Έστω , οι περίκυκλοι των τριγώνων αντιστοίχως και ας είναι και .KARKAR έγραψε:Άσκηση 211
Στο άκρο της διαγωνίου , ορθογωνίου , φέρω κάθετη , η οποία τέμνει τις προεκτάσεις των στα σημεία αντίστοιχα . Ονομάζω το μέσο του , παίρνω τυχαίο σημείο της και γράφω τους κύκλους , , , οι οποίοι τέμνουν τις προεκτάσεις των στα αντίστοιχα . Δείξτε ότι οι ευθείες τέμνονται σε σημείο - το οποίο ονομάζω - της .
Έστω τα σημεία και αρκεί να αποδειχθεί ότι , γιατί η ευθεία που συνδέει το σημείο τομής των διαγωνίων τραπεζίου με το σημείο τομής των ευθειών των μη παραλλήλων πλευρών του, περνάει από τα μέσα των βάσεών του ( γνωστό αποτέλεσμα ).
Από το εγγράψιμο τετράπλευρο έχουμε
Από και , λόγω του ορθογωνίου τριγώνου με ,
προκύπτει και ομοίως αποδεικνύεται ότι
Από το τραπέζιο τώρα, έχουμε
Από το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχουμε
Από και άρα, τα σημεία είναι συνευθειακά.
Ομοίως αποδεικνύεται ότι και τα σημεία είναι συνευθειακά και επομένως, και τα τέσσερα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία. Από και
Αλλά, από και από
Από
Από και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.