Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Συντονιστής: spyros

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3486
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #61 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Δεκ 21, 2015 8:59 pm

Μετά από μια ''εξαντλητική" μέρα στις Βρυξέλλες και αφού τη "γλίτωσα" ακόμα μια φορά από τους τσιχαντιστές :lol: θυμήθηκα μια από τις πολλές προτάσεις
του Κώστα(Βήττα) στα τυχόντα ορθογώνια επί των πλευρών τριγώνου


Άσκηση 23 (Μία από τις πολλές προτάσεις Vittasko στα ορθογώνια)
Μια πρόταση Vittasko στα ορθογώνια.png
Μια πρόταση Vittasko στα ορθογώνια.png (35.3 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές

Έστω BCDE,ABFQ,CAXT τυχόντα ορθογώνια εξωτερικά των πλευρών BC,AB,CA τριγώνου \vartriangle ABC. Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα \vartriangle ABC,\vartriangle KLM με K\equiv FE\cap TD,L\equiv TD\cap XQ,M\equiv XQ\cap FE είναι ορθοπολικά (δηλαδή οι εκ των κορυφών του ενός κάθετες ευθείες στις πλευρές του άλλου διέρχονται από το ίδιο σημείο) και τα ορθοπολικά τους κέντρα S,P (όπως φαίνεται στο σχήμα) είναι συμμετρικά ως προς το περίκεντρο O του τριγώνου \vartriangle ABC

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1530
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #62 από STOPJOHN » Δευ Δεκ 21, 2015 9:25 pm

ΑΣΚΗΣΗ 21

Καλησπέρα

Από το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι AB=15 και ZC=5,DZ=10.Aκόμη από το Πυθαγόρειο θεώρημα ZMC,  ZM=\sqrt{61},, (DZKA)>(AKMB)\Leftrightarrow (KCM)<(ZKC)\Leftrightarrow ZK<KM,(*)
Θετω x=ZK,KM=\sqrt{61}-x,(*)\Leftrightarrow x<\dfrac{\sqrt{61}}{2}

Από τα όμοια τρίγωνα ZKC,AKT,  AK=4KC,KC=\dfrac{3\sqrt{41}}{5},

Στο τρίγωνο ZCM με το θεώρημα του Stweart

25\sqrt{61}x^{2}-500x+\sqrt{61}.256=0,

\Delta =30^{2},x=\dfrac{78\sqrt{61}}{305},x=\dfrac{72\sqrt{61}}{305},

οι τιμές είναι δεκτές και ικανοποιούν τηνπαραπάνω ανισότητα



Γιάννης
Συνημμένα
ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 21.png
ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 21.png (18.78 KiB) Προβλήθηκε 655 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8210
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #63 από KARKAR » Δευ Δεκ 21, 2015 10:19 pm

Άσκηση 24
Άσκηση  23.png
Άσκηση 23.png (11.01 KiB) Προβλήθηκε 636 φορές
Το S είναι το μέσο του τόξου \overset{\frown}{DC} . Αν \dfrac{PQ}{AB}=\dfrac{1}4 , βρείτε το λόγο \dfrac{AD}{AB}


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 638
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #64 από sakis1963 » Δευ Δεκ 21, 2015 11:02 pm

Ασκηση 24

\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{4}

Εστω M, N τα μέσα των DC, AB τότε \dfrac{PQ}{AB}=\dfrac{SM}{SN}=\dfrac{SM}{SM+b}=\dfrac{1}{4} απόπου SM=\dfrac{b}{3}

Αλλά AC^2=(b+2SM)^2=(b+\dfrac{2b}{3})^2=a^2+b^2 απόπου 16b^2=9a^2 και τέλος \dfrac{b}{a}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{4}

Σάκης
τελευταία επεξεργασία από sakis1963 σε Δευ Δεκ 21, 2015 11:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #65 από ealexiou » Δευ Δεκ 21, 2015 11:14 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 24
Το συνημμένο Άσκηση 23.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το S είναι το μέσο του τόξου \overset{\frown}{DC} . Αν \dfrac{PQ}{AB}=\dfrac{1}4 , βρείτε το λόγο \dfrac{AD}{AB}


Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 24.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 24.png (29.65 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές


\triangle SRP \sim \triangle DRS \Rightarrow \dfrac {x}{\frac{a}{8}}=\dfrac{\frac{a}{2}}{x}\Rightarrow x^2=\dfrac{a^2}{16} \Rightarrow \boxed{x=\dfrac{a}{4}}

\triangle AZS \sim \triangle DRS \Rightarrow \dfrac{AZ}{\frac{a}{2}}=\dfrac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{4}}\Rightarrow AZ=a, οπότε AD=AZ-DZ=a-\dfrac{a}{4}=\dfrac{3a}{4} και άρα \boxed{\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{3}{4}}


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 638
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #66 από sakis1963 » Δευ Δεκ 21, 2015 11:43 pm

Ασκηση 25

Μπορεί να εγγραφεί σε ορθογώνιο άλλο ορθογώνιο (με τις κορυφές του στις πλευρές του αρχικού, μια προς μια) όμοιο με το αρχικό;
Αιτιολογείστε την απάντησή σας.


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 567
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #67 από Φανης Θεοφανιδης » Δευ Δεκ 21, 2015 11:59 pm

ΑΣΚΗΣΗ 26

Σε μία ευθεία (\varepsilon ) παίρνουμε στη σειρά τα σημεία A, B, \Gamma ,\Delta.
Με διαμέτρους τα τμήματα AB και \Gamma \Delta γράφουμε δύο κύκλους και μετά φέρνουμε
ένα κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους EZ (E σημείο του πρώτου κύκλου και Z του δεύτερου).
Οι ευθείες AE και \Delta Z τέμνονται στο H και οι ευθείες EB και Z\Gamma τέμνονται
στο \Theta . Δείξτε ότι το EHZ\Theta είναι ορθογώνιο
και ότι η διαγώνιός του H\Theta είναι κάθετη στην (\varepsilon ).


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 638
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #68 από sakis1963 » Τρί Δεκ 22, 2015 12:49 am

Ασκηση 22

Με τη λογική ότι στο :logo: υπάρχουν και ηλικίες ...65...., νομίζω το 52 ανήκει στις 'μικρότερες' ηλικίες :lol:

Θέτω MN=SC=x, AD=b, AB=a

Από τη δύναμη του σημείου C έχουμε x(a+x)=b^2......(1)

Αλλά b=\dfrac{a}{2}-x.....(2) οπότε αντικαθιστώντας στην (1) έχουνε x(a+x)=(\dfrac{a}{2}-x)^2 απόπου x=\dfrac{a}{8}

και αντικαθιστώντας στην (2) έχουμε b=\dfrac{3a}{8} οπότε τελικά \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{3}{8}

Σάκης


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1243
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #69 από Ανδρέας Πούλος » Τρί Δεκ 22, 2015 1:05 am

ΑΣΚΗΣΗ 27η
Τα ABCD και BGKL είναι τετράγωνα.
Τα AFE, ABG, BLM είναι ισόπλευρα τρίγωνα.
Κανένα από τα σχήματα αυτά δεν έχει κοινά εσωτερικά σημεία με τα υπόλοιπα.
Να βρεθεί το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με το ελάχιστο εμβαδόν στο οποίο και τα 5 δεδομένα σχήματα βρίσκονται στο εσωτερικό του.

Ανδρέας Πούλος
τελευταία επεξεργασία από Ανδρέας Πούλος σε Τρί Δεκ 22, 2015 1:34 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1530
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #70 από STOPJOHN » Τρί Δεκ 22, 2015 1:25 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 26

Σε μία ευθεία (\varepsilon ) παίρνουμε στη σειρά τα σημεία A, B, \Gamma ,\Delta.
Με διαμέτρους τα τμήματα AB και \Gamma \Delta γράφουμε δύο κύκλους και μετά φέρνουμε
ένα κοινό εξωτερικό εφαπτόμενο τμήμα τους EZ (E σημείο του πρώτου κύκλου και Z του δεύτερου).
Οι ευθείες AE και \Delta Z τέμνονται στο H και οι ευθείες EB και Z\Gamma τέμνονται
στο \Theta . Δείξτε ότι το EHZ\Theta είναι ορθογώνιο
και ότι η διαγώνιός του H\Theta είναι κάθετη στην (\varepsilon ).



Στο τρίγωνο

\Gamma O_{2}Z,\hat{v}+\hat{\sigma }=90^{0},(1),\hat{\sigma }=90^{0}-\nu 

O_{1}E//ZO_{2},\hat{\phi }+\hat{\sigma }=90^{0},(3),\Rightarrow 

EZ\Theta=90^{0} ,

\hat{\omega }+\hat{\nu }=90^{0},(2)

(1),(3)\Rightarrow \hat{\phi }=\hat{\nu }

(1),(2)\Rightarrow \hat{\omega }=\hat{\sigma },

\hat{ZEH}=90^{0}-\hat{\phi },\hat{\Theta EH}=90^{0}=\hat{\Theta ZE},\phi +\sigma =90^{0}\Rightarrow \hat{H}=90^{0}

Το τετράπλευρο IO_{1}EK είναι εγγράψιμο σε κύκλο ,γιατί \hat{\phi }=\hat{\Theta EK}=\hat{E\Theta K},

\hat{EK\Theta }=180^{0}-2\phi =180^{0}-2(90-\omega )=\hat{AO_{1}E}\Rightarrow \hat{AIK}=90^{0}

Tο σημείο I είναι η τομή A\Delta ,H\Theta

Γιάννης
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ 26.png
ΑΣΚΗΣΗ 26.png (37.95 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4446
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #71 από Doloros » Τρί Δεκ 22, 2015 2:54 am

Άσκηση 28

Ορθογώνια KARKAR_x.png
Ορθογώνια KARKAR_x.png (14.8 KiB) Προβλήθηκε 544 φορές


Έστω ορθογώνιο ABCD με AB = 3BC = 3b και σημείο K της AB με AK = b.

Οι ευθείες BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KC τέμνονται στο P.

Γράφουμε τον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία , P,B,C και τέμνει ακόμα την DC στο E. Επίσης γράφουμε τον κύκλο (K,KD) .

1. Δείξετε ότι ο κύκλος (K,KD) διέρχεται από το E και έστω Z το άλλο κοινό σημείο με τον κύκλο P,B,C.

2. Δείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου (K,KD) στο D , η εφαπτομένη του κύκλου P,B,C στο C και η EZ διέρχονται από το ίδιο σημείο , έστω M.

3. Να βρεθεί ως έκφραση του b το εμβαδόν που περικλείεται από τις MD\,\,,\,MC και τα ( μικρά) τόξα DE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EC των δύο κύκλων.

Ν.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1530
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #72 από STOPJOHN » Τρί Δεκ 22, 2015 9:51 am

ΑΣΚΗΣΗ 28

Καλημέρα

α) Είναι AB=3b\Leftrightarrow b+KB=3b\Leftrightarrow KB=2b

Το τρίγωνο ADK είναι ορθογώνιο και ισοσκελές άρα KD=R=b\sqrt{2}

Θα αποδειχθεί ότι KE=R=b\sqrt{2}

Aπό το εγράψιμο τετράπλευρο EPBC,DE.DC=DP.DB,(1)

Από τα όμοια τρίγωνα DPC,PKB,DP=\dfrac{3\sqrt{10}b}{5},(2)

Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο

ADB,DB=b\sqrt{10},(3)


(1),(2),(3)\Rightarrow DE=2b\Rightarrow DL=LE=b,


LKE,  KE^{2}=2b^{2}\Leftrightarrow KE=b\sqrt{2}


β) Θέτω \hat{MDE}=\hat{\phi },\hat{MCD}=\hat{\omega }

Θα αποδείξω ότι το τρίγωνο MDC είναι ισοσκελες .Είναι

\hat{AKD}=45^{0}=\hat{DKL}=\hat{\phi }=\hat{LKE},

\hat{MCD}=\hat{\omega }=\hat{COI}=\hat{OCJ}=45^{0},

\hat{\omega }=\hat{\phi }\Leftrightarrow MD=MC

Συνέπως το σημείο Μ έχει την ίδια δύναμη ως προς τους δυο τεμνόμενους κύκλους και θα ανήκει στον ριζικό τους άξονα που είναι η κοινή τους χορδή EZ

γ) Το ζητούμενο εμβαδόν είναι

E_{0}=(MDC)-(\tau _{1})-(\tau _{2}),(*)

2MD^{2}=DC^{2}\Leftrightarrow MD=\dfrac{3\sqrt{2}b}{2},(4)

(MDC)=\frac{MD^{2}}{2}=\frac{9b^{2}}{4},(5),

(\tau _{1})=\dfrac{\pi R^{2}90}{360}-(KED)=b^{2}.\dfrac{\pi -2}{2},(6),

(\tau _{2})=\dfrac{\pi r^{2}90}{360}-(OEC)=\dfrac{b^{2}}{8}(\pi -2),(7),


(*),(4),(5),(6),(7)\Rightarrow E_{0}=b^{2}.\dfrac{28-5\pi }{8}


Γ.
Συνημμένα
ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΑΣΚΗΣΗ28.png
ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΑΣΚΗΣΗ28.png (39.71 KiB) Προβλήθηκε 508 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3618
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #73 από Γιώργος Ρίζος » Τρί Δεκ 22, 2015 10:25 am

Ανδρέας Πούλος έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 27η
Τα ABCD και BGKL είναι τετράγωνα.
Τα AFE, ABG, BLM είναι ισόπλευρα τρίγωνα.
Κανένα από τα σχήματα αυτά δεν έχει κοινά εσωτερικά σημεία με τα υπόλοιπα.
Να βρεθεί το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με το ελάχιστο εμβαδόν στο οποίο και τα 5 δεδομένα σχήματα βρίσκονται στο εσωτερικό του.

Ανδρέας Πούλος


Καλημέρα σε όλους.

Οι κορυφές και οι ακμές των σχημάτων, φαντάζομαι ότι, μπορεί να είναι στις πλευρές του ορθογωνίου παραλληλογράμμου.

Δίνω από το σχολείο, στο διάλειμμα, ένα πρόχειρο σχήμα και το ανοιχτό αρχείο Geogebra για όποιον προλαβαίνει να ασχοληθεί.
22-12-2015 Γεωμετρία.ggb
(13.93 KiB) Μεταφορτώθηκε 9 φορές
Συνημμένα
22-12-2015 Γεωμετρία.png
22-12-2015 Γεωμετρία.png (40.36 KiB) Προβλήθηκε 502 φορές


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8210
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #74 από KARKAR » Τρί Δεκ 22, 2015 1:36 pm

Άσκηση 29
Άσκηση  30.png
Άσκηση 30.png (12.61 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές
Τμήμα OS=8 διαιρέθηκε με εσωτερικά του σημεία P,Q,T στα τέσσερα τμήματα

OP=1,PQ=3,QT=3,TS=1 . Γράφω τους κύκλους (O,OP), (O,OQ)

(O , OT) , (O,OS) και επί των (O,OP) , (O,OT) παίρνω τυχαία σημεία D,C .

Οι κάθετες στα άκρα του τμήματος DC τέμνουν τους άλλους κύκλους προς το ίδιο

μέρος του , στα σημεία A,B . Δείξτε ότι το ABCD είναι ορθογώνιο .

Ανοιχτό θέμα : Δείξτε ότι το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου αυτού είναι 36 \tau. \mu.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4943
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #75 από george visvikis » Τρί Δεκ 22, 2015 1:54 pm

Άσκηση 30
Ορθογώνια.30.png
Ορθογώνια.30.png (13.91 KiB) Προβλήθηκε 473 φορές

Έστω M τυχαίο σημείο της διαγωνίου BD ορθογωνίου ABCD και N το συμμετρικό του C ως προς M. Αν E, H είναι οι προβολές του N στις DA, AB αντίστοιχα,

α) να δείξετε ότι τα σημεία E, H, M είναι συνευθειακά.

β) Αν DM=4MB, να υπολογίσετε το λόγο \displaystyle{\frac{{(AENH)}}{{(ABCD)}}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8210
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #76 από KARKAR » Τρί Δεκ 22, 2015 2:44 pm

Άσκηση 31
Άσκηση  29.png
Άσκηση 29.png (13.48 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές
Υπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου ABCD του σχήματος .


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1243
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #77 από Ανδρέας Πούλος » Τρί Δεκ 22, 2015 2:59 pm

ΑΣΚΗΣΗ 27η.
Δείτε το σχήμα του Γιώργου Ρϊζου.
Υπάρχουν τρεις εκδοχές για το ζητούμενο ορθογώνιο.
1. Αυτό που η μία πλευρά του είναι ο φορέας της ZH.
2. Αυτό που η μία πλευρά του είναι ο φορέας της HD.
3. Αυτό που η μία πλευρά του είναι ο φορέας της DC.
Οι άλλες περιπτώσεις συμπίπτουν με αυτές τις τρεις, (π.χ. αν έχει πλευρά τον φορέα της LE, τότε συμπίπτει με την περίπτωση 3).
Υπολογίζοντας τα εμβαδά αυτών των ορθογωνίων παραλληλογράμμων διαπιστώνουμε ότι το ελάχιστο εμβαδόν είναι αυτό που υποδεικνύει ο Γιώργος.
Βέβαια, οι υπολογισμοί αυτών των εμβαδών απαιτούν κάποιο χρόνο, αλλά νομίζω ότι είναι μια σχετικά απλή άσκηση
που συνδυάζει Πυθαγόρειο θεώρημα και εμβαδά ευθύγραμμων σχημάτων.

Ανδρέας Πούλος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4943
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #78 από george visvikis » Τρί Δεκ 22, 2015 5:36 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 31
Το συνημμένο Άσκηση 29.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου ABCD του σχήματος .


Ορθογώνια.31.png
Ορθογώνια.31.png (16.91 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές

Έστω B(b,b^2), D(d,d^2). Επειδή οι AC, BD έχουν κοινό μέσο με τετμημένη \displaystyle{\frac{1}{2}}, θα είναι \boxed{b+d=1} και από \displaystyle{\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AD}  = 0 \Leftrightarrow } \boxed{bd=-3}

Οι b,d είναι λοιπόν ρίζες της εξίσωσης x^2-x-3=0. Άρα: \displaystyle{b = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2},d = \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2}}

\displaystyle{(ABCD) = |\det (\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} | \Leftrightarrow } \boxed{(ABCD) = 3\sqrt {13} }


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3486
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #79 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Δεκ 22, 2015 8:13 pm

george visvikis έγραψε:Άσκηση 30 Έστω M τυχαίο σημείο της διαγωνίου BD ορθογωνίου ABCD και N το συμμετρικό του C ως προς M. Αν E, H είναι οι προβολές του N στις DA, AB αντίστοιχα,
α) να δείξετε ότι τα σημεία E, H, M είναι συνευθειακά.
β) Αν DM=4MB, να υπολογίσετε το λόγο \displaystyle{\frac{{(AENH)}}{{(ABCD)}}}


α) Με AC \cap BD \equiv O,M τα μέσα αντίστοιχα των πλευρών CA,CN του τριγώνου \vartriangle CAN \Rightarrow AN\parallel DB και με O το μέσο της BD προκύπτει ότι
η δέσμη A.NBCD είναι αρμονική και με AB \bot AD \Rightarrow AB διχοτόμος της γωνίας \angle CAN\mathop  \Rightarrow \limits^{AH \bot NF,F \equiv NH \cap AC} FH = \parallel HN\mathop  \Rightarrow \limits^{HN = \parallel AE} FH = \parallel AE \Rightarrow AFHE
παραλληλόγραμμο οπότε EH\parallel AF \Rightarrow \boxed{EH\parallel AC}:\left( 1 \right).

Με AN \cap EH \equiv K,M τα μέσα των πλευρών NA,CN του τριγώνου \vartriangle CAN \Rightarrow KM\parallel AC\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} EH\parallel KM \mathop  \Rightarrow \limits^{E,K,H\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha } E,K,H,M συνευθειακά
και το α) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
1.png
1.png (19.6 KiB) Προβλήθηκε 388 φορές

β) με \angle NAH = \angle BAC \Rightarrow AENH \sim ABCD \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {AENH} \right)}}{{\left( {ABCD} \right)}} = {{\left( {\frac{{AE}}{{AD}}} \right)}^2}\mathop  = \limits^{AO\parallel EM} {{\left( {\frac{{OM}}{{DO}}} \right)}^2}}:\left( 2 \right).

Από DM = 4MB \Rightarrow DB = 5MB \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  DO = \frac{{DB}}{2} = \frac{{5MB}}{2} \\ 
  OM = OB - MB = \frac{{DB}}{2} - \frac{{DB}}{5} = \frac{{3DB}}{{10}} = \frac{{3BM}}{2} \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \dfrac{{DO}}{{OM}} = \dfrac{3}{5}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \boxed{\frac{{\left( {AENH} \right)}}{{\left( {ABCD} \right)}} = \frac{9}{{25}}}
και το β) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8210
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #80 από KARKAR » Τρί Δεκ 22, 2015 9:09 pm

Άσκηση 32
Άσκηση  32.png
Άσκηση 32.png (8.18 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές
Στην πλευρά DC του ορθογωνίου ABCD βρίσκονται σημεία P,Q , ώστε

οι AP,BQ τεμνόμενες στο S , να ορίζουν τρίγωνο SPQ με εμβαδό ίσο με

το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος PQ .



Επιστροφή σε “ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης