Σελίδα 2 από 37
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 11:53 am
από sakis1963
Ασκηση 9
- GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκηση 9.png (23.04 KiB) Προβλήθηκε 1577 φορές
Χαιρετώ.
Φέρω το ύψος
του τριγώνου
Οι
ως εντός εναλλάξ
Οι
από τη γνωστή πρόταση ύψους-διχοτόμου-διαμέτρου περίκυκλου, που άγονται από την ιδια κορυφή (εδώ την
)
Αρα
ισοσκελές και
λόγω της ισότητας των διαγωνίων του ορθογωνίου
Σάκης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 12:11 pm
από sakis1963
Ασκηση 8
α.
Θέτω
οπότε από Π.Θ. στο
Από δύναμη σημείου
έχω
απόπου
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 12:24 pm
από KARKAR
Άσκηση 10
- Άσκηση 10.png (8.01 KiB) Προβλήθηκε 1564 φορές
Ο λόγος των πλευρών του ορθογωνίου
είναι
.
Κατασκευάστε νέο ορθογώνιο
, με κορυφές ανά μία στις πλευρές
του αρχικού και
και βρείτε το λόγο :
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 1:01 pm
από Doloros
sakis1963 έγραψε:Ασκηση 8
α.
Θέτω
οπότε από Π.Θ. στο
Από δύναμη σημείου
έχω
απ όπου
Ορθογώνια (KARKAR)_8.png
Για το δεύτερο ερώτημα είναι
.
Λόγω άθλιου διαδικτύου, υποθέτω σε λίγο και τα λόγια.
Ν.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 2:06 pm
από george visvikis
Φανης Θεοφανιδης έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 9
Δίνεται ορθογώνιο
στο οποίο
είναι το σημείο τομής της διχοτόμου
της γωνίας
και της από το
καθέτου στην
. Δείξτε ότι
.
Χαιρετώ τους φίλους.
- Ορθογώνια.9..png (13.21 KiB) Προβλήθηκε 1526 φορές
Φέρνω από το
παράλληλη στη
που τέμνει τις
στα
αντίστοιχα. Το
είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε
. Τα τρίγωνα
έχουν
και
, οπότε θα είναι
ή
(
ο κριτήριο). Στην
η περίπτωση τα τρίγωνα είναι ίσα και
. Στη δεύτερη περίπτωση είναι
, δηλαδή το
είναι τετράγωνο, το
είναι μέσο του
, άρα και πάλι ισχύει.
Υπάρχουν πολύ πιο εύκολοι τρόποι, αλλά ήθελα να χρησιμοποιήσω αυτό το κριτήριο που το βλέπουμε σπάνια.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 2:18 pm
από Doloros
KARKAR έγραψε:Άσκηση 8
Το συνημμένο Άσκηση 8.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ορθογώνιο
, διαστάσεων
, είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Η εφαπτομένη του
περικύκλου στο
, τέμνει την προέκταση της
στο σημείο
, από το οποίο φέρουμε
το άλλο εφαπτόμενο τμήμα
και στη συνέχεια το κάθετο προς την
τμήμα
.
α) Υπολογίστε το τμήμα
. β) Αν
, υπολογίστε το τμήμα
.
1. Επειδή
και άρα
.
2. Αν τώρα
θα έχουμε
, δηλαδή
με άμεση συνέπεια
.
Έστω
το σημείο τομής των
και
το κέντρο του κύκλου του ορθογωνίου
.
Επειδή
( υπό χορδής κι εφαπτομένης ) και
( αφού
) , θα είναι
και άρα τα σημεία
ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
- Ορθογώνια (KARKAR)_8_b.png (31.55 KiB) Προβλήθηκε 1517 φορές
Όμως τα σημεία
ανήκουν στο κύκλο διαμέτρου
γιατί
.
Συνεπώς τα πέντε σημεία
ανήκουν στον κύκλο διαμέτρου
με άμεση συνέπεια το
να είναι μέσο του
.
Από τη δύναμη του σημείου
ως προς τον κύκλο
θα έχουμε :
Λόγω Π. Θ. στο τρίγωνο
. Όμως τα ορθογώνια τρίγωνα
είναι όμοια και η προηγούμενη σχέση γίνεται :
και λόγω της
Ν.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 2:55 pm
από KARKAR
Άσκηση 11
- Άσκηση 11.png (12.37 KiB) Προβλήθηκε 1506 φορές
Το ισόπλευρο τρίγωνο
είναι τοποθετημένο στο εσωτερικό του ορθογωνίου
, όπως φαίνεται στο σχήμα . Αν η απόσταση της κορυφής
απο την
πλευρά
είναι
, βρείτε την απόσταση του
από την πλευρά
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 2:57 pm
από Φανης Θεοφανιδης
ΑΣΚΗΣΗ 12
Θεωρούμε ένα ορθογώνιο
και τυχαίο σημείο
της περιμέτρου του.
Δείξτε ότι το άθροισμα των αποστάσεων του
από τις διαγωνίους
και
είναι σταθερό.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 3:28 pm
από Doloros
KARKAR έγραψε:Άσκηση 11
Το συνημμένο Άσκηση 11.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το ισόπλευρο τρίγωνο
είναι τοποθετημένο στο εσωτερικό του ορθογωνίου
, όπως φαίνεται στο σχήμα . Αν η απόσταση της κορυφής
απο την
πλευρά
είναι
, βρείτε την απόσταση του
από την πλευρά
Ας δούμε τη γεωμετρική κατασκευή.
- Ορθογώνια (KARKAR)_11_κατασκευή.png (25.46 KiB) Προβλήθηκε 1493 φορές
Από το
φέρνουμε ευθεία με κλίση
με την
η οποία τέμνει τη μεσοπαράλληλο των
και
( σταθερή ως ευθεία) στο μέσο
του
.
Τα υπόλοιπα είναι απλώς … υπολογισμοί!
- Ορθογώνια (KARKAR)_11.png (25.81 KiB) Προβλήθηκε 1490 φορές
Ας είναι
η διάμεσος του τραπεζίου
. Επειδή
και άρα
Ν.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 3:51 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
ΑΣΚΗΣΗ 12
και
Με πρόθεση έχουμε
(Είναι
)
- ασκηση 12.png (6.29 KiB) Προβλήθηκε 1489 φορές
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 5:45 pm
από Doloros
KARKAR έγραψε:Άσκηση 10
Το συνημμένο Άσκηση 10.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Ο λόγος των πλευρών του ορθογωνίου
είναι
.
Κατασκευάστε νέο ορθογώνιο
, με κορυφές ανά μία στις πλευρές
του αρχικού και
και βρείτε το λόγο :
- Ορθογώνια (KARKAR)_10.png (14.31 KiB) Προβλήθηκε 1462 φορές
Ας είναι
. Τότε
. Θέτουμε
, άρα
.
Επειδή
, τα ορθογώνια τρίγωνα
θα έχουν ίσες γωνίες κι αφού έχουν ίσες υποτείνουσες θα είναι και ίσα .
Από τα όμοια τρίγωνα
έχουμε:
κι αφού
έχουμε την εξίσωση :
.
Έτσι με
είναι :
και η κατασκευή του
απλή.
Επειδή
( Π. Θ. στα τρίγωνα
) θα έχουμε:
.
Ν.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 5:53 pm
από Μπάμπης Στεργίου
ΑΣΚΗΣΗ 13
Μια απλή και σχολική :
Στο εσωτερικό ενός ορθογωνίου
υπάρχει σημείο
, τέτοιο ώστε :
.Να υπολογιστεί το τμήμα
.
Μπ
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 6:14 pm
από Μιχάλης Νάννος
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 13
Μια απλή και σχολική :
Στο εσωτερικό ενός ορθογωνίου
υπάρχει σημείο
, τέτοιο ώστε :
.Να υπολογιστεί το τμήμα
.
Μπ
Γεια σου Μπάμπη.
Είναι
.
* Edit: Η σχέση προκύπτει από δύο θεωρήματα διαμέσων στις ίσες διαγώνιες του ορθογωνίου, που τέμνονται στο .
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 6:17 pm
από ealexiou
Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 13
Μια απλή και σχολική :
Στο εσωτερικό ενός ορθογωνίου
υπάρχει σημείο
, τέτοιο ώστε :
.Να υπολογιστεί το τμήμα
.
Μπ
Ας είναι
και
και
οι αποστάσεις του σημείου
από τις πλευρές
και
αντίστοιχα τότε
όμως
, άρα
edit: Άργησα... Την αφήνω για να την βρίσκω εύκολα (στις δημοσιεύσεις μου) και επειδή μου άρεσε.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 7:27 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 7:46 pm
από KARKAR
Άσκηση 14
- Άσκηση 14.png (6 KiB) Προβλήθηκε 1402 φορές
Στην πλευρά
ορθογωνίου
, διαστάσεων
, βρίσκεται σημείο
,
και έστω
. Επιλέξτε σημείο
της πλευράς
, με
ώστε ,
αν η κάθετη της
στο
, τέμνει την
στο
και την
στο
,
να είναι :
. Διερεύνηση επιθμητή , αλλά όχι ζητούμενη !
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 8:19 pm
από STOPJOHN
AΣΚΗΣΗ 12
Έστω
τότε είναι
, γιατί είναι ορθογώνια
και έχουν την πλευρά
κοινή,
Αρα
Aπό το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
, σταθερό
Γιάννης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 8:20 pm
από Γιώργος Ρίζος
Άσκηση 14
- Άσκηση 14.png (6 KiB) Προβλήθηκε 1381 φορές
Από την ομοιότητα των
είναι
Οπότε
Πρέπει
.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 8:28 pm
από sakis1963
Ασκηση 14
- GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.14.png (11.38 KiB) Προβλήθηκε 1378 φορές
Χωρίζω το ορθογώνιο σε τρία οριζόντια ισεμβαδικά τμήματα υψους
Η ζητούμενη είναι η συμμετρική της
ώς προς την // προς την
που περνά από την τομή
, της
με την 1η παράλληλη
Είναι φανερό ότι πρέπει
Σάκης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Δεκ 20, 2015 8:37 pm
από sakis1963
Ασκηση 15
Αφού περιγράψετε γεωμετρικά με τετράγωνο, δοσμένο ορθογώνιο με πλευρές
αποδείξτε ότι το εμβαδόν του (τετραγώνου) είναι