από την (1) βρίσκουμε \boxed{b = 2 + \sqrt {14 +2 \sqrt {22} } }

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιούλ 29, 2016 11:13 am
από george visvikis
Πάμε για το β) ερώτημα:
Ορθογώνια 235.png
Ορθογώνια 235.png (19.11 KiB) Προβλήθηκε 1303 φορές

\displaystyle{P{B^2} = P{S^2} = PM \cdot PE \Leftrightarrow BM \bot PE}. Εύκολα τώρα βρίσκουμε:

\displaystyle{BZ = 5,BM = \frac{9}{5},MZ = \frac{{16}}{5},ME = \frac{{12}}{5},PB = \frac{9}{4}} και συνεπώς \boxed{PC = b - \frac{9}{4}}

Από Π. Θ στο PSK και νόμο συνημιτόνων στο DKA με \displaystyle{\cos \omega  = \sin \varphi  = \frac{1}{{\sqrt 5 }}} έχουμε:

\displaystyle{D{S^2} = D{K^2} - 4 = {b^2} + 20 - 4b - 4 \Leftrightarrow } \boxed{DS = \sqrt {{b^2} - 4b + 16} }

Τέλος από Π. Θ στο DSP: \displaystyle{{\left( {\sqrt {{b^2} - 4b + 16}  + \frac{9}{4}} \right)^2} = {\left( {b - \frac{9}{4}} \right)^2} + 49}, απ' όπου παίρνουμε την δεκτή λύση: \boxed{b = \frac{{15}}{2}}

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 22, 2016 7:20 pm
από KARKAR
Άσκηση 236 .
Άσκηση  237.png
Άσκηση 237.png (9.18 KiB) Προβλήθηκε 1241 φορές
Αξιοποιώντας τα δεδομένα στα δύο ορθογώνια : α) Υπολογίστε το μήκος της AD .

Αν T' είναι το αντιδιαμετρικό του σημείου επαφής T , δείξτε ότι : \widehat{DT'P}=90^0

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 22, 2016 11:06 pm
από sakis1963
Άσκηση 236

Αν η Q=PO \cap AD έχουμε :

από Π.Θ. στο OTP ότι TP=\sqrt5

από Π.Θ. στο T'TP ότι T'P=\sqrt{21}

από ομοιότητα PQD, PTO ότι \dfrac{\sqrt5}{7}=\dfrac{3}{DP}=\dfrac{2}{QD} απόπου QD=\dfrac{14}{\sqrt5}, DP=\dfrac{21}{\sqrt5}, AD=AQ+QD=\dfrac{14}{\sqrt5}+2

Τώρα αφού T'T^2=16=TP \cdot DT= TP(DP-TP)=\sqrt5(\dfrac{21}{\sqrt5}-\sqrt5) και T'T \perp DP έπεται ότι το T' ανήκει σε κύκλο με διάμετρο DP και συνεπώς \widehat{DT'P}=90^0

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 22, 2016 11:54 pm
από george visvikis
KARKAR έγραψε:Άσκηση 236 .
Άσκηση 237.pngΑξιοποιώντας τα δεδομένα στα δύο ορθογώνια : α) Υπολογίστε το μήκος της AD .

Αν T' είναι το αντιδιαμετρικό του σημείου επαφής T , δείξτε ότι : \widehat{DT'P}=90^0


Καλησπέρα!

Κάτι παρόμοιο...
Ορθογώνια 236.png
Ορθογώνια 236.png (20.69 KiB) Προβλήθηκε 1220 φορές

Έστω AD=a. Εύκολα βρίσκουμε ότι PT=\sqrt{5} κι επειδή τα τρίγωνα OTP, PCD είναι όμοια, θα είναι:

\displaystyle{\frac{{\sqrt 5 }}{7} = \frac{3}{{DP}} = \frac{2}{{a - 2}} \Rightarrow } \boxed{a = \frac{{10 + 14\sqrt 5 }}{5}} και \displaystyle{DP = \frac{{21}}{{\sqrt 5 }}}. Επειδή όμως από Π. Θ στο T'TP είναι

\displaystyle{T'P = \sqrt {21}  \Rightarrow T'{P^2} = 21 = \sqrt 5  \cdot \frac{{21}}{{\sqrt 5 }} = PT \cdot PD \Rightarrow } \boxed{\widehat{DT'P}=90^0}

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Παρ Οκτ 21, 2016 10:43 pm
από KARKAR
Άσκηση 237

Άσηση  239.png
Άσηση 239.png (11.08 KiB) Προβλήθηκε 1077 φορές
Στο διαστάσεων a\times b , ορθογώνιο ABCD , εντοπίστε σημείο S της DC , ώστε

η μεσοκάθετη της AS να διέρχεται από το B . Βρείτε το λόγο \dfrac{b}{a} , αν \dfrac{(ABSP)}{(ABCD)}=\dfrac{5}{9}

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Οκτ 22, 2016 11:26 am
από george visvikis
KARKAR έγραψε:Άσκηση 237

Άσηση 239.pngΣτο διαστάσεων a\times b , ορθογώνιο ABCD , εντοπίστε σημείο S της DC , ώστε

η μεσοκάθετη της AS να διέρχεται από το B . Βρείτε το λόγο \dfrac{b}{a} , αν \dfrac{(ABSP)}{(ABCD)}=\dfrac{5}{9}


Ορθογώνια 237.png
Ορθογώνια 237.png (14.55 KiB) Προβλήθηκε 1062 φορές

Αν η μεσοκάθετη της AS διέρχεται από το B θα είναι BS=BA=a, οπότε \boxed{SC=\sqrt{a^2-b^2}}

Τα τρίγωνα DSP, CSB είναι όμοια: \displaystyle{\frac{x}{a} = \frac{{a - \sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{b} \Leftrightarrow } \boxed{x = \frac{{{a^2} - a\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{b}} (1)

\displaystyle{(ABSP) = \frac{5}{9}(ABCD) \Leftrightarrow ax = \frac{5}{9}ab \Leftrightarrow } \boxed{x = \frac{5}{9}b} (2) Από τις (1), (2), παίρνουμε τελικά \boxed{\frac{b}{a} = \frac{3}{5}}

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Οκτ 22, 2016 3:11 pm
από STOPJOHN
KARKAR έγραψε:Άσκηση 237

Άσηση 239.pngΣτο διαστάσεων a\times b , ορθογώνιο ABCD , εντοπίστε σημείο S της DC , ώστε

η μεσοκάθετη της AS να διέρχεται από το B . Βρείτε το λόγο \dfrac{b}{a} , αν \dfrac{(ABSP)}{(ABCD)}=\dfrac{5}{9}


Καλημέρα , για την κατασκευή του σημείου S

Θεωρώ την γωνία
\hat{PAS}=\hat{\omega }.Αρα από το θεώρημα χορδής και εφαπτομένης είναι \hat{PAS}=\hat{TBA}=\omega

Aπό το ισοσκελές τρίγωνο ABS,AB=AS,TB\perp AS,\hat{TBS}=\omega
Στο εγράψιμο τετράπλευροSTBC,\hat{SCT}=\omega ,
Συνεπώς \hat{CSB}=2\omega =\hat{CTB}, ;Αρα \hat{DTS}=2\omega ,\hat{ADT}=\omega =\hat{TAD},\hat{STC}=\hat{SBC}=90-2\omega ,\hat{DTC}=90^{0} και \hat{ATB}=90^{0}
Το σημείο T ορίζεται ως η τομή (εφόσον υπάρχει)των δυο κόκκινων ημικυκλίων διαμέτρου a και κέντρων O,K
Η τομή της AT με την DC προσδιορίζει το σημείο S





Γιάννης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Οκτ 22, 2016 4:45 pm
από george visvikis
KARKAR έγραψε:Άσκηση 237

Άσηση 239.pngΣτο διαστάσεων a\times b , ορθογώνιο ABCD , εντοπίστε σημείο S της DC , ώστε

η μεσοκάθετη της AS να διέρχεται από το B.


Γεια σου Γιάννη, γεια σε όλους!

Επειδή ξέχασα να γράψω την κατασκευή στην προηγούμενη ανάρτησή μου.
Ορθογώνια 237.b.png
Ορθογώνια 237.b.png (11.27 KiB) Προβλήθηκε 1045 φορές

Είναι BS=BA=a, άρα ο κύκλος (B,a) τέμνει την CD στο ζητούμενο σημείο S.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 26, 2016 9:55 pm
από KARKAR
Άσκηση 238

Άσκηση 238.png
Άσκηση 238.png (14.06 KiB) Προβλήθηκε 1016 φορές
Το A' είναι ένα σημείο της πλευράς DC του ορθογωνίου ABCD . Οι αποστάσεις

των κορυφών B,C,D από την ευθεία που διέρχεται από το A' και είναι κάθετη

προς το AA' , φαίνονται στο σχήμα . Υπολογίστε τις διαστάσεις του ορθογωνίου .

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Οκτ 27, 2016 10:20 am
από george visvikis
KARKAR έγραψε:Άσκηση 238

Άσκηση 238.pngΤο A' είναι ένα σημείο της πλευράς DC του ορθογωνίου ABCD . Οι αποστάσεις

των κορυφών B,C,D από την ευθεία που διέρχεται από το A' και είναι κάθετη

προς το AA' , φαίνονται στο σχήμα . Υπολογίστε τις διαστάσεις του ορθογωνίου .


Ορθογώνια 238..png
Ορθογώνια 238..png (16.03 KiB) Προβλήθηκε 994 φορές

Έστω AB=a, BC=b, DA'=x, EB'=y. Όλα τα ορθογώνια τρίγωνα στο σχήμα είναι όμοια μεταξύ τους.

Εύκολα βρίσκω \displaystyle{EC' = 3y,BE = \frac{b}{4},EC = \frac{{3b}}{4}} και από την ομοιότητα των τριγώνων A'DD', A'CC', A'AD παίρνω

\boxed{a = \frac{{7x}}{3},AA' = \frac{{{x^2}}}{9},A'C = \frac{{4x}}{3}}. Τέλος από τα όμοια τρίγωνα AA'D, EBB' είναι: \displaystyle{\frac{x}{y} = \frac{b}{4} = \frac{{4{x^2}}}{{9b}} \Rightarrow } \boxed{y=3}

Πάμε τώρα στο ορθογώνιο τρίγωνο CC'E, απ' όπου παίρνουμε \boxed{b=20} και τέλος από \displaystyle{x = \frac{{by}}{4},a = \frac{{7x}}{3} \Rightarrow } \boxed{a=35}

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 09, 2017 8:30 pm
από KARKAR
Άσκηση 239

Άσκηση  240.png
Άσκηση 240.png (15.79 KiB) Προβλήθηκε 585 φορές
Στο άκρο C της διαγωνίου AC , ορθογωνίου ABCD , φέρω κάθετη , η οποία τέμνει

τις προεκτάσεις των AB,AD στα σημεία S,P αντίστοιχα . Δείξτε ότι : \widehat{CBP}=\widehat{CDS}

Συμπλήρωση : Δείξτε ότι η γωνία \theta παίρνει μέγιστη τιμή . Μιχάλη , καλή χρονιά !

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 09, 2017 9:52 pm
από Μιχάλης Νάννος
KARKAR έγραψε:Άσκηση 239

Στο άκρο C της διαγωνίου AC , ορθογωνίου ABCD , φέρω κάθετη , η οποία τέμνει

τις προεκτάσεις των AB,AD στα σημεία S,P αντίστοιχα . Δείξτε ότι : \widehat{CBP}=\widehat{CDS}

Καλησπέρα!
Άσκηση-239.png
Άσκηση-239.png (22.16 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

Οι «γαλάζιες» γωνίες είναι ίσες, οπότε το PDBS είναι εγγράψιμο, συνεπώς {90^ \circ } + \omega  = {90^ \circ } + \theta  \Leftrightarrow \omega  = \theta

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 3:02 pm
από KARKAR
Άσκηση 240
Άσκηση  240.png
Άσκηση 240.png (15.79 KiB) Προβλήθηκε 526 φορές
Το σημείο M είναι το μέσο της πλευράς AD ορθογωνίου ABCD , ενώ τα B',B'' είναι

τα μέσα των AM,MD αντίστοιχα . Διπλώνουμε το ορθογώνιο , με τσάκιση SP , έτσι ώστε

το B να βρεθεί στη θέση B' ( ή στη θέση B'' ) και το C στη θέση C' .

α) Δείξτε ότι και στις δύο περιπτώσεις το εμβαδόν του SB'C'P , είναι το ίδιο .

β) Αν AB=6 και AD=4 , υπολογίστε το εμβαδόν του SB'C'P .

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Παρ Ιαν 13, 2017 4:51 pm
από KARKAR
Άσκηση 241
Άσκηση  241.png
Άσκηση 241.png (11.5 KiB) Προβλήθηκε 477 φορές
Μέρος του ορθογωνίου ABCD , διπλώθηκε κατά μήκος τμήματος SP , ώστε τα D,C , να

βρεθούν στις θέσεις D',C' . Δείξτε ότι η διχοτόμος της \widehat{BD'C'} , είναι παράλληλη της SP .

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 15, 2017 8:11 pm
από rek2
Επαναφέρω την 210.