Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Συντονιστής: spyros
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
ΑΣΚΗΣΗ 33
Έστω ορθογώνιο με . σημείο κινείται στην πλευρά ανάμεσα στα . Γράφουμε τον κύκλο .
1. Να γράψετε κύκλο με κέντρο στην που να διέρχεται από το και να εφάπτεται εξωτερικά του .
2. Να βρεθεί η θέση του , ώστε ο κύκλος να εφάπτεται και της .
3. Βρείτε ακεραίους ώστε οι κύκλοι να έχουν ακτίνες με μέτρα ακεραίους και να ισχύει το προηγούμενο ερώτημα.
Ν.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ασκηση 32KARKAR έγραψε:Άσκηση 32 Στην πλευρά του ορθογωνίου βρίσκονται σημεία , ώστε
οι τεμνόμενες στο , να ορίζουν τρίγωνο με εμβαδό ίσο με
το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .
Θέτω
απόπου
όπου θέτω και γίνεται που έχει δεκτή ρίζα την (οι άλλες είναι αρνητικές
Αρα (ανεξάρτητο του )
Σάκης
τελευταία επεξεργασία από sakis1963 σε Τρί Δεκ 22, 2015 10:09 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα:KARKAR έγραψε:Άσκηση 32 Στην πλευρά του ορθογωνίου βρίσκονται σημεία , ώστε
οι τεμνόμενες στο , να ορίζουν τρίγωνο με εμβαδό ίσο με
το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου . Υπολογίστε το μήκος του τμήματος .
.
Υπάρχουν άπειρα τρίγωνα με την κορυφή να κινείται σε σταθερή ευθεία παράλληλη στην .
Ν.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 34
Σε ορθογώνιο του οποίου το μήκος είναι διπλάσιο του πλάτους , γράφουμε
κύκλο εφαπτόμενο της στο μέσο της και ο οποίος τέμνει την σε
δύο σημεία , από τα οποία το πλησιέστερο προς την κορυφή , ονομάζουμε .
Αν η τέμνει τον κύκλο στο , δείξτε ότι .
κύκλο εφαπτόμενο της στο μέσο της και ο οποίος τέμνει την σε
δύο σημεία , από τα οποία το πλησιέστερο προς την κορυφή , ονομάζουμε .
Αν η τέμνει τον κύκλο στο , δείξτε ότι .
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
KARKAR έγραψε:Άσκηση 34 Σε ορθογώνιο του οποίου το μήκος είναι διπλάσιο του πλάτους , γράφουμε κύκλο εφαπτόμενο της στο μέσο της και ο οποίος τέμνει την σε δύο σημεία , από τα οποία το πλησιέστερο προς την κορυφή , ονομάζουμε .Αν η τέμνει τον κύκλο στο , δείξτε ότι .
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
ΑΣΚΗΣΗ 35
Έστω ορθογώνιο . Στο σημείο φέρνουμε κάθετη επί τη διαγώνιο που τέμνει την ευθεία στο .
Η κάθετη στην στο τέμνει τις ευθείες στα αντίστοιχα.
Η από το παράλληλη στην τέμνει τις ευθείες στα αντίστοιχα.
1. Δείξετε ότι οι ευθείες συντρέχουν , έστω σε σημείο .
2. Αν να βρείτε συναρτήσει του το λόγο , .
Έγινε διόρθωση του ερωτήματος
Ν.
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Τετ Δεκ 23, 2015 8:45 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ασκηση 33 1. Εστω ότι ο κύκλος τέμνει την στο , ο κύκλος με διάμετρο τέμνει τον στο που είναι το σημείο επαφής των κύκλων .Doloros έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 33 Έστω ορθογώνιο με . σημείο κινείται στην πλευρά ανάμεσα στα . Γράφουμε τον κύκλο .
1. Να γράψετε κύκλο με κέντρο στην που να διέρχεται από το και να εφάπτεται εξωτερικά του .
2. Να βρεθεί η θέση του , ώστε ο κύκλος να εφάπτεται και της .
3. Βρείτε ακεραίους ώστε οι κύκλοι να έχουν ακτίνες με μέτρα ακεραίους και να ισχύει το προηγούμενο ερώτημα.
Ν.
Το κέντρο του έστω και η ακτίνα του
2. Τώρα έχουμε τον , με κέντρο και ακτίνα , και ζητούμε την ακτίνα του .
Από Π.Θ. στο έχουμε που μετά από λίγες πράξεις γίνεται και έχει δεκτή ρίζα την
3. Τα αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα, άρα όπου τυχαίοι ακέραιοι.
Στο δεύτερο σχήμα φαίνεται, άλλος τρόπος, πιο εύκολος για την εύρεση του σημείου επαφής των (που προκύπτει από την ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων )
Με το σχήμα αυτό επίσης τεκμηριώνεται και η καθετότητα στο που αιτιολογεί τον πρώτο τρόπο κατασκευής με τον κύκλο
Σάκης
τελευταία επεξεργασία από sakis1963 σε Τετ Δεκ 23, 2015 1:15 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Καλημέρα στους φίλους.Doloros έγραψε:
ΑΣΚΗΣΗ 35
Έστω ορθογώνιο . Στο σημείο φέρνουμε κάθετη επί τη διαγώνιο που τέμνει την ευθεία στο .
Η κάθετη στην στο τέμνει τις ευθείες στα αντίστοιχα.
Η από το παράλληλη στην τέμνει τις ευθείες στα αντίστοιχα.
1. Δείξετε ότι οι ευθείες συντρέχουν , έστω σε σημείο .
2. Αν να βρείτε συναρτήσει του το λόγο , .
Έγινε διόρθωση του ερωτήματος
Ν.
1) Έστω τα σημεία τομής της με τις αντίστοιχα.
Επειδή , θα είναι και με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε ότι . Άρα και αφού τα σημεία είναι τα μέσα των , οι ευθείες συντρέχουν.
2) Είναι και στο ορθογώνιο τρίγωνο :
,
απ' όπου παίρνουμε
Είναι όμως: και
Άρα:
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 36
Σε ορθογώνιο , διαστάσεων , τμήμα με άκρα επί των
, εφάπτεται του τεταρτοκυκλίου σε σημείο .
α) Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του τραπεζίου .
β) Βρείτε τη θέση της , ώστε να είναι
, εφάπτεται του τεταρτοκυκλίου σε σημείο .
α) Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του τραπεζίου .
β) Βρείτε τη θέση της , ώστε να είναι
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 36
β) Ας είναι η προβολή του στην και
Π.Θ στο , , Όμως
και και η γίνεται ή
β) Ας είναι η προβολή του στην και
Π.Θ στο , , Όμως
και και η γίνεται ή
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
α) Έστω η διάμεσος του τραπεζίου. Το εμβαδόν του τραπεζίου γίνεται ελάχιστο, όταν ελαχιστοποιείται η διάμεσος, δηλαδή όταν το συμπέσει με το . Τότε όμως θα είναι από Π. Θ ,KARKAR έγραψε:Άσκηση 36 Σε ορθογώνιο , διαστάσεων , τμήμα με άκρα επί των
, εφάπτεται του τεταρτοκυκλίου σε σημείο .
α) Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του τραπεζίου .
β) Βρείτε τη θέση της , ώστε να είναι
και
β) Η τέμνει τη στο . Θα πρέπει
Η προσδιορίζεται αν από το μέσο της φέρω τις εφαπτόμενες στο τεταρτοκύκλιο. Έχουμε δύο λύσεις.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ασκηση 37
Εστω ορθογώνιο και τέταρτο έλλειψης με κέντρο και ημιάξονες
α. Βρείτε σημείο της έλλειψης ώστε αν οι προβολές του στις το να γίνεται μέγιστο
β. Αν τα συμμετρικά του ως προς τα (του μεγίστου του α. ερωτήματος), αποδείξτε ότι η εφάπτεται της έλλειψης στο και διχοτομείται απ'αυτό
Για ευκολία μπορείτε να θεωρήσετε
α. Βρείτε σημείο της έλλειψης ώστε αν οι προβολές του στις το να γίνεται μέγιστο
β. Αν τα συμμετρικά του ως προς τα (του μεγίστου του α. ερωτήματος), αποδείξτε ότι η εφάπτεται της έλλειψης στο και διχοτομείται απ'αυτό
Για ευκολία μπορείτε να θεωρήσετε
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 38
Σημείο κινείται επί της πλευράς του διαστάσεων ορθογωνίου .
Mε μία κορυφή το , σχεδιάστε το "εγγεγραμμένο" νέο ορθογώνιο .
Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το ?
Αν έχετε κουράγιο υπολογίστε το , συναρτήσει των
Mε μία κορυφή το , σχεδιάστε το "εγγεγραμμένο" νέο ορθογώνιο .
Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το ?
Αν έχετε κουράγιο υπολογίστε το , συναρτήσει των
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Η μέγιστη τιμή του επιτυγχάνεται ο περίκυκλος του εσωτερικού ορθογωνίου εφάπτεται των και , δηλαδή έχει ακτίνα και κέντρο, προφανώς το (σημείο τομής των διαγωνίων του ),οπότε είναιKARKAR έγραψε:Άσκηση 38 Σημείο κινείται επί της πλευράς του διαστάσεων ορθογωνίου .
Mε μία κορυφή το , σχεδιάστε το "εγγεγραμμένο" νέο ορθογώνιο .
Ποια είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το ?
Αν έχετε κουράγιο υπολογίστε το , συναρτήσει των
και άρα
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 39
Στη "γωνιά" του διαστάσεων , σταθερού μακρόστενου ορθογωνίου
σχεδιάζουμε όμοιο , αλλά στενόμακρο και μεταβλητού μεγέθους ορθογώνιο .
Βρείτε την ελάχιστη τιμή της απόστασης της ( κινούμενης ) κορυφής από το .
σχεδιάζουμε όμοιο , αλλά στενόμακρο και μεταβλητού μεγέθους ορθογώνιο .
Βρείτε την ελάχιστη τιμή της απόστασης της ( κινούμενης ) κορυφής από το .
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Είναι και το κινείται πάνω στην , οπότε το γίνεται ελάχιστο στη θέση και είναιKARKAR έγραψε:Άσκηση 39 Στη "γωνιά" του διαστάσεων , σταθερού μακρόστενου ορθογωνίου
σχεδιάζουμε όμοιο , αλλά στενόμακρο και μεταβλητού μεγέθους ορθογώνιο .
Βρείτε την ελάχιστη τιμή της απόστασης της ( κινούμενης ) κορυφής από το .
τελευταία επεξεργασία από ealexiou σε Πέμ Δεκ 24, 2015 12:13 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Επειδή η γωνία ( σταθερή) το κινείται σε σταθερή ευθεία .KARKAR έγραψε:Άσκηση 39 Στη "γωνιά" του διαστάσεων , σταθερού μακρόστενου ορθογωνίου
σχεδιάζουμε όμοιο , αλλά στενόμακρο και μεταβλητού μεγέθους ορθογώνιο .
Βρείτε την ελάχιστη τιμή της απόστασης της ( κινούμενης ) κορυφής από το .
Προφανώς δε το τμήμα γίνεται ελάχιστο όταν , δηλαδή στη θέση τομή των ευθειών .
Θα είναι δε .
Ν.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 40
Το είναι το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου . Αν οι
τέμνονται σχηματίζοντας οξεία γωνία , βρείτε το λόγο .
Γκρίνιες για την "ποιότητα" του αποτελέσματος δεν νοούνται γουρουνιάρες μέρες ...
τέμνονται σχηματίζοντας οξεία γωνία , βρείτε το λόγο .
Γκρίνιες για την "ποιότητα" του αποτελέσματος δεν νοούνται γουρουνιάρες μέρες ...
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
- Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
- Επικοινωνία:
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Καλημέρα! Θα τα πούμε, μια και δεν σας τά'πανε άλλοι.KARKAR έγραψε:Άσκηση 40 Το είναι το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου . Αν οι
τέμνονται σχηματίζοντας οξεία γωνία , βρείτε το λόγο .
Γκρίνιες για την "ποιότητα" του αποτελέσματος δεν νοούνται γουρουνιάρες μέρες ...
Είναι
Επειδή
έχουμε
Και επειδή η είναι οξεία είναι
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Καλημέρα και Χρόνια ΠολλάKARKAR έγραψε:Άσκηση 40 Το είναι το μέσο της πλευράς , ορθογωνίου . Αν οι
τέμνονται σχηματίζοντας οξεία γωνία , βρείτε το λόγο .
Γκρίνιες για την "ποιότητα" του αποτελέσματος δεν νοούνται γουρουνιάρες μέρες ...
Έστω το μέσο της . Είναι
Νόμος συνημιτόνων στο :
Η τελευταία αυτή εξίσωση για , δίνει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες