Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Συντονιστής: spyros

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 663
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #641 από sakis1963 » Πέμ Μαρ 24, 2016 3:18 pm

Ασκηση 226
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.226.png
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.226.png (24.31 KiB) Προβλήθηκε 1540 φορές

Εστω ορθογώνιο PQST και κύκλος (K, r) που διέρχεται από τα P, Q (K εξωτερικό του ορθογωνίου και r>\dfrac{PQ}{2})
Από τα T, S φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα TC, SD που τέμνονται στο L.

Δείξτε ότι KP, KQ είναι εφαπτομένες του κυκλου (L, LT)


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1366
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #642 από rek2 » Παρ Μαρ 25, 2016 1:21 am

sakis1963 έγραψε:Ασκηση 226
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.226.png

Εστω ορθογώνιο PQST και κύκλος (K, r) που διέρχεται από τα P, Q (K εξωτερικό του ορθογωνίου και r>\dfrac{PQ}{2})
Από τα T, S φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα TC, SD που τέμνονται στο L.

Δείξτε ότι KP, KQ είναι εφαπτομένες του κυκλου (L, LT)


Αρκεί να δείξω ότι sin(P\hat{K}L)=\dfrac{R}{KL}. Πράγματι, είναι \dfrac{TS/2}{R}=sin(T\hat{L}K)=\dfrac{r}{KL}, οπότε

sin(P\hat{K}L)=\dfrac{PQ/2}{r}=\dfrac{TS/2}{r}=\dfrac{TS/2}{R}\dfrac{R}{r}=\dfrac{r}{KL}\dfrac{R}{r}=\dfrac{R}{KL}


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 663
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #643 από sakis1963 » Κυρ Μαρ 27, 2016 2:38 pm

Ασκηση 227
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.227.png
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.227.png (22.51 KiB) Προβλήθηκε 1453 φορές

Στις προεκτάσεις των διαγωνίων AC, BD, ορθογωνίου ABCD (AB=a, BC=b), παίρνουμε ίσα τμήματα CE=DF=x

α. Δείξτε ότι το ABEF είναι ισοσκελές τραπέζιο

β. Υπολογίστε το x (συναρτήσει των a, b) ώστε (ABEF)=2(ABCD)

γ. Υπολογίστε το λόγο \dfrac{a}{b} ώστε επιπλέον ο περίκυκλος του ABEF νάχει κέντρο το μέσον O της DC


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5284
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #644 από george visvikis » Δευ Μαρ 28, 2016 11:36 am

sakis1963 έγραψε:Ασκηση 227
Το συνημμένο GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.227.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Στις προεκτάσεις των διαγωνίων AC, BD, ορθογωνίου ABCD (AB=a, BC=b), παίρνουμε ίσα τμήματα CE=DF=x

α. Δείξτε ότι το ABEF είναι ισοσκελές τραπέζιο

β. Υπολογίστε το x (συναρτήσει των a, b) ώστε (ABEF)=2(ABCD)

γ. Υπολογίστε το λόγο \dfrac{a}{b} ώστε επιπλέον ο περίκυκλος του ABEF νάχει κέντρο το μέσον O της DC


Καλημέρα Σάκη.

227.png
227.png (17.74 KiB) Προβλήθηκε 1407 φορές

α) Το ABEF είναι τραπέζιο (προκύπτει από αντίστροφο Θαλή) και επειδή AE=BF είναι ισοσκελές.

β) Έστω \displaystyle{KD = d = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{2}}, (KAF)=(KBE)=(S_1), KFE=(S_2).

\displaystyle{\frac{{(KAD)}}{{(KAF)}} = \frac{{(KBC)}}{{(KBE)}} = \frac{{ab}}{{4({S_1})}} = \frac{d}{{d + x}} \Leftrightarrow } \boxed{({S_1}) = \frac{{ab(d + x)}}{{4d}}}

\displaystyle{\frac{{(KDC)}}{{({S_2})}} = \frac{{ab}}{{4({S_2})}} = \frac{{{d^2}}}{{{{(d + x)}^2}}} \Leftrightarrow } \boxed{({S_2}) = \frac{{ab{{(d + x)}^2}}}{{4{d^2}}}}

\displaystyle{(ABEF) = 2(ABCD) \Leftrightarrow 2({S_1}) + ({S_2}) + \frac{{ab}}{4} = 2ab \Leftrightarrow \frac{{d + x}}{{2d}} + \frac{{{{(d + x)}^2}}}{{4{d^2}}} = \frac{7}{4} \Leftrightarrow {x^2} + 2dx - 4{d^2} = 0}

απ' όπου παίρνουμε τη δεκτή ρίζα \displaystyle{x = 2d\left( {\sqrt 2  - 1} \right) \Leftrightarrow } \boxed{x = \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\sqrt {{a^2} + {b^2}} }

γ) \displaystyle{FD \cdot DB = {R^2} - O{D^2} \Leftrightarrow 2xd = {b^2} \Leftrightarrow ({a^2} + {b^2})(\sqrt 2  - 1) = {b^2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \sqrt 2  \Leftrightarrow } \boxed{\frac{a}{b} = \sqrt[4]{2}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8477
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #645 από KARKAR » Δευ Μαρ 28, 2016 12:54 pm

Άσκηση 228
Άσκηση  227.png
Άσκηση 227.png (10.61 KiB) Προβλήθηκε 1398 φορές
Ευθεία η οποία διέρχεται από την κορυφή D , ορθογωνίου ABCD , τέμνει τις

προεκτάσεις των BA,BC στα σημεία P,Q αντίστοιχα . Από το P και τυχόν

σημείο S της AD , διέρχεται άλλη ευθεία , προς την οποία φέρουμε κάθετη

από το B , η οποία τέμνει την DC στο T . Δείξτε ότι και : QT \perp BS .


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1537
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #646 από STOPJOHN » Δευ Μαρ 28, 2016 2:47 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 228
Το συνημμένο Άσκηση 227.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ευθεία η οποία διέρχεται από την κορυφή D , ορθογωνίου ABCD , τέμνει τις

προεκτάσεις των BA,BC στα σημεία P,Q αντίστοιχα . Από το P και τυχόν

σημείο S της AD , διέρχεται άλλη ευθεία , προς την οποία φέρουμε κάθετη

από το B , η οποία τέμνει την DC στο T . Δείξτε ότι και : QT \perp BS .


Καλημέρα

Από το ορθογώνιο τρίγωνο PEB,  \hat{PEB}=\hat{TBP}=\hat{\phi },,

Aκόμη είναι SA//BC\Leftrightarrow \hat{ASB}=\hat{\phi }=\hat{SBE}

\hat{TBC}=\hat{\nu }=90-\hat{\phi },\hat{QTC}=\hat{\phi },\hat{TQC}=\hat{\nu }=90-\hat{\phi }, TQ=TB,


\hat{NQB}+\hat{QBN}=90-\hat{\phi }+\hat{\phi }=90^{0}\Leftrightarrow QN\perp SB



Γιάννης
Συνημμένα
Ασκηση  228.png
Ασκηση 228.png (18.4 KiB) Προβλήθηκε 1376 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8477
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #647 από KARKAR » Τετ Μάιος 04, 2016 6:47 am

Άσκηση 229

Άσκηση  229.png
Άσκηση 229.png (15.93 KiB) Προβλήθηκε 1319 φορές
Ιδέα Καλογεράκη : Σημείο S κινείται στο μικρό τόξο \displaystyle\overset{\frown}{AB} του περικύκλου

ορθογωνίου ABCD . Η SC τέμνει την AB στο P . Γράφω τον κύκλο

(K) , ο οποίος διέρχεται από τα S,P,B . Έστω O το κέντρο του ABCD .

α) Δείξτε ότι KS\perp SO ... β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου K
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Παρ Φεβ 10, 2017 8:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #648 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Μάιος 04, 2016 9:46 am

KARKAR έγραψε:Ιδέα Καλογεράκη : Σημείο S κινείται στο μικρό τόξο \displaystyle\overset{\frown}{AB} του περικύκλου ορθογωνίου ABCD . Η SC τέμνει την AB στο P . Γράφω τον κύκλο (K) , ο οποίος διέρχεται από τα S,P,B . Έστω O το κέντρο του ABCD .α) Δείξτε ότι KS\perp SO ... β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου K


α) \angle OSC\mathop  = \limits^{OA = OC} \angle OCS\mathop  = \limits^{O,A,C\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha } \angle ACS \mathop  = \limits^{A,S,B,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle ABS \Rightarrow OS εφαπτόμενη του κύκλου \left( K \right) \Rightarrow KS \bot OS.

β) Με OS = OB = {R_O}\mathop  \Rightarrow \limits^{KS \bot OS} BK \bot OB \Rightarrow K σημείο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα το B και το σημείο τομής της καθέτου επί την σταθερή OB

με την μεσοκάθετη της AB και όλα τα ζητούμενα έχουν αποδειχθεί και βρεθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5284
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #649 από george visvikis » Τετ Μάιος 04, 2016 11:16 am

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Άσκηση 229.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ιδέα Καλογεράκη : Σημείο S κινείται στο μικρό τόξο \displaystyle\overset{\frown}{AB} του περικύκλου

ορθογωνίου ABCD . Η SC τέμνει την AB στο P . Γράφω τον κύκλο

(K) , ο οποίος διέρχεται από τα S,P,B . Έστω O το κέντρο του ABCD .

α) Δείξτε ότι KS\perp SO ... β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου K


Καλημέρα σε όλους!

Ορθογώνια.228.png
Ορθογώνια.228.png (20.25 KiB) Προβλήθηκε 1279 φορές

α) \displaystyle{AD = BC \Leftrightarrow D\widehat BA = B\widehat SC}, άρα η OB είναι εφαπτομένη του κύκλου (K) και επειδή τα τρίγωνα OBK, OSK είναι ίσα, θα είναι \displaystyle{O\widehat SK = {90^0}}.

β) Σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα, το K κινείται πάνω σε ευθεία που διέρχεται από το σταθερό σημείο B και είναι κάθετη στη BD. Όταν το S πάρει τη θέση του A, τότε η AK θα είναι κάθετη στην AC. Αν λοιπόν οι εφαπτόμενες του κύκλου (O) στα A, B τέμνονται στο σημείο T, τότε το ευθύγραμμο τμήμα BT είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8477
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #650 από KARKAR » Σάβ Μάιος 07, 2016 1:56 pm

Άσκηση 230
230.png
230.png (9.95 KiB) Προβλήθηκε 1243 φορές

α) Αν S είναι σημείο της διαγωνίου AC , ορθογωνίου ABCD , δείξτε ότι (SBC)=(SDC) .

β) Βρείτε το λόγο \dfrac{a}{b} , ώστε να είναι δυνατόν να ορισθεί S με \dfrac{BS}{DS}=\dfrac{1}{2} και κατασκευάστε το S .

γ) Αν a=9,b=4 υπολογίστε εμβαδόν και περίμετρο του τριγώνου SBC ( S του ερωτήματος β)) .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5284
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #651 από george visvikis » Σάβ Μάιος 07, 2016 8:14 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 230
Το συνημμένο 230.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

α) Αν S είναι σημείο της διαγωνίου AC , ορθογωνίου ABCD , δείξτε ότι (SBC)=(SDC) .

β) Βρείτε το λόγο \dfrac{a}{b} , ώστε να είναι δυνατόν να ορισθεί S με \dfrac{BS}{DS}=\dfrac{1}{2} και κατασκευάστε το S .

γ) Αν a=9,b=4 υπολογίστε εμβαδόν και περίμετρο του τριγώνου SBC ( S του ερωτήματος β)) .


Ορθογώνια 230.png
Ορθογώνια 230.png (17.31 KiB) Προβλήθηκε 1214 φορές

α) Τα δύο τρίγωνα έχουν κοινή την πλευρά SC και επειδή οι κορυφές B, D ισαπέχουν της AC, είναι ισεμβαδικά. Αφήνω το β) ερώτημα και πάω στο

γ) Είναι \displaystyle{AC = BD = \sqrt {97}  \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{9}{{\sqrt {97} }},\sigma \upsilon \nu \omega  = \frac{4}{{\sqrt {97} }}} και με νόμο συνημιτόνων στα δύο τρίγωνα έχω:

\displaystyle{\left\{ \begin{gathered}
  4{x^2} = 81 + C{S^2} - 18CS\sigma \upsilon \nu \varphi  \hfill \\
  {x^2} = 16 + C{S^2} - 8CS\sigma \upsilon \nu \omega  \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.}

Πολλαπλασιάζω την πάνω εξίσωση με 16, την κάτω με 81 και αφαιρώ κατά μέλη, οπότε \displaystyle{x = CS\sqrt {\frac{{65}}{{17}}} } και τελικά: \boxed{CS = \frac{{2\sqrt {1309}  - 17}}{{3\sqrt {97} }}}

Η περίμετρος είναι \boxed{L = 4 + \frac{{2\sqrt {1309}  - 17}}{{3\sqrt {97} }} + \frac{{2\sqrt {1309}  - 17}}{{3\sqrt {97} }} \cdot \sqrt {\frac{{65}}{{17}}} } και το εμβαδόν

\displaystyle{E = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{{2\sqrt {1309}  - 17}}{{3\sqrt {97} }}\eta \mu \omega  \Leftrightarrow } \boxed{E = \frac{6}{{97}}\left( {2\sqrt {1309}  - 17} \right)}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8477
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #652 από KARKAR » Παρ Μάιος 13, 2016 7:30 pm

Άσκηση 231
232.png
232.png (7.5 KiB) Προβλήθηκε 1181 φορές
Σε ορθογώνιο ABCD συνδέουμε το κέντρο O με τα μέσα M,N των πλευρών

AB,AD αντίστοιχα . Οι διχοτόμοι των \widehat{ABD}, \widehat{ADB} , τέμνουν τις OM,ON

στα S,P αντίστοιχα . Βρείτε το λόγο \dfrac{AB}{AD} , ώστε : α) \dfrac{SM}{PN}=\dfrac{2}{3} , β) \dfrac{(DNP)}{(SMB)}=\dfrac{1}{2}


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1657
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #653 από ealexiou » Παρ Μάιος 13, 2016 8:54 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 231
Το συνημμένο 232.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε ορθογώνιο ABCD συνδέουμε το κέντρο O με τα μέσα M,N των πλευρών

AB,AD αντίστοιχα . Οι διχοτόμοι των \widehat{ABD}, \widehat{ADB} , τέμνουν τις OM,ON

στα S,P αντίστοιχα . Βρείτε το λόγο \dfrac{AB}{AD} , ώστε : α) \dfrac{SM}{PN}=\dfrac{2}{3} , β) \dfrac{(DNP)}{(SMB)}=\dfrac{1}{2}


Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 231.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 231.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 1169 φορές

Για το α)
Ας είναι \dfrac{AB}{AD}=k\Rightarrow a=kb οπότε DB=\sqrt{b^2+(kb)^2}=b\sqrt{k^2+1} και άρα DO=OB=\dfrac{b\sqrt{k^2+1}}{2}

Θεώρημα διχοτόμων, οπότε έχουμε:
\dfrac{x}{b/2}=\dfrac{kb/2}{kb/2+b\sqrt{k^2+1}/2}\Rightarrow \boxed{x=\dfrac{kb}{2(k+\sqrt{k^2+1})}} και \dfrac{y}{kb/2}=\dfrac{b/2}{b/2+b\sqrt{k^2+1}/2}\Rightarrow  \boxed{y=\dfrac{kb}{2(1+\sqrt{k^2+1})}}

Θέλουμε \dfrac{SM}{PN}=\dfrac{x}{y}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow \dfrac{\dfrac{kb}{2(k+\sqrt{k^2+1})}}{\dfrac{kb}{2(1+\sqrt{k^2+1})}}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow ...\Rightarrow\boxed{\boxed{\dfrac{AB}{AD}=k=2+\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}}
τελευταία επεξεργασία από ealexiou σε Παρ Μάιος 13, 2016 8:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5284
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #654 από george visvikis » Παρ Μάιος 13, 2016 8:56 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 231
Το συνημμένο 232.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε ορθογώνιο ABCD συνδέουμε το κέντρο O με τα μέσα M,N των πλευρών

AB,AD αντίστοιχα . Οι διχοτόμοι των \widehat{ABD}, \widehat{ADB} , τέμνουν τις OM,ON

στα S,P αντίστοιχα . Βρείτε το λόγο \dfrac{AB}{AD} , ώστε : α) \dfrac{SM}{PN}=\dfrac{2}{3} , β) \dfrac{(DNP)}{(SMB)}=\dfrac{1}{2}


Χαιρετώ τους φίλους!

Ορθογώνια 231.png
Ορθογώνια 231.png (10.05 KiB) Προβλήθηκε 1168 φορές

Έστω AB=2a, AD=2b, οπότε OD=OB=\sqrt{a^2+b^2}. Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου είναι:

\displaystyle{\frac{{NP}}{{PO}} = \frac{b}{{OD}} \Leftrightarrow \frac{{NP}}{a} = \frac{b}{{b + \sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow } \boxed{NP = \frac{{ab}}{{b + \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} και ομοίως \boxed{SM = \frac{{ab}}{{a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}

α) \displaystyle{\frac{{SM}}{{PN}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{{b + \sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow 3{a^2} - 12ab + 8{b^2} = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{a > b} } \boxed{\frac{a}{b} = \frac{2}{3}\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}

β) \displaystyle{\frac{{(DNP)}}{{(SMB)}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{b \cdot NP}}{{a \cdot SM}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{ab + b\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{ab + a\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{ab}}{{a - 2b}} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,} με a>2b

Με λογισμικό βρίσκω \boxed{\frac{a}{b} \simeq 2,947}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5284
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #655 από george visvikis » Δευ Μάιος 30, 2016 10:04 pm

Άσκηση 232

Ορθογώνια 232.png
Ορθογώνια 232.png (9.81 KiB) Προβλήθηκε 1092 φορές

Οι πλευρές και η διαγώνιος ορθογωνίου ABCD είναι διψήφιοι ακέραιοι αριθμοί. Αν εναλλάξουμε τα ψηφία

του μήκους της μεγάλης του διάστασης, προκύπτει το μήκος της διαγωνίου.

α) Να βρεθούν οι διαστάσεις και η διαγώνιος του ορθογωνίου.

β) Σημείο K κινείται στην πλευρά DC και η μεσοκάθετος της AK τέμνει τις πλευρές AB, AD στα σημεία M, N αντίστοιχα.

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του (MAN)


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1657
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #656 από ealexiou » Τρί Μάιος 31, 2016 12:04 am

Γεια σου Γιώργο!

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 232.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 232.png (28.21 KiB) Προβλήθηκε 1070 φορές

Για το α) (και ...υπαινιγμός για το β))
Αν \overline{xy} η διαγώνιος τότε η μια πλευρά του ορθογωνίου θα έχει την μορφή \overline{yx} και αν n (όπου n διψήφιος αριθμός) η άλλη πλευρά του ορθογωνίου τότε:

(10x+y)^2-(10y+x)^2=n^2\Rightarrow 99(x^2-y^2)=n^2 απο όπου με δοκιμές βρίσκω n=33

και άρα x^2-y^2=\dfrac{1089}{99}=11\Rightarrow (x+y)(x-y)=11\Rightarrow x=6, y=5,

δηλαδή \boxed{AD=33, DC=56, AC=DB=65}


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1657
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #657 από ealexiou » Τρί Μάιος 31, 2016 3:43 pm

george visvikis έγραψε:Άσκηση 232

Το συνημμένο Ορθογώνια 232.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Οι πλευρές και η διαγώνιος ορθογωνίου ABCD είναι διψήφιοι ακέραιοι αριθμοί. Αν εναλλάξουμε τα ψηφία

του μήκους της μεγάλης του διάστασης, προκύπτει το μήκος της διαγωνίου.

α) Να βρεθούν οι διαστάσεις και η διαγώνιος του ορθογωνίου.

β) Σημείο K κινείται στην πλευρά DC και η μεσοκάθετος της AK τέμνει τις πλευρές AB, AD στα σημεία M, N αντίστοιχα.

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του (MAN)


Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 232a.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 232a.png (42.25 KiB) Προβλήθηκε 1027 φορές


Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 232b.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 232b.png (21.45 KiB) Προβλήθηκε 1027 φορές


Είναι προφανές (διαγραμματικά) ότι (MAN)\geq (M_0AN_0)\Rightarrow (MAN)_{min}=(M_0AN_0)

Είναι AP=DK_0=DAtan30°=33\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}=11\sqrt{3},

άρα AK_0=22\sqrt{3} και επίσης είναι DQ=\dfrac{DA}{2}=\dfrac{33}{2}

Είναι \triangle M_0AN_0 \sim \triangle ADK_0 \Rightarrow N_0M_0=\dfrac{AP\cdot AK_0}{DQ}\Rightarrow N_0M_0=44

οπότε (MAN)_{min}=\dfrac{44\cdot11\sqrt{3} }{2}=242\sqrt{3}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5284
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #658 από george visvikis » Τετ Ιουν 08, 2016 6:03 pm

Άσκηση 233

Ορθογώνια 233.png
Ορθογώνια 233.png (13.42 KiB) Προβλήθηκε 945 φορές

Δίνεται ορθογώνιο ABCD και ένα σημείο M του επιπέδου που να μην βρίσκεται πάνω στις διαγώνιές του. Αν είναι γνωστές οι γωνίες \displaystyle{D\widehat MB = \omega ,C\widehat MA = \varphi }, να υπολογίσετε το λόγο των εμβαδών \displaystyle{\frac{{(DMB)}}{{(CMA)}}}


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1178
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #659 από dement » Τετ Ιουν 08, 2016 6:30 pm

Σε κάθε τρίγωνο \triangle{ABC} εμβαδού E ισχύει (από το νόμο των συνημιτόνων) ότι c^2 = a^2 + b^2 - 4 E \cot \hat{C}.

Στην περίπτωση των \triangle{DBM}, \triangle{CMA} έχουμε BD = CA και DM^2 + BM^2 = CM^2 + AM^2.

Άρα \displaystyle (DMB) \cot \omega = (CMA) \cot \phi \implies \frac{(DMB)}{(CMA)} = \frac{\cot \phi}{\cot \omega}


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8477
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #660 από KARKAR » Τετ Ιούλ 27, 2016 9:14 am

Άσκηση 234
Άσκηση 234.png
Άσκηση 234.png (9.15 KiB) Προβλήθηκε 830 φορές
Προεκτείνουμε τις πλευρές CB ,CD , ορθογωνίου ABCD κατά τμήματα BS=BA

και DP=DA αντίστοιχα . Τα σημεία P,A,S είναι προφανώς συνευθειακά .

Δείξτε ότι ο περίκυκλος του ορθογωνίου διέρχεται από το μέσο M του τμήματος PS .



Επιστροφή σε “ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες