Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Συντονιστής: spyros

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8210
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #581 από KARKAR » Πέμ Φεβ 18, 2016 1:46 pm

Άσκηση 206
Άσκηση  206.png
Άσκηση 206.png (7.98 KiB) Προβλήθηκε 970 φορές
Υπολογίστε το τμήμα SD συναρτήσει των πλευρών a και b του ορθογωνίου ABCD .


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #582 από ealexiou » Πέμ Φεβ 18, 2016 3:04 pm

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 206.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 206.png (10.14 KiB) Προβλήθηκε 953 φορές

Από \triangle SAD έχουμε x^2=b^2+d^2-2bd\cdot cos(t)= b^2+a^2+b^2-2b\sqrt{a^2+b^2}\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\Rightarrow

\boxed{SD=x=\sqrt{a^2-2ab+2b^2}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4942
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #583 από george visvikis » Πέμ Φεβ 18, 2016 3:34 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 206
Το συνημμένο Άσκηση 206.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Υπολογίστε το τμήμα SD συναρτήσει των πλευρών a και b του ορθογωνίου ABCD .


206.png
206.png (11.1 KiB) Προβλήθηκε 947 φορές

\displaystyle{{x^2} = {b^2} + {(a - b)^2} \Leftrightarrow } \boxed{x = \sqrt {{a^2} - 2ab + 2{b^2}} }


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8210
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #584 από KARKAR » Πέμ Φεβ 18, 2016 9:06 pm

Άσκηση 207
Άσκηση 207.png
Άσκηση 207.png (8.63 KiB) Προβλήθηκε 898 φορές
Το M είναι το μέσο της πλευράς AB , ορθογωνίου ABCD . Η κάθετη από

το A προς την DB , τέμνει τις DM,DB,DC κατά σειρά στα P,S,Q .

Βρείτε το λόγο \dfrac{a}{b} , αν είναι AP=SQ .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4942
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #585 από george visvikis » Πέμ Φεβ 18, 2016 10:51 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 207
Το συνημμένο Άσκηση 207.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το M είναι το μέσο της πλευράς AB , ορθογωνίου ABCD . Η κάθετη από

το A προς την DB , τέμνει τις DM,DB,DC κατά σειρά στα P,S,Q .

Βρείτε το λόγο \dfrac{a}{b} , αν είναι AP=SQ .


207.png
207.png (11.58 KiB) Προβλήθηκε 879 φορές

Το BSQC είναι εγγράψιμο: \displaystyle{aDQ = DS \cdot DB = {b^2} \Leftrightarrow } \boxed{\frac{a}{b} = \frac{b}{{DQ}}} (1)

Αλλά, \displaystyle{\frac{{DQ}}{a} = \frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{{AP}}{{PQ}} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{DQ}} \Leftrightarrow \frac{{D{Q^2}}}{{{a^2}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{DQ}}{a} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{a}{b} = \frac{{b\sqrt 2 }}{a} \Leftrightarrow } \boxed{\frac{a}{b} = \sqrt[4]{2}}.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1530
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #586 από STOPJOHN » Πέμ Φεβ 18, 2016 11:42 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 207
Το συνημμένο Άσκηση 207.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το M είναι το μέσο της πλευράς AB , ορθογωνίου ABCD . Η κάθετη από

το A προς την DB , τέμνει τις DM,DB,DC κατά σειρά στα P,S,Q .

Βρείτε το λόγο \dfrac{a}{b} , αν είναι AP=SQ .


Kαλησπέρα

Από τα όμοια τρίγωνα ADQ,ADB,DQ=\dfrac{b^{2}}{a^{2}},(1),

Ομοίως από τα όμοια τρίγωνα DSQ,ASB,  \dfrac{d}{d+PS}=\dfrac{DQ}{a},(2),

Απο την ομοιότητα των τριγώνων

DPQ,PAM,\dfrac{2b^{2}}{a^{2}}=\dfrac{d+PS}{d},(3)


(1),(2),(3)\Rightarrow \dfrac{2b^{2}}{a^{2}}=\dfrac{a^{2}}{b^{2}}\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}=\sqrt[4]{2}


Γιάννης
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ 207.png
ΑΣΚΗΣΗ 207.png (21.18 KiB) Προβλήθηκε 863 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8210
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #587 από KARKAR » Παρ Φεβ 19, 2016 11:18 am

Άσκηση 208
Άσκηση 208.png
Άσκηση 208.png (7.45 KiB) Προβλήθηκε 822 φορές
Είναι : \dfrac{AB}{AD}=2 , \dfrac{\widehat{CAB}}{\widehat{ACS}}=2 . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{AS}{SB}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4942
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #588 από george visvikis » Παρ Φεβ 19, 2016 11:35 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 208
Άσκηση 208.png
Είναι : \dfrac{AB}{AD}=2 , \dfrac{\widehat{CAB}}{\widehat{ACS}}=2 . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{AS}{SB}


\displaystyle{\varepsilon \varphi \theta  = \frac{1}{2},\varepsilon \varphi 2\theta  = \frac{{2 \cdot \frac{1}{2}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{4}{3} \Rightarrow \varepsilon \varphi 3\theta  = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{4}{3}}}{{1 - \frac{4}{6}}} = \frac{{11}}{2}}

\displaystyle{\varepsilon \varphi (B\widehat SC) = \frac{b}{{SB}} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi 3\theta  = \frac{b}{{SB}} \Leftrightarrow } \boxed{SB = \frac{{2b}}{{11}}} (1)

\displaystyle{\frac{{AS}}{{SB}} = \frac{2{b - SB}}{{SB}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} } \boxed{\frac{{AS}}{{SB}} = 10}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8210
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #589 από KARKAR » Παρ Φεβ 19, 2016 8:35 pm

Άσκηση 209
Άσκηση  209.png
Άσκηση 209.png (11.09 KiB) Προβλήθηκε 796 φορές
Η πλευρά b ορθογωνίου ABCD παραμένει σταθερή , ενώ η a - συνεπώς

και ο λόγος \dfrac{a}{b} - μεταβάλλεται . Επί της AC παίρνω σημείο S , ώστε AS=\dfrac{AC}{4}

και φέρω την κάθετη του DS στο S , η οποία τέμνει την πλευρά DC στο P .

Υπολογίστε την τιμή του λόγου \dfrac{a}{b} που ελαχιστοποιεί το (DSP) και (βρείτε) το (DSP)_{min} .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Σάβ Φεβ 20, 2016 5:44 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #590 από ealexiou » Παρ Φεβ 19, 2016 9:25 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 209
Το συνημμένο Άσκηση 209.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η πλευρά b ορθογωνίου ABCD παραμένει σταθερή , ενώ η a - συνεπώς

και ο λόγος \dfrac{a}{b} - μεταβάλλεται . Επί της AC παίρνω σημείο S , ώστε AS=\dfrac{AC}{4}

και φέρω την κάθετη του DS στο S , η οποία τέμνει την πλευρά DC στο P .

Υπολογίστε την τιμή του λόγου \dfrac{a}{b} που ελαχιστοποιεί το (DSP) και το (DSP)_{min} .


Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 209.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 209.png (8.65 KiB) Προβλήθηκε 781 φορές


Είναι \triangle CKS \sim \triangle CDA \Rightarrow \dfrac{KS}{DA}=\dfrac{CS}{CA}=\dfrac{3}{4} \Rightarrow \boxed{KS=\dfrac{3b}{4}}, άρα το (DSP) γίνεται ελάχιστο όταν το DP γίνει ελάχιστο.

Από τα \triangle DKS και \triangle KSP έχουμε: DK=KStan(t) και KP=KStan(90°-t)

Άρα DP=KS(tan(t)+tan(90°-t))\Rightarrow DP_{min}=KS(tan(t)+tan(90°-t))_{min}.

Όμως (tan(t)+tan(90°-t)_{min}=2 (για t=45°) \Rightarrow DP_{min}=\dfrac{3b}{2} \Rightarrow CD=3b \Rightarrow \boxed{\dfrac{a}{b}=3}

(DSP)_{min}=\dfrac{1}{2}\dfrac{3b}{2}\cdot \dfrac{3b}{4}=\dfrac{9b^2}{16}
τελευταία επεξεργασία από ealexiou σε Κυρ Φεβ 21, 2016 10:42 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1361
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #591 από rek2 » Σάβ Φεβ 20, 2016 1:19 am

ΑΣΚΗΣΗ 210

Σε κυρτό τετράπλευρο ABCD, οι διχοτόμοι των γωνιών D, B τέμνουν την AC στα σημεία E,Z, και οι διχοτόμοι των γωνιών A, C τέμνουν την BD στα σημεία H, F.

Αν AH=CF, DE=BZ, EZ=HF, να αποδειχτεί ότι το τετράπλευρο ABCD είναι ορθογώνιο.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4942
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #592 από george visvikis » Σάβ Φεβ 20, 2016 10:01 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 209
Το συνημμένο Άσκηση 209.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Η πλευρά b ορθογωνίου ABCD παραμένει σταθερή , ενώ η a - συνεπώς

και ο λόγος \dfrac{a}{b} - μεταβάλλεται . Επί της AC παίρνω σημείο S , ώστε AS=\dfrac{AC}{4}

και φέρω την κάθετη του DS στο S , η οποία τέμνει την πλευρά DC στο P .

Υπολογίστε την τιμή του λόγου \dfrac{a}{b} που ελαχιστοποιεί το (DSP) και (βρείτε) το (DSP)_{min} .


\displaystyle{KS//AD \Rightarrow DK = \frac{a}{4},SK = \frac{{3b}}{4}}

209.png
209.png (11.28 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές

\displaystyle{S{K^2} = DK \cdot KP \Leftrightarrow x = \frac{{9{b^2}}}{{4a}}} και \displaystyle{(DSP) = \frac{{3b}}{{32}}\left( {a + \frac{{9{b^2}}}{a}} \right)}

Αλλά, \displaystyle{{(a - 3b)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + 9{b^2} \ge 6ab \Leftrightarrow a + \frac{{9{b^2}}}{a} \ge 6b}. Άρα: \displaystyle{(DSP) \ge \frac{{18{b^2}}}{{32}} = \frac{{9{b^2}}}{{16}}}

To ζητούμενο λοιπόν εμβαδόν ελαχιστοποιείται όταν \boxed{\frac{a}{b} = 3} και είναι \boxed{(DSP)_{\min } = \frac{{9{b^2}}}{{16}}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8210
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #593 από KARKAR » Σάβ Φεβ 20, 2016 11:59 am

Άσκηση 211
Άσκηση 210.png
Άσκηση 210.png (19.64 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές
Στο άκρο A της διαγωνίου AC , ορθογωνίου ABCD , φέρω κάθετη , η οποία τέμνει

τις προεκτάσεις των CB,CD στα σημεία Q,P αντίστοιχα . Ονομάζω M το μέσο

του PQ , παίρνω τυχαίο σημείο S της AC και γράφω τους κύκλους , (Q,A,S),

(P,A,S) , οι οποίοι τέμνουν τις προεκτάσεις των AB,AD στα L,N αντίστοιχα .

Δείξτε ότι οι ευθείες QL,PN τέμνονται σε σημείο - το οποίο ονομάζω T - της MC .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4942
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #594 από george visvikis » Σάβ Φεβ 20, 2016 1:56 pm

Άσκηση 212

212.png
212.png (13.12 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές
Δίνεται ορθογώνιο ABCD και ο κύκλος (O,R) που διέρχεται από το B και εφάπτεται των AD, DC στα σημεία

P, Q αντίστοιχα. Η απόσταση του B από την PQ είναι 6\sqrt{2}.

α) Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου.

β) Αν επιπλέον είναι R=5, να βρείτε τις διαστάσεις a,b του ορθογωνίου.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8210
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #595 από KARKAR » Σάβ Φεβ 20, 2016 7:52 pm

Άσκηση 212
212.png
212.png (13.48 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές
Με αρχή των αξόνων το σημείο P , η PQ έχει εξίσωση x-y=0 . Έστω ότι οι διαστάσεις

του ορθογωνίου είναι r+t , r+z , με t^2+z^2=r^2 . Τότε E=(r+t)(r+z)=r^2+r(t+z)+tz .

Αλλά (t+z)^2 = t^2+z^2+2tz=r^2+2tz\Leftrightarrow tz=\dfrac{(t+z)^2-r^2}{2}\Leftrightarrow

E=r^2+r(t+z)+\dfrac{(t+z)^2-r^2}{2} . Όμως : \dfrac{|x-y|}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}\Leftrightarrow r+t+z=12\Leftrightarrow t+z=12-r .

Τελικά : E=r^2+r(12-r)+\dfrac{(12-r)^2-r^2}{2}\Leftrightarrow E=72 . Αν r=5

και υποθέτοντας ότι AB>AD , θα είναι AB=9 , AD=8


ealexiou
Δημοσιεύσεις: 1655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 15, 2013 10:06 pm
Τοποθεσία: ΒΟΛΟΣ

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #596 από ealexiou » Σάβ Φεβ 20, 2016 9:33 pm

Άσκηση 212

Μία γραφική προσέγγιση του θέματος, δεν είμαι και σίγουρος για την ορθότητα της.

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 212.png
Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια Ασκ. 212.png (34.73 KiB) Προβλήθηκε 653 φορές


Για το α)
(ABCD)=AB\cdot BC=BA\cdot BA'=BM^2 (Δύναμη σημείου B ως προς γαλάζιο κύκλο)

\Rightarrow \boxed{(ABCD)=(6\sqrt{2})^2=72}


Για το β)
Είναι DQ=QO=5\Rightarrow DC-QC=a-\dfrac{b}{2}=5 και επειδή ab=72 έχουμε το σύστημα εξισώσεων:

\begin{cases} & a-\dfrac{b}{2}=5\\ & a\cdot b=72\end{cases}\ \  \Rightarrow AB=a=9,\ BC=b=8


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4942
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #597 από george visvikis » Κυρ Φεβ 21, 2016 12:11 pm

george visvikis έγραψε:Άσκηση 212

Το συνημμένο 212.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται ορθογώνιο ABCD και ο κύκλος (O,R) που διέρχεται από το B και εφάπτεται των AD, DC στα σημεία

P, Q αντίστοιχα. Η απόσταση του B από την PQ είναι 6\sqrt{2}.

α) Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου.


Καλημέρα σε όλους.

Για το α) που είναι ανεξάρτητο της ακτίνας του κύκλου.
212b.png
212b.png (18.82 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

\hat{DOP}=\hat{MBA}=45^0 (οξείες γωνίες με πλευρές παράλληλες).

\hat{BPQ}=\hat{MBC}(σχέση εγγεγραμμένης με γωνία χορδής εφαπτομένης) και επειδή τα APMB, CQMB είναι εγγράψιμα,

όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους, οπότε τα τρίγωνα ABM, MBC είναι όμοια και \boxed{ab=d^2=72}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1002
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #598 από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Φεβ 21, 2016 1:59 pm

george visvikis έγραψε:Άσκηση 212

Το συνημμένο 212.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται ορθογώνιο ABCD και ο κύκλος (O,R) που διέρχεται από το B και εφάπτεται των AD, DC στα σημεία

P, Q αντίστοιχα. Η απόσταση του B από την PQ είναι 6\sqrt{2}.

α) Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου.

β) Αν επιπλέον είναι R=5, να βρείτε τις διαστάσεις a,b του ορθογωνίου.


\displaystyle{\angle DQP = {45^0} = \angle QBP}(υπό χορδής –εφαπτόμενης) και με \displaystyle{PK,QL} ύψη του \displaystyle{\vartriangle PQB} εύκολα προκύπτουν

οι 45-αρες γωνίες του σχήματος, άρα \displaystyle{DK//PB,DL//QB} και \displaystyle{PQ = R\sqrt 2  \Rightarrow DQ = DP = R}

Ακόμη,αν \displaystyle{QB = y,PB = x \Rightarrow 2\left( {QLB} \right) = QL \cdot LB = \frac{{{y^2}}}{2} = 2\left( {DQB} \right) = Rb} και \displaystyle{2\left( {PKB} \right) = KP \cdot KB = \frac{{{x^2}}}{2} = 2\left( {DQB} \right) = Ra}

Άρα \displaystyle{\boxed{{{\left( {xy} \right)}^2} = 4{R^2}ab}(1)}.Όμως \displaystyle{2\left( {QPB} \right) = xy\sin {45^0} = R\sqrt 2  \cdot 6\sqrt 2  = 12R \Rightarrow \boxed{{{\left( {xy} \right)}^2} = 288{R^2}}(2)}

Από \displaystyle{(1),(2) \Rightarrow \boxed{\left( {ABCD} \right) = ab = 72}}

Όταν \displaystyle{R = 5 \Rightarrow {x^2} = 10a \Rightarrow {(b - 5)^2} + {\alpha ^2} = 10a} και \displaystyle{ab = 72} απ όπου \displaystyle{\alpha  = 9,\beta  = 8} ή \displaystyle{\alpha  = 8,\beta  = 9}

a212.png
a212.png (23.09 KiB) Προβλήθηκε 597 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1002
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #599 από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Φεβ 21, 2016 4:11 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 208
Το συνημμένο Άσκηση 208.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Είναι : \dfrac{AB}{AD}=2 , \dfrac{\widehat{CAB}}{\widehat{ACS}}=2 . Υπολογίστε το λόγο : \dfrac{AS}{SB}


Με \displaystyle{CE} διχοτόμο της \displaystyle{\angle ACS \Rightarrow CS} εφαπτόμενη του περίκυκλου του \displaystyle{\vartriangle CAE \Rightarrow C{S^2} = SE \cdot SA \Rightarrow {b^2} + {x^2} = SE \cdot SA(1)}

Είναι \displaystyle{EO \bot AC \Rightarrow AO \cdot AC = AE \cdot AB \Rightarrow \frac{{5{b^2}}}{2} = AE \cdot 2b \Rightarrow \boxed{AE = \frac{{5b}}{4}} \Rightarrow EB = \frac{{3b}}{4} \Rightarrow \boxed{ES = \frac{{3b}}{4} - x}}

\displaystyle{(1) \Rightarrow {b^2} + {x^2} = \left( {2b - x} \right)\left( {\frac{{3b}}{4} - x} \right) \Rightarrow x = \frac{{2b}}{{11}} \Rightarrow AS = \frac{{20b}}{{11}} \Rightarrow \boxed{\frac{{AS}}{{SB}} = 10}}

a208.png
a208.png (11.18 KiB) Προβλήθηκε 578 φορές


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3485
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #600 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Φεβ 21, 2016 7:02 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 211
Στο άκρο A της διαγωνίου AC , ορθογωνίου ABCD , φέρω κάθετη , η οποία τέμνει τις προεκτάσεις των CB,CD στα σημεία Q,P αντίστοιχα . Ονομάζω M το μέσο του PQ , παίρνω τυχαίο σημείο S της AC και γράφω τους κύκλους , (Q,A,S), (P,A,S) , οι οποίοι τέμνουν τις προεκτάσεις των AB,AD στα L,N αντίστοιχα .Δείξτε ότι οι ευθείες QL,PN τέμνονται σε σημείο - το οποίο ονομάζω T - της MC .
.

Μου αρέσει πολύ αυτό το θέμα Αρχηγέ!!! . Έχω μια όμορφη αλλά "Μπελαλίδκη" λύση. Θα περιμένω και σήμερα και αν δεν απαντηθεί θα τα ξαναπούμε αύριο το βραδάκι. Ευχαριστώ


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Επιστροφή σε “ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης