Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

KARKAR · #41

Άσκηση 16

: Άσκηση 15.png (7.16 KiB) Προβλήθηκε 1326 φορές

Στην πλευρά

ορθογωνίου ABCD

, διαστάσεων $a \times b , (b>\dfrac{a}{2})$ , κινείται

σημείο

.Η κάθετη προς την

, στο

, τέμνει την πλευρά

στο σημείο

.

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του (TCD)

.

sakis1963 · #42

Ασκηση 16

: GEOMETRIA Ορθογωνια Ασκηση 16.png (29.81 KiB) Προβλήθηκε 1297 φορές

Το

γίνεται ελάχιστο όταν το CT=y

γίνεται ελάχιστο.

Επειδή το CDST

είναι εγγράψιμο, ο περικυκλός του τέμνει την

σε συμμετρικά σημεία ως προς την κοινή μεσοκάθετο των // χορδών AB, DC

Από δύναμη σημείου

έχουμε

απόπου $y=\dfrac{1}{b}x^2-\dfrac{a}{b}x+b$ και $y'=\dfrac{2x}{b}-\dfrac{a}{b}$ που μηδενίζεται στο $x_o=\dfrac{a}{2}$

οπότε $y_{min}=y(x_o)=b-\dfrac{a^2}{4b}$ και $(TCD)_{min}=\dfrac{a}{2}(b-\dfrac{a^2}{4b})$

Γεωμετρικά, πράγματι τα S, T

προσδιορίζονται από τον κύκλο που διέρχεται από τα C, D

και εφάπτεται στην

και οι θέσεις τους σημειώνονται με τα σημεία S', T'

στο σχήμα

Σάκης

STOPJOHN · #43

ΑΣΚΗΣΗ 16

Θετω $AS=x,CT=y,(TCD)=\dfrac{1}{2}ay,(1) DT^{2}=ST^{2}+DS^{2}\Leftrightarrow 0=b^{2}+x^{2}-ax-by\Leftrightarrow y=\dfrac{b^{2}+x^{2}-ax}{b},(2) (1),(2)\Rightarrow (TCD)=\frac{a^{2}}{2b}(x^{2}-ax+b^{2})\geq b^{2}-\dfrac{a^{2}}{4},x=\dfrac{a}{2},y=\dfrac{4b^{2}-a^{2}}{b}$

Γιάννης

Μιχάλης Τσουρακάκης · #44

ΑΣΚΗΣΗ 16

Με $\displaystyle{AS = x,TB = y}$ κι επειδή $\displaystyle{\vartriangle DAS \simeq \vartriangle SBT \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{b}{{a - x}} \Rightarrow y = \frac{{x\left( {a - x} \right)}}{b}}$ με $\displaystyle{{y_{\max }}}$ όταν $\displaystyle{\boxed{x = \frac{\alpha }{2}}}$ και $\displaystyle{{y_{\max }} = \frac{{{a^2}}}{{4b}}}$

Τότε $\displaystyle{C{T_{\min }} = b - \frac{{{a^2}}}{{4b}} \Rightarrow \boxed{{{\left( {DCT} \right)}_{\min }} = \frac{a}{2}\left( {b - \frac{{{a^2}}}{{4b}}} \right)}}$

sakis1963 · #45

Ασκηση 17

Να κατασκευαστεί ορθογώνιο ABCD

με δεδομένα, τον λόγο πλευρών του $\dfrac{a}{b}$ , την κορυφή

και δύο παράλληλες ευθείες $(\varepsilon1), (\varepsilon2)$ επί των οποίων βρίσκονται οι κορυφές του B, D

αντίστοιχα

#46

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Καλημέρα. Χαιρετίζω την ιδέα του Θανάση με μια απλή για ζέσταμα…

Άσκηση 7
Το συνημμένο 07.jpg δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο ορθογώνιο , του παραπάνω σχήματος, δίνεται ότι $EKZ\parallel AD,\,EC = \dfrac{{AK}}{2}$ και $C\widehat EB = {60^ \circ }$ . Να βρείτε τη γωνία $x = A\widehat CE$ .

Καλημέρα φίλτατε ...Μιχαήλ .

Μικρή κι ωραία είναι, αλλά όχι απλή.

: Ορθογώνια (KARKAR)_7.png (21.58 KiB) Προβλήθηκε 1263 φορές

Αν

το μέσο του

και

σημείο του

, ώστε $\widehat {TEM} = 30^\circ$ , τότε $\widehat {EMK} = \widehat {KET} = \widehat {MCE} = x$ επειδή δε από το τρίγωνο, EMC

ισχύει : $3x + 60^\circ = 180^\circ$

Θα είναι $\boxed{x = 40^\circ }$ .

Ν.

#47

sakis1963 έγραψε:Ασκηση 15

Αφού περιγράψετε γεωμετρικά με τετράγωνο, δοσμένο ορθογώνιο με πλευρές αποδείξτε ότι το εμβαδόν του (τετραγώνου) είναι $\dfrac{(a+b)^2}{2}$

Καλημέρα Σάκη, Καλημέρα σε όλους.

: Ορθογώνια.15.png (12.5 KiB) Προβλήθηκε 1234 φορές

Από τις κορυφές του ορθογωνίου, φέρνω κάθετες στις διχοτόμους του. Το τετράπλευρο KLMN

που σχηματίζεται είναι προφανώς το ζητούμενο τετράγωνο με πλευρά $\displaystyle{LM = LB + BM = \frac{{(a + b)\sqrt 2 }}{2}}$ και εμβαδόν $\boxed{(KLMN) = \frac{{{{(a + b)}^2}}}{2}}$

#48

Άσκηση 18

: Ορθογώνια.18.png (16.29 KiB) Προβλήθηκε 1217 φορές

Δίνεται ορθογώνιο ABCD

με

και έστω

οι προβολές

τυχαίου σημείου

της διαγωνίου

πάνω στις πλευρές AB, AD

αντίστοιχα. Να δείξετε ότι η

διαφορά (KCDH)-(KEB)

είναι σταθερή, ανεξάρτητη της θέσης του

.

sakis1963 · #49

Ασκηση 18

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.18.png (24.28 KiB) Προβλήθηκε 1196 φορές

Γειά σου Γιώργο,

επειδή τα ορθογώνια ABCD, AEMH

είναι ομοιόθετα με κέντρο

(και κάποιο λόγο που εξαρτάται από τη θέση του

),

οι διαγωνιές τους EH, BD

είναι παραλλήλες και συνεπώς EBDH

τραπέζιο, απόπου (DHL)=(BEL)=(KEL)+(KEB)

,

οπότε $(KCDH)-(KEB)=(KCDH)-((DHL)-(KEL))=(DCE)=\dfrac{(ABCD)}{2}$

Σάκης

KARKAR · #50

Άσκηση 19

: Άσκηση 17.png (7.57 KiB) Προβλήθηκε 1173 φορές

Το σημείο

είναι το κέντρο του διαστάσεων $a \times b$ ορθογωνίου ABCD

.

Σημεία S , T

κινούνται επί των DC , BC

αντίστοιχα , ώστε $SO \perp TO$ .

α) Δείξτε ότι το τρίγωνο SOT

είναι σταθερής ομοιότητας* .

β) Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του μέσου

της

είναι μια ευθεία .

γ) Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ , ώστε η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από το

.

*Η έκφραση ίσως είναι αδόκιμη , ισοδυναμεί πάντως με την παλαιότρη "παραμένει όμοιο προς εαυτό(ν)"

#51

KARKAR έγραψε:Άσκηση 19
Το συνημμένο Άσκηση 17.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Το σημείο είναι το κέντρο του διαστάσεων $a \times b$ ορθογωνίου .

Σημεία κινούνται επί των αντίστοιχα , ώστε $SO \perp TO$ .

α) Δείξτε ότι το τρίγωνο είναι σταθερής ομοιότητας* .

β) Δείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος του μέσου της είναι μια ευθεία .

γ) Υπολογίστε το λόγο $\dfrac{b}{a}$ , ώστε η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από το .

Ορθογώνια (KARKAR)_19.png (14.56 KiB) Προβλήθηκε 1165 φορές

*Η έκφραση ίσως είναι αδόκιμη , ισοδυναμεί πάντως με την παλαιότρη "παραμένει όμοιο προς εαυτό(ν)"

Τα $\,O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,C$ είναι σταθερά καθώς και η γωνία $\widehat {ACB} = {a_1}$ .

Επειδή τα σημεία S,O,T,C

ομοκυκλικά θα είναι ${a_2} = {a_1}$ , σταθερή και άρα το ορθογώνιο τρίγωνο μένει όμοιο προς αυτό.

Επειδή $MO = MC = \dfrac{{ST}}{2}$ το σημείο

ανήκει στη σταθερή μεσοκάθετο του

Αν η ευθεία αυτή περνά από το

θα ισχύει $OB = OC \Leftrightarrow O{B^2} = O{C^2} \Leftrightarrow ({a^2} + {b^2}) = 4{b^2} \Leftrightarrow a = b\sqrt 3$ και άρα $\boxed{\frac{a}{b} = \sqrt 3 }$
Ν.

sakis1963 · #52

Ασκηση 19

Χαιρετώ.

α. Επειδή το SOTC

είναι εγγράψιμο, γωνία $\hat{OTS}=\hat{OCS}=ct.$

β. Το

είναι κάθε φορά το κέντρο του περίκυκλου του SOTC

, οπότε αφού οι κύκλοι (δέσμη) διέρχονται από σταθερή χορδή

,

ο γ.μ. του

είναι η μεσοκάθετος της

(περιοριζόμενη από της πλευρές του ορθογωνίου)

γ. όταν η μεσοκάθετος της

διέρχεται από το

, το τρίγωνο OBC

είναι ισοσκελές και λόγω του ορθογωνίου (ίσες διχοτομούμενες διαγώνιες) ισόπλευρο.

Αρα $\dfrac{a}{b}=\sqrt3$

Σάκης

Γειά σου Νίκο (με πρόλαβες στη στροφή ... και με σχήμα!!!). Την αφήνω για τον κόπο.
Για βραβείο (ή τιμωρία...) να λύσεις την Ασκ.17

KARKAR · #53

Άσκηση 20

: Άσκηση 20.png (8.46 KiB) Προβλήθηκε 1154 φορές

Στην προέκταση της πλευράς

, ορθογωνίου ABCD

, κινείται σημείο

.

Η

τέμνει την

στο

, του οποίου την προβολή στην

, ονομάζω

.

Βρείτε , συναρτήσει των πλευρών a,b

, τη μέγιστη τιμή του λόγου $\dfrac{TP}{SC}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #54

ΑΣΚΗΣΗ 7

Με $\displaystyle{M}$ μέσον της $\displaystyle{AK}$ $\displaystyle{ \Rightarrow \vartriangle MKE,MEC}$ ισοσκελή και στο $\displaystyle{\vartriangle MKE \Rightarrow x + 2\left( {{{30}^0} + x} \right) = {180^0} \Rightarrow \boxed{x = {{40}^0}}}$

: a.7.png (8.25 KiB) Προβλήθηκε 1145 φορές

#55

sakis1963 έγραψε:Ασκηση 17

Να κατασκευαστεί ορθογώνιο με δεδομένα, τον λόγο πλευρών του $\dfrac{a}{b}$ , την κορυφή και δύο παράλληλες ευθείες $(\varepsilon1), (\varepsilon2)$ επί των οποίων βρίσκονται οι κορυφές του αντίστοιχα

Καλησπέρα.

: Ορθογώνια.17.png (13.96 KiB) Προβλήθηκε 1136 φορές

Έστω

οι προβολές του

στις $\epsilon_1, \epsilon_2$ αντίστοιχα. Αφού το

είναι σταθερό και οι ευθείες δοσμένες τότε και τα σημεία H, E

είναι σταθερά και έστω AE=m, AH=n

και $\displaystyle{\frac{a}{b} = k \Leftrightarrow a = kb}$

Από τα όμοια τρίγωνα DAE, ABH

, είναι $\displaystyle{HB = km,ED = \frac{n}{k}}$ , άρα τα σημεία B, D

είναι ορισμένα και η κατασκευή του ορθογωνίου απλή.

Ιστοσελίδα · #56

ΑΣΚΗΣΗ 21

: 21.png (27.79 KiB) Προβλήθηκε 1105 φορές

Δίνεται ορθογώνιο ABCD

πλευράς $AB = 15\,cm$ και εμβαδού $180\,c{m^2}$ . Έστω $Z\, \in CD$ , τέτοιο ώστε CD = 3CZ

και έστω

το μέσο της

. Αν $K \equiv AC \cap ZM$ , να δείξετε ότι $(DZKA) - (AKMB)=3\,c{m^2}$ .

KARKAR · #57

Άσκηση 22

: Άσκηση 21.png (8.38 KiB) Προβλήθηκε 1073 φορές

Για μικρότερες ηλικίες . Τα σημεία K,M

είναι τα μεσα των πλευρών AB , DC

,

του ορθογωνίου ABCD

και το

είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου

.

Αν τα εικονιζόμενα βέλη ( όχι διανύσματα ! ) είναι ίσα , υπολογίστε το λόγο $\dfrac{AD}{AB}$ .

#58

Μιχάλης Νάννος έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 21
Το συνημμένο 21.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Δίνεται ορθογώνιο πλευράς $AB = 15\,cm$ και εμβαδού $180\,c{m^2}$ . Έστω $Z\, \in CD$ , τέτοιο ώστε και έστω το μέσο της . Αν $K \equiv AC \cap ZM$ , να δείξετε ότι $(DZKA) - (AKMB)=3\,c{m^2}$ .

Γεια σου Μιχάλη, γεια σε όλους.

: Ορθογώνια.21.png (19.81 KiB) Προβλήθηκε 1068 φορές

Από την υπόθεση βρίσκω ότι BM=MC=6cm, ZC=5cm

. Φέρνω τις DE, BH

παράλληλες στη

και έστω

, οπότε θα είναι KH=x, AE=HC=2x

και

.

$\displaystyle{(DZKA) - (AKMB) = (ACD) - (CKZ) - (ABC) + (CKM) = (CKM) - (CKZ) = }$

$\displaystyle{\frac{1}{2}6CK\eta \mu \varphi - \frac{1}{2}5CK\eta \mu \omega = \frac{1}{2}CK\left( {6 \cdot \frac{{15}}{{AC}} - 5 \cdot \frac{{12}}{{AC}}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{{5x}}(90 - 60) \Leftrightarrow }$

$\boxed{(DZKA) - (AKMB) = 3c{m^2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #59

ΑΣΚΗΣΗ 21

Είναι $\displaystyle{AD = 12}$

$\displaystyle{\left( {DZKA} \right) = \left( {DCA} \right) - \left( {ZCK} \right),\left( {BMKA} \right) = \left( {BCA} \right) - \left( {MCK} \right) \Rightarrow \left( {DZKA} \right) - \left( {BMKA} \right) = \left( {CKM} \right) - \left( {ZCK} \right)}$

$\displaystyle{\frac{{ZL}}{{12}} = \frac{{ZC}}{{CD}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \boxed{ZL = 4}}$

Ισχύει $\displaystyle{\frac{x}{y} = \frac{6}{4} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{3}{2}}$ με $\displaystyle{x + y = 5}$ άρα $\displaystyle{\boxed{y = 2},\boxed{x = 3} \Rightarrow \boxed{\left( {CKM} \right) = 9}}$

Προφανώς $\displaystyle{ZC = BP = 5}$ και $\displaystyle{\frac{m}{n} = \frac{{ZC}}{{AP}} = \frac{5}{{20}} = \frac{1}{4}}$ κι επειδή $\displaystyle{m + n = 12 \Rightarrow \boxed{m = \frac{{12}}{5}} \Rightarrow \boxed{\left( {ZCK} \right) = 6}}$

Τώρα, $\displaystyle{\left( {DZAK} \right) - \left( {BMKA} \right) = \left( {CKM} \right) - \left( {ZCK} \right) = 3}$

: A.21.png (19.3 KiB) Προβλήθηκε 1058 φορές

sakis1963 · #60

Ασκηση 20

: GEOMETRIA Ορθογώνια Ασκ.20.png (20.58 KiB) Προβλήθηκε 1054 φορές

Καλησπέρα.

$DQ\parallel AC, TQ \perp DC$ , DS=x

$\dfrac{a}{SC}=\dfrac{d}{l}$ .....(1)

SC^2=a^2+x^2

....(2)

$\dfrac{b}{a}=\dfrac{l}{a-y}$ .....(3)

(1)-> $\dfrac{d}{SC}=\dfrac{al}{SC^2}$ και μέσω (2), (3) $\dfrac{d}{SC}=\dfrac{b(a-y)}{a^2+x^2}$ .....(4)

από όμοια τρίγωνα $\dfrac{l}{x}=\dfrac{y}{a}=\dfrac{QC}{SC}=\dfrac{SC-k}{SC}=1-\dfrac{k}{SC}$ .....(5)

από όμοια τρίγωνα $\dfrac{k}{SC}=\dfrac{x}{b+x}$ .....(6)

από (5), (6) έχουμε $y=\dfrac{ab}{b+h}$ .....(7)

από (4), (7) έχουμε $\dfrac{d}{SC}=\dfrac{abx}{(b+x)(a^2+x^2)}$

οπότε o ζητούμενος λόγος δίνεται από τη σχέση $f(x)=\dfrac{TP}{SC}=\dfrac{abx}{(b+x)(a^2+x^2)}$

και $f'(x)=-\dfrac{ab(2x^3+bx^2-a^2b)}{(b+x)^2(a^2+x^2)^2}$ (με λογισμικό, που δεν μπορεί να βρεί ρίζες με παραμέτρους a, b

)

Αν για παράδειγμα θέσω a=3, b=2

βγάζει αποτέλεσμα ένα "σιδηρόδρομο" νούμερα ......

Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση