Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Συντονιστής: spyros

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 661
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #621 από sakis1963 » Κυρ Φεβ 28, 2016 8:31 pm

Ασκηση 219
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.219.png
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.219.png (24.63 KiB) Προβλήθηκε 1247 φορές

Σε ορθογώνιο ABCD, a>2b γράφουμε το ημικύκλιο με διάμετρο AB (που τέμνει την DC) και έστω M το μέσον του τόξου AB.

H AM τέμνει την DC στο T και η BT τέμνει το ημικύκλιο στο N.

α. Να αποδειχθεί ότι η MN διέρχεται από το D

β. Αν S=AN \cap BM να υπολογιστεί το εμβαδόν του SAB (συναρτήσει των a, b)

γ. Να βρεθεί ο λόγος \dfrac{a}{b} ώστε η BN να διχοτομεί την \hat{ABM}


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4718
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #622 από Doloros » Κυρ Φεβ 28, 2016 10:45 pm

sakis1963 έγραψε:Ασκηση 219
Το συνημμένο GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.219.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Σε ορθογώνιο ABCD, a>2b γράφουμε το ημικύκλιο με διάμετρο AB (που τέμνει την DC) και έστω M το μέσον του τόξου AB.

H AM τέμνει την DC στο T και η BT τέμνει το ημικύκλιο στο N.

α. Να αποδειχθεί ότι η MN διέρχεται από το D

β. Αν S=AN \cap BM να υπολογιστεί το εμβαδόν του SAB (συναρτήσει των a, b)

γ. Να βρεθεί ο λόγος \dfrac{a}{b} ώστε η BN να διχοτομεί την \hat{ABM}



Για τα δύο πρώτα.

Ορθογώνια (KARKAR) _219.png
Ορθογώνια (KARKAR) _219.png (22.15 KiB) Προβλήθηκε 1224 φορές


1. Επειδή \widehat {BNN} = \widehat {BAM} = 45^\circ , αρκεί να δείξουμε ότι \widehat \theta  = 45^\circ.

Αλλά από το εγγράψιμο τετράπλευρο DATN \widehat \theta  = \widehat \omega ενώ λόγω της παραλληλίας των DC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB είναι \widehat \omega  = \widehat {BAM} = 45^\circ και άρα το ζητούμενο ισχύει.

2. Επειδή το Tείναι ορθόκεντρο του τριγώνου SAB θα είναι ST \bot AB και έστω SZ το ύψος του τριγώνου αυτού από το S .

Θέτουμε ST = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SM = u . προφανές ότι u = \dfrac{y}{{\sqrt 2 }}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MB = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }} , οπότε

από το εγγράψιμο τετράπλευρο TZBM θα έχουμε : ST \cdot SZ = SM \cdot SB απ’ όπου προκύπτει y = a - 2b \Leftrightarrow y + b = a - b . το τρίγωνο έτσι SAB θα έχει εμβαδόν,

\boxed{(SAB) = \frac{1}{2}a(a - b)}.

Για το τρίτο : Απλώς να πω ότι από το θεώρημα της προφανείας !! ( άλλοι καθιέρωσαν το όρο αυτό :lol: ) ο ζητούμενος λόγος είναι \boxed{\frac{a}{b} = 2 + \sqrt 2 }

Ορθογώνια (KARKAR) _219_c.png
Ορθογώνια (KARKAR) _219_c.png (22.13 KiB) Προβλήθηκε 1214 φορές


Πράγματι, έστω O το μέσο του AB. Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο MAB έχουμε :

\dfrac{{AT}}{{TM}} = \dfrac{{AB}}{{BM}} = \sqrt 2  \Rightarrow MA = (\sqrt 2  + 1)TM και άρα MO = (\sqrt 2  + 1)TZ οπότε: \dfrac{a}{{\sqrt 2 }} = (\sqrt 2  + 1)b \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{a}{b} = 2 + \sqrt 2 }


Φιλικά Νίκος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5261
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #623 από george visvikis » Πέμ Μαρ 03, 2016 8:58 pm

Άσκηση 220
220.png
220.png (10.12 KiB) Προβλήθηκε 1184 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD δίνονται τα μήκη των τμημάτων που φαίνονται στο σχήμα. Να βρεθεί ο λόγος \displaystyle{\frac{{EF}}{{PQ}}}.


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1657
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #624 από ealexiou » Πέμ Μαρ 03, 2016 9:48 pm

Καλησπέρα Γιώργο

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 220.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 220.png (8.85 KiB) Προβλήθηκε 1164 φορές

Είναι: \triangle ZBG \sim \triangle DCG \Rightarrow x=\dfrac{5}{3}

και \triangle EPB \sim \triangle FPD \Rightarrow \dfrac{EP}{EB}=\dfrac{FP}{DF} \Rightarrow \dfrac{EP}{EF}=\dfrac{3}{7}\Rightarrow EP=\dfrac{3EF}{7}

και \triangle FQD \sim \triangle EQZ \Rightarrow \dfrac{FQ}{QE}=\dfrac{DF}{EZ} \Rightarrow \dfrac{FQ}{EF}=\dfrac{4}{4+3+\frac{5}{3}}=\dfrac{6}{13}\Rightarrow FQ=\dfrac{6EF}{13}

Είναι PQ=EF-(EP+FQ)=EF\left(1-\dfrac{3}{7}-\dfrac{6}{13}\right)=\dfrac{10EF}{91}\Rightarrow \boxed{\dfrac{EF}{PQ}=\dfrac{91}{10}=9.10}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8460
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #625 από KARKAR » Σάβ Μαρ 05, 2016 9:51 am

Άσκηση 221
Άσκηση 222.png
Άσκηση 222.png (16.31 KiB) Προβλήθηκε 1116 φορές
Πάνω στη διάμετρο AOB ενός ημυκυκλίου , παίρνουμε τυχαίο σημείο S και

σχεδιάζουμε τα ημικύκλια με διαμέτρους AS,SB . Δείξτε ότι το τετράπλευρο

με κορυφές το S και τα μέσα L,M,N των τριών ημικυκλίων είναι ορθογώνιο .

Δείξτε επίσης ότι ο περίκυκλος του ορθογωνίου διέρχεται απο το κέντρο O .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5261
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #626 από george visvikis » Σάβ Μαρ 05, 2016 10:15 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 221
Το συνημμένο Άσκηση 222.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Πάνω στη διάμετρο AOB ενός ημυκυκλίου , παίρνουμε τυχαίο σημείο S και

σχεδιάζουμε τα ημικύκλια με διαμέτρους AS,SB . Δείξτε ότι το τετράπλευρο

με κορυφές το S και τα μέσα L,M,N των τριών ημικυκλίων είναι ορθογώνιο .

Δείξτε επίσης ότι ο περίκυκλος του ορθογωνίου διέρχεται απο το κέντρο O .


Καλημέρα Θανάση.

221.png
221.png (26.1 KiB) Προβλήθηκε 1109 φορές

Αν M είναι το μέσο του μεγάλου ημικυκλίου, είναι προφανές ότι οι MA, MB διέρχονται από τα μέσα των μικρότερων ημικυκλίων, άρα το SLMN είναι ορθογώνιο και ο περίκυκλός του έχει διάμετρο MS οπότε διέρχεται από το O.


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1657
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #627 από ealexiou » Σάβ Μαρ 05, 2016 10:23 am

Καλημέρα!

Παρόμοια με τον Γιώργο, αλλά αφού την έκανα...

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 221.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 221.png (23.19 KiB) Προβλήθηκε 1107 φορές


Τα τρίγωνα ANK και AMO είναι ισοσκελή ορθογώνια, άρα τα σημεία A,N,M είναι συνευθειακά, άρα \angle SNM=90°, αντίστοιχα και τα σημεία M,L,B συνευθειακά και \angle MLS=90°, οπότε το τετράπλευρο SLMN ορθογώνιο εγγράψιμο σε κύκλο με διαμέτρους MS,NL. Επειδή \angle MOS=90°, το σημείο O βρίσκεται πάνω σε αυτόν τον κύκλο.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8460
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #628 από KARKAR » Πέμ Μαρ 10, 2016 8:55 pm

Άσκηση 222
Άσκηση 229.png
Άσκηση 229.png (13.6 KiB) Προβλήθηκε 1057 φορές
Σχεδιάζω ορθογώνιο PQST του οποίου οι μεγαλύτερες πλευρές διέρχονται από τα μέσα

των πλευρών άλλου ορθογωνίου ABCD . Α) Δείξτε ότι τα ορθογώνια είναι ισεμβαδικά .

Β) Αν είναι γνωστός ο λόγος \dfrac{AB}{AD} , υπολογίστε το λόγο \dfrac{TP}{TS}


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1657
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #629 από ealexiou » Πέμ Μαρ 10, 2016 9:26 pm

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 222.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 222.png (12.92 KiB) Προβλήθηκε 1037 φορές


Έστω \dfrac{AB}{AD}=k και αν AD=b\Rightarrow AB=kb\ \wedge TP=DB=\sqrt{k^2b^2+b^2}=b\sqrt{k^2+1}

β) Είναι \triangle DBC \sim \triangle MDS\Rightarrow \dfrac{DB}{BC}=\dfrac{DM}{SD}\Rightarrow \dfrac{b\sqrt{k^2+1}}{b}=\dfrac{\frac{kb}{2}}{\frac{x}{2}}\Rightarrow x=\dfrac{bk}{\sqrt{k^2+1}}\Rightarrow
\dfrac{x}{b\sqrt{k^2+1}}=\dfrac{\dfrac{bk}{\sqrt{k^2+1}}}{b\sqrt{k^2+1}}=\dfrac{k}{k^2+1}\Rightarrow \boxed{\dfrac{TP}{TS}=\dfrac{k^2+1}{k}}

α) (TPQS)=ST\cdot TP=\dfrac{bk}{\sqrt{k^2+1}}\cdot b\sqrt{k^2+1}=kb^2=(ABCD)


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1888
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #630 από vittasko » Παρ Μαρ 11, 2016 1:25 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 222
Σχεδιάζω ορθογώνιο PQST του οποίου οι μεγαλύτερες πλευρές διέρχονται από τα μέσα

των πλευρών άλλου ορθογωνίου ABCD . Α) Δείξτε ότι τα ορθογώνια είναι ισεμβαδικά .

Β) Αν είναι γνωστός ο λόγος \dfrac{AB}{AD} , υπολογίστε το λόγο \dfrac{TP}{TS}

Για το (A) ζητούμενο, στο σχήμα του Θανάση πιο πάνω.

Έστω K',\ M' , τα μέσα των PT,\ QS αντιστοίχως και έστω τα σημεία E\equiv ST\cap BM' και Z\equiv ST\cap BK' και άρα, έχουμε CE\parallel BD\parallel AZ\ \ \ ,(1)

Από (1)\Rightarrow (ABCD) = (BAD) + (BCD) = BZD) + (BED) = (BEZ)\ \ \ ,(2)

Από (2)\Rightarrow (ABCD) = (BK'TSM') + (K'ZT) + (M'ES) = (BK'TSM') + (K'BP) + (BQM')\ \ \ ,(3)

λόγω (K'ZT) = (K'BP) = (M'ES) = (M'BQ) .

Από (3)\Rightarrow (ABCD) = (PQST) και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1065
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #631 από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Μαρ 11, 2016 4:04 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 222
Το συνημμένο Άσκηση 229.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σχεδιάζω ορθογώνιο PQST του οποίου οι μεγαλύτερες πλευρές διέρχονται από τα μέσα

των πλευρών άλλου ορθογωνίου ABCD . Α) Δείξτε ότι τα ορθογώνια είναι ισεμβαδικά .

Β) Αν είναι γνωστός ο λόγος \dfrac{AB}{AD} , υπολογίστε το λόγο \dfrac{TP}{TS}


1.Με \displaystyle{CE \bot SQ,AZ \bot TP} είναι φανερό ότι τα κίτρινα τρίγωνα είναι ίσα ,όπως και τα πράσινα κι ας είναι \displaystyle{{S_1},S{}_2} το εμβαδόν καθ ενός εξ αυτών

Τότε \displaystyle{\boxed{\left( {ABCD} \right) = \left( {DMLBKND} \right) + 2{S_1} + 2{S_2} = \left( {PQST} \right)}}

2. Ας είναι \displaystyle{{\frac{{AB}}{{BC}} = m}}

Ισχύει \displaystyle{CE = SD = TD \Rightarrow ST = 2CE = 2\sqrt {xy} } και \displaystyle{SQ = 2(x + y)}.Άρα \displaystyle{\frac{{TP}}{{TS}} = \frac{{x + y}}{{\sqrt {xy} }}}

Αλλά \displaystyle{\frac{x}{y} = {\left( {\frac{{MC}}{{CL}}} \right)^2} = {m^2} \Rightarrow x + y = ({m^2} + 1)y} άρα \displaystyle{\frac{{TP}}{{TS}} = \frac{{x + y}}{{\sqrt {xy} }} = \frac{{({m^2} + 1)y}}{{\sqrt {xy} }} = \sqrt {\frac{y}{x}} \left( {{m^2} + 1} \right) \Rightarrow \boxed{\frac{{TP}}{{TS}} = \frac{{{m^2} + 1}}{m}}}

a222.png
a222.png (17.98 KiB) Προβλήθηκε 992 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8460
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #632 από KARKAR » Παρ Μαρ 11, 2016 6:46 pm

Άσκηση 222.png
Άσκηση 222.png (24.73 KiB) Προβλήθηκε 975 φορές
α) Τα τρίγωνα ABD,ZMK είναι όμοια , οπότε \dfrac{MZ}{MK}=\dfrac{BA}{BD}\Leftrightarrow

\dfrac{MZ}{b}=\dfrac{a}{BD}\Leftrightarrow BD\cdot MZ=ab\Leftrightarrow(PQST)=(ABCD) .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8460
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #633 από KARKAR » Δευ Μαρ 14, 2016 12:23 pm

Άσκηση 223
Άσκηση 223.png
Άσκηση 223.png (5.18 KiB) Προβλήθηκε 920 φορές
Στην πλευρά DC , ορθογωνίου ABCD , παίρνω σημείο P , ώστε : \widehat{PBD}=\widehat{ABD} .

Ονομάζω S την προβολή του P στην BD και T την προβολή του S στην AB .

Η πλευρά AD=b του ορθογωνίου παραμένει σταθερή , αντίθετα με την AB=a ,

a>b , η οποία μεταβάλλεται . α) Δείξτε ότι το τμήμα ST διατηρεί σταθερό μήκος .

β) Βρείτε μεταξύ ποίων τιμών κυμαίνεται το μήκος του PS και για ποια τιμή του \dfrac{b}{a} ,

ο λόγος \dfrac{PS}{ST} ισούται με \dfrac{5}{4} .


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1657
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #634 από ealexiou » Δευ Μαρ 14, 2016 2:31 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 223
Το συνημμένο Άσκηση 223.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στην πλευρά DC , ορθογωνίου ABCD , παίρνω σημείο P , ώστε : \widehat{PBD}=\widehat{ABD} .

Ονομάζω S την προβολή του P στην BD και T την προβολή του S στην AB .

Η πλευρά AD=b του ορθογωνίου παραμένει σταθερή , αντίθετα με την AB=a ,

a>b , η οποία μεταβάλλεται . α) Δείξτε ότι το τμήμα ST διατηρεί σταθερό μήκος .

β) Βρείτε μεταξύ ποίων τιμών κυμαίνεται το μήκος του PS και για ποια τιμή του \dfrac{b}{a} ,

ο λόγος \dfrac{PS}{ST} ισούται με \dfrac{5}{4} .


Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 223.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 223.png (11.11 KiB) Προβλήθηκε 901 φορές

α) Είναι \angle PBD=\angle DBA=\angle BDP \Rightarrow \triangle DPB ισοσκελές
και επειδή PS\bot DB \Rightarrow DS=SB\Rightarrow AT=TB \Rightarrow \boxed{ST=\dfrac{DA}{2}=\dfrac{b}{2}}

β) Είναι \triangle PSB \sim \triangle STB \Rightarrow \dfrac{PS}{SB}=\dfrac{ST}{TB}\Rightarrow

\dfrac{PS}{ST}=\dfrac{SB}{TB}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow \dfrac{d/2}{a/2}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow\boxed{\dfrac{a}{b}=\dfrac{4}{3}}
τελευταία επεξεργασία από ealexiou σε Δευ Μαρ 14, 2016 2:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5261
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #635 από george visvikis » Δευ Μαρ 14, 2016 2:53 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 223
Το συνημμένο Άσκηση 223.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στην πλευρά DC , ορθογωνίου ABCD , παίρνω σημείο P , ώστε : \widehat{PBD}=\widehat{ABD} .

Ονομάζω S την προβολή του P στην BD και T την προβολή του S στην AB .

Η πλευρά AD=b του ορθογωνίου παραμένει σταθερή , αντίθετα με την AB=a ,

a>b , η οποία μεταβάλλεται . α) Δείξτε ότι το τμήμα ST διατηρεί σταθερό μήκος .

β) Βρείτε μεταξύ ποίων τιμών κυμαίνεται το μήκος του PS και για ποια τιμή του \dfrac{b}{a} ,

ο λόγος \dfrac{PS}{ST} ισούται με \dfrac{5}{4} .


Καλή Σαρακοστή σε όλους!
223.png
223.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 895 φορές

α) Από το ισοσκελές DPB το S είναι μέσο του BD, άρα \boxed{ST = \frac{b}{2}}

β) \displaystyle{\varepsilon \varphi \varphi  = \frac{b}{a} = \frac{{SP}}{{BS}} \Leftrightarrow } \boxed{SP = \frac{{b\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{2a}}} (1)

\displaystyle{0 < b < a \Leftrightarrow \frac{b}{2} < \frac{{b\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{2a}} < \frac{{b\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow } \boxed{\frac{b}{2} < PS < \frac{{b\sqrt 2 }}{2}}


\displaystyle{\frac{{PS}}{{ST}} = \frac{5}{4}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a} = \frac{5}{4} \Leftrightarrow } \boxed{\frac{b}{a} = \frac{3}{4}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8460
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #636 από KARKAR » Σάβ Μαρ 19, 2016 7:49 pm

Άσκηση 224
Άσκηση  224.png
Άσκηση 224.png (10.7 KiB) Προβλήθηκε 836 φορές
Ορθογώνιο ABCD είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και σημείο S κινείται

επί του ελάσσονος τόξου \overset{\frown}{DC} . Η AS τέμνει την DC στο T .

α) Δείξτε ότι ο λόγος \dfrac{ST}{TA} μεγιστοποιείται , όταν το S γίνει το μέσο του τόξου .
β) Αν ο μέγιστος αυτός λόγος είναι \dfrac{4}{5} , υπολογίστε το λόγο \dfrac{b}{a} .


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1657
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #637 από ealexiou » Σάβ Μαρ 19, 2016 8:27 pm

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 224.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 224.png (15.88 KiB) Προβλήθηκε 828 φορές


α) \dfrac{ST}{TA}=\dfrac{EZ}{ZH}\leq \dfrac{S_0Z}{ZH}=\dfrac{S_0T'}{T'A}

β) S_0Z\cdot ZK=DZ\cdot ZC \Rightarrow 4x\cdot 9x=\dfrac{a^2}{4} \Rightarrowx=\dfrac{a}{12}\Rightarrow b=5x=\dfrac{5a}{12}\Rightarrow \boxed{\dfrac{b}{a}=\dfrac{5}{12}}

edit: Αναγραφή πράξεων και άρση απόκρυψης.
τελευταία επεξεργασία από ealexiou σε Σάβ Μαρ 19, 2016 8:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5261
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #638 από george visvikis » Σάβ Μαρ 19, 2016 8:29 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 224
Το συνημμένο Άσκηση 224.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ορθογώνιο ABCD είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο και σημείο S κινείται

επί του ελάσσονος τόξου \overset{\frown}{DC} . Η AS τέμνει την DC στο T .

α) Δείξτε ότι ο λόγος \dfrac{ST}{TA} μεγιστοποιείται , όταν το S γίνει το μέσο του τόξου .
β) Αν ο μέγιστος αυτός λόγος είναι \dfrac{4}{5} , υπολογίστε το λόγο \dfrac{b}{a} .


224.png
224.png (13.67 KiB) Προβλήθηκε 827 φορές

α) Έστω M μέσο του τόξου και N μέσο της χορδής DC.

Είναι \displaystyle{\frac{{ST}}{{TA}} = \frac{x}{b} \le \frac{{MN}}{b}}, άρα η μέγιστη τιμή του λόγου επιτυγχάνεται όταν \displaystyle{S \equiv M}

β) \displaystyle{\frac{{MN}}{b} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow \frac{{R - \frac{b}{2}}}{b} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - b}}{{2b}} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow 144{b^2} = 25{a^2} \Leftrightarrow } \boxed{\frac{b}{a} = \frac{5}{{12}}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8460
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #639 από KARKAR » Τετ Μαρ 23, 2016 1:43 pm

Άσκηση 225
Άσκηση  225.png
Άσκηση 225.png (5.73 KiB) Προβλήθηκε 782 φορές
Υπολογίστε το λόγο \dfrac{a}{b} , αξιοποιώντας τα δεδομένα του σχήματος .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5261
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #640 από george visvikis » Τετ Μαρ 23, 2016 1:51 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 225
Το συνημμένο Άσκηση 225.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υπολογίστε το λόγο \dfrac{a}{b} , αξιοποιώντας τα δεδομένα του σχήματος .



225.png
225.png (8.7 KiB) Προβλήθηκε 762 φορές

\displaystyle{\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{DE}}{{EB}} = \frac{a}{{a - b}} \Leftrightarrow {a^2} - ab - {b^2} = 0 \Leftrightarrow }\boxed{\frac{a}{b} = \phi }



Επιστροφή σε “ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες