Σελίδα 2 από 36

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 11:53 am
από sakis1963
Ασκηση 9
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκηση 9.png
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκηση 9.png (23.04 KiB) Προβλήθηκε 725 φορές

Χαιρετώ.

Φέρω το ύψος AG του τριγώνου ABD

Οι \hat{GAE}=\hat{EKF}=\omega ως εντός εναλλάξ

Οι \hat{GAE}=\hat{EAC}=\omega από τη γνωστή πρόταση ύψους-διχοτόμου-διαμέτρου περίκυκλου, που άγονται από την ιδια κορυφή (εδώ την A)

Αρα CAK ισοσκελές και CK=AC=BD λόγω της ισότητας των διαγωνίων του ορθογωνίου

Σάκης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 12:11 pm
από sakis1963
Ασκηση 8

α.

Θέτω CS=x, BS=c οπότε από Π.Θ. στο BCS c^2=b^2+x^2

Από δύναμη σημείου S έχω x(a+x)=c^2=b^2+x^2 απόπου CS=x=\dfrac{b^2}{a}

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 12:24 pm
από KARKAR
Άσκηση 10

Άσκηση  10.png
Άσκηση 10.png (8.01 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές
Ο λόγος των πλευρών του ορθογωνίου ABCD είναι \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{5}{7} .

Κατασκευάστε νέο ορθογώνιο PQST , με κορυφές ανά μία στις πλευρές

του αρχικού και \dfrac{AT}{TD}=\dfrac{2}{3} και βρείτε το λόγο : \dfrac{(PQST)}{(ABCD)}

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 1:01 pm
από Doloros
sakis1963 έγραψε:Ασκηση 8

α.

Θέτω CS=x, BS=c οπότε από Π.Θ. στο BCS c^2=b^2+x^2

Από δύναμη σημείου S έχω x(a+x)=c^2=b^2+x^2 απ όπου CS=x=\dfrac{b^2}{a}


Ορθογώνια (KARKAR)_8.png


Για το δεύτερο ερώτημα είναι \boxed{y = \frac{3}{7}b}.

Λόγω άθλιου διαδικτύου, υποθέτω σε λίγο και τα λόγια.

Ν.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 2:06 pm
από george visvikis
Φανης Θεοφανιδης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9

Δίνεται ορθογώνιο AB\Gamma \Delta στο οποίο K είναι το σημείο τομής της διχοτόμου
της γωνίας \hat{A} και της από το \Gamma καθέτου στην B\Delta. Δείξτε ότι B\Delta =\Gamma K.


Χαιρετώ τους φίλους.

Ορθογώνια.9..png
Ορθογώνια.9..png (13.21 KiB) Προβλήθηκε 674 φορές
Φέρνω από το K παράλληλη στη CD που τέμνει τις BC, AD στα E, H αντίστοιχα. Το AHK είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε BE=AH=HK. Τα τρίγωνα BDE, KCH έχουν DE=CH, BE=KH και \hat{DBE}=\hat{CKH}, οπότε θα είναι \displaystyle{\omega  = \varphi } ή \displaystyle{\omega  + \varphi  + 2\theta  = {180^0}} (4ο κριτήριο). Στην 1η περίπτωση τα τρίγωνα είναι ίσα και \boxed{BD=CK}. Στη δεύτερη περίπτωση είναι \displaystyle{\theta  = {45^0}}, δηλαδή το ABCD είναι τετράγωνο, το C είναι μέσο του AK, άρα και πάλι ισχύει.

Υπάρχουν πολύ πιο εύκολοι τρόποι, αλλά ήθελα να χρησιμοποιήσω αυτό το κριτήριο που το βλέπουμε σπάνια.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 2:18 pm
από Doloros
KARKAR έγραψε:Άσκηση 8
Το συνημμένο Άσκηση 8.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ορθογώνιο ABCD , διαστάσεων a \times b , είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Η εφαπτομένη του

περικύκλου στο B , τέμνει την προέκταση της DC στο σημείο S , από το οποίο φέρουμε

το άλλο εφαπτόμενο τμήμα ST και στη συνέχεια το κάθετο προς την DC τμήμα TP .

α) Υπολογίστε το τμήμα CS . β) Αν CS=\dfrac{a}{3} , υπολογίστε το τμήμα TP .



1. Επειδή SC \cdot SD = S{B^2} = S{C^2} + B{C^2} \Rightarrow x(x + a) = {x^2} + {b^2} και άρα \boxed{x = \dfrac{{{b^2}}}{a}} .

2. Αν τώρα x = \dfrac{a}{3} θα έχουμε \dfrac{a}{3} = \dfrac{{{b^2}}}{a} \Leftrightarrow {a^2} = 3{b^2}\,\,\,\,(1) , δηλαδή \boxed{a = b\sqrt 3 } με άμεση συνέπεια R = b\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\alpha  = {\lambda _3} = R\sqrt 3  = b\sqrt 3.


Έστω M το σημείο τομής των TA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC και O το κέντρο του κύκλου του ορθογωνίου ABCD.

Επειδή \widehat \theta  = \widehat \omega ( υπό χορδής κι εφαπτομένης ) και \widehat \omega  = \widehat \phi ( αφού AB//MC) , θα είναι \widehat \phi  = \widehat \theta και άρα τα σημεία T,M,B,S ανήκουν στον ίδιο κύκλο.

Ορθογώνια (KARKAR)_8_b.png
Ορθογώνια (KARKAR)_8_b.png (31.55 KiB) Προβλήθηκε 665 φορές


Όμως τα σημεία T,O,B,S ανήκουν στο κύκλο διαμέτρου OS γιατί OB \bot BS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OT \bot TS .

Συνεπώς τα πέντε σημεία T,M,O,B,S ανήκουν στον κύκλο διαμέτρου OS με άμεση συνέπεια το M να είναι μέσο του DC.

Από τη δύναμη του σημείου M ως προς τον κύκλο (O,R) θα έχουμε :

MA \cdot MT = MD \cdot MC \Rightarrow \dfrac{{MA \cdot MT}}{{M{A^2}}} = \dfrac{{MD \cdot MC}}{{M{A^2}}} \Rightarrow \dfrac{{MT}}{{MA}} = \dfrac{{MD \cdot MC}}{{D{A^2} + D{M^2}}}

Λόγω Π. Θ. στο τρίγωνο DAM . Όμως τα ορθογώνια τρίγωνα PTM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DAM είναι όμοια και η προηγούμενη σχέση γίνεται :

\dfrac{y}{b} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{4}}}{{{b^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}}} \Rightarrow \dfrac{y}{b} = \dfrac{{{a^2}}}{{4{b^2} + {a^2}}} και λόγω της (1), \dfrac{y}{b} = \dfrac{{3{b^2}}}{{4{b^2} + 3{b^2}}} = \dfrac{3}{7} \Rightarrow \boxed{y = \dfrac{3}{7}b}


Ν.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 2:55 pm
από KARKAR
Άσκηση 11
Άσκηση  11.png
Άσκηση 11.png (12.37 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές
Το ισόπλευρο τρίγωνο DEZ είναι τοποθετημένο στο εσωτερικό του ορθογωνίου

ABCD , όπως φαίνεται στο σχήμα . Αν η απόσταση της κορυφής Z απο την

πλευρά AB είναι 4 , βρείτε την απόσταση του Z από την πλευρά BC

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 2:57 pm
από Φανης Θεοφανιδης
ΑΣΚΗΣΗ 12

Θεωρούμε ένα ορθογώνιο AB\Gamma \Delta και τυχαίο σημείο M της περιμέτρου του.
Δείξτε ότι το άθροισμα των αποστάσεων του M από τις διαγωνίους A\Gamma και B\Delta
είναι σταθερό.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 3:28 pm
από Doloros
KARKAR έγραψε:Άσκηση 11
Το συνημμένο Άσκηση 11.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το ισόπλευρο τρίγωνο DEZ είναι τοποθετημένο στο εσωτερικό του ορθογωνίου

ABCD , όπως φαίνεται στο σχήμα . Αν η απόσταση της κορυφής Z απο την

πλευρά AB είναι 4 , βρείτε την απόσταση του Z από την πλευρά BC



Ας δούμε τη γεωμετρική κατασκευή.

Ορθογώνια (KARKAR)_11_κατασκευή.png
Ορθογώνια (KARKAR)_11_κατασκευή.png (25.46 KiB) Προβλήθηκε 641 φορές


Από το A φέρνουμε ευθεία με κλίση 60^\circ με την AB η οποία τέμνει τη μεσοπαράλληλο των DC και ZT ( σταθερή ως ευθεία) στο μέσο M του DZ.

Τα υπόλοιπα είναι απλώς … υπολογισμοί!

Ορθογώνια (KARKAR)_11.png
Ορθογώνια (KARKAR)_11.png (25.81 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές


Ας είναι MN η διάμεσος του τραπεζίου MSAD. Επειδή MN = \dfrac{{AM\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \dfrac{9}{2} = \dfrac{{AM\sqrt 3 }}{2} και άρα \boxed{x = 8 - AM = 8 - 3\sqrt 3 }
Ν.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 3:51 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
ΑΣΚΗΣΗ 12

\displaystyle{AB//MC \Rightarrow \left( {MCA} \right) = \left( {MCB} \right)} και \displaystyle{AB//MD \Rightarrow \left( {MDB} \right) = \left( {MDA} \right)}

Με πρόθεση έχουμε \displaystyle{\left( {MCA} \right) + \left( {MDB} \right) = \left( {MCB} \right) + \left( {MDA} \right) = \frac{{ab}}{2} \Rightarrow \frac{{\left( {x + y} \right)d}}{2} = \frac{{ab}}{2} \Rightarrow \boxed{x + y = \frac{{ab}}{d}}}


(Είναι \displaystyle{\left( {MAB} \right) = \left( {DAB} \right) = \frac{{ab}}{2}})


ασκηση 12.png
ασκηση 12.png (6.29 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 5:45 pm
από Doloros
KARKAR έγραψε:Άσκηση 10

Το συνημμένο Άσκηση 10.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ο λόγος των πλευρών του ορθογωνίου ABCD είναι \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{5}{7} .

Κατασκευάστε νέο ορθογώνιο PQST , με κορυφές ανά μία στις πλευρές

του αρχικού και \dfrac{AT}{TD}=\dfrac{2}{3} και βρείτε το λόγο : \dfrac{(PQST)}{(ABCD)}


Ορθογώνια (KARKAR)_10.png
Ορθογώνια (KARKAR)_10.png (14.31 KiB) Προβλήθηκε 610 φορές


Ας είναι AT = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TD = 3k\,\,,\,\,k > 0. Τότε AB = 7k. Θέτουμε AP = x, άρα PB = u = 7k - x.

Επειδή ST \bot TP , τα ορθογώνια τρίγωνα DST\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BPQ θα έχουν ίσες γωνίες κι αφού έχουν ίσες υποτείνουσες θα είναι και ίσα .

Από τα όμοια τρίγωνα APT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DTS έχουμε: \dfrac{{AP}}{{DT}} = \dfrac{{AT}}{{DS}} \Rightarrow xu = 3k2k κι αφού x + u = 7k έχουμε την εξίσωση : {x^2} - 7k + 6{k^2} = 0 .

Έτσι με x > u είναι : \boxed{x = 6k\,}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\boxed{u = k} και η κατασκευή του PQST απλή.

Επειδή TS = \sqrt {10} k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TP = \sqrt {40} k ( Π. Θ. στα τρίγωνα DTS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,APT) θα έχουμε:

\boxed{\frac{{(PQST)}}{{(ABCD)}} = \dfrac{{20}}{{35}} = \dfrac{4}{7}}.

Ν.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 5:53 pm
από Μπάμπης Στεργίου
ΑΣΚΗΣΗ 13

Μια απλή και σχολική :

Στο εσωτερικό ενός ορθογωνίου ABCD υπάρχει σημείο M , τέτοιο ώστε : MA=1,MB=7,MD=4.Να υπολογιστεί το τμήμα MC .

Μπ

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 6:14 pm
από Μιχάλης Νάννος
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 13

Μια απλή και σχολική :

Στο εσωτερικό ενός ορθογωνίου ABCD υπάρχει σημείο M , τέτοιο ώστε : MA=1,MB=7,MD=4.Να υπολογιστεί το τμήμα MC .

Μπ

Γεια σου Μπάμπη.
Είναι M{A^2} + M{C^2} = M{B^2} + M{D^2} \Leftrightarrow MC = \sqrt {49 + 16 - 1}  = 8.

* Edit: Η σχέση προκύπτει από δύο θεωρήματα διαμέσων στις ίσες διαγώνιες του ορθογωνίου, που τέμνονται στο O.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 6:17 pm
από ealexiou
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 13

Μια απλή και σχολική :

Στο εσωτερικό ενός ορθογωνίου ABCD υπάρχει σημείο M , τέτοιο ώστε : MA=1,MB=7,MD=4.Να υπολογιστεί το τμήμα MC .

Μπ


Ας είναι MC=x και y και z οι αποστάσεις του σημείου M από τις πλευρές AB και AD αντίστοιχα τότε

x^2=7^2 -y^2+4^2-z^2 όμως y^2+z^2=1, άρα x^2=49+16-1=64\Rightarrow \boxed{MC=x=\sqrt{64}=8}

edit: Άργησα... Την αφήνω για να την βρίσκω εύκολα (στις δημοσιεύσεις μου) και επειδή μου άρεσε.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 7:27 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
ΑΣΚΗΣΗ 9

\displaystyle{\angle BDC = \angle LCK = \omega }(οξείες με κάθετες πλευρές).Ακόμη , \displaystyle{\angle \omega  + \varphi  = \angle \omega  + \theta  = {45^0} \Rightarrow \angle \varphi  = \angle \vartheta  \Rightarrow \boxed{KC = AC = BD}}

A.9.png
A.9.png (13.44 KiB) Προβλήθηκε 559 φορές

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 7:46 pm
από KARKAR
Άσκηση 14
Άσκηση  14.png
Άσκηση 14.png (6 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές
Στην πλευρά BC ορθογωνίου ABCD , διαστάσεων a \times b , βρίσκεται σημείο S ,

και έστω BS=x . Επιλέξτε σημείο T της πλευράς AB , με BT= y ώστε ,

αν η κάθετη της AB στο T , τέμνει την DS στο P και την DC στο Q ,

να είναι : (PQCS)=2(PTBS) . Διερεύνηση επιθμητή , αλλά όχι ζητούμενη !

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 8:19 pm
από STOPJOHN
AΣΚΗΣΗ 12

Έστω B\Theta \perp A\Gamma ,MI\perp B\Theta , τότε είναι KBM=BIM, γιατί είναι ορθογώνια

και έχουν την πλευρά MB κοινή,\hat{KBM}=\hat{AN\Gamma }=\hat{IMB} Αρα
KM=BI,(1) Aπό το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

IMN\Theta ,MN=I\Theta ,(2).



(1)+(2)\Rightarrow MN+KM=I\Theta +BI=B\Theta
, σταθερό


Γιάννης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 8:20 pm
από Γιώργος Ρίζος
Άσκηση 14

Άσκηση  14.png
Άσκηση 14.png (6 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές


Από την ομοιότητα των DPQ, DSC είναι \displaystyle \frac{{PQ}}{{SC}} = \frac{{DQ}}{{DC}} \Leftrightarrow PQ = \frac{{\left( {a - y} \right)\left( {b - x} \right)}}{a}

Οπότε \displaystyle \frac{{\left( {PQCS} \right)}}{{\left( {PTBS} \right)}} = 2 \Leftrightarrow \left( {PQSC} \right) = \frac{2}{3}by \Leftrightarrow \frac{{\frac{{\left( {a - y} \right)\left( {b - x} \right)}}{a} + b - x}}{2} \cdot y = \frac{2}{3}by

\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{\left( {b - x} \right)\left( {2a - y} \right)}}{{2a}} = \frac{2}{3}b \Leftrightarrow 2ab - 6ax + 3xy - 3by = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{2a\left( {b - 3x} \right)}}{{3\left( {b - x} \right)}}

Πρέπει \displaystyle x < \frac{b}{3} .

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 8:28 pm
από sakis1963
Ασκηση 14
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.14.png
GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.14.png (11.38 KiB) Προβλήθηκε 526 φορές

Χωρίζω το ορθογώνιο σε τρία οριζόντια ισεμβαδικά τμήματα υψους \dfrac{b}{3}

Η ζητούμενη είναι η συμμετρική της CB ώς προς την // προς την CB που περνά από την τομή M, της DS με την 1η παράλληλη

Είναι φανερό ότι πρέπει x<\dfrac{b}{3}

Σάκης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 8:37 pm
από sakis1963
Ασκηση 15

Αφού περιγράψετε γεωμετρικά με τετράγωνο, δοσμένο ορθογώνιο με πλευρές a, b αποδείξτε ότι το εμβαδόν του (τετραγώνου) είναι \dfrac{(a+b)^2}{2}