Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Συντονιστής: spyros
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ασκηση 226
Εστω ορθογώνιο και κύκλος που διέρχεται από τα ( εξωτερικό του ορθογωνίου και )
Από τα φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα που τέμνονται στο .
Δείξτε ότι είναι εφαπτομένες του κυκλου
Από τα φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα που τέμνονται στο .
Δείξτε ότι είναι εφαπτομένες του κυκλου
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Αρκεί να δείξω ότι . Πράγματι, είναι , οπότεsakis1963 έγραψε:Ασκηση 226 Εστω ορθογώνιο και κύκλος που διέρχεται από τα ( εξωτερικό του ορθογωνίου και )
Από τα φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα που τέμνονται στο .
Δείξτε ότι είναι εφαπτομένες του κυκλου
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Ασκηση 227
Στις προεκτάσεις των διαγωνίων , ορθογωνίου , παίρνουμε ίσα τμήματα
α. Δείξτε ότι το είναι ισοσκελές τραπέζιο
β. Υπολογίστε το (συναρτήσει των ) ώστε
γ. Υπολογίστε το λόγο ώστε επιπλέον ο περίκυκλος του νάχει κέντρο το μέσον της
α. Δείξτε ότι το είναι ισοσκελές τραπέζιο
β. Υπολογίστε το (συναρτήσει των ) ώστε
γ. Υπολογίστε το λόγο ώστε επιπλέον ο περίκυκλος του νάχει κέντρο το μέσον της
''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Νίκος Καζαντζάκης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Καλημέρα Σάκη.sakis1963 έγραψε:Ασκηση 227 Στις προεκτάσεις των διαγωνίων , ορθογωνίου , παίρνουμε ίσα τμήματα
α. Δείξτε ότι το είναι ισοσκελές τραπέζιο
β. Υπολογίστε το (συναρτήσει των ) ώστε
γ. Υπολογίστε το λόγο ώστε επιπλέον ο περίκυκλος του νάχει κέντρο το μέσον της
α) Το είναι τραπέζιο (προκύπτει από αντίστροφο Θαλή) και επειδή είναι ισοσκελές.
β) Έστω , .
απ' όπου παίρνουμε τη δεκτή ρίζα
γ)
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 228
Ευθεία η οποία διέρχεται από την κορυφή , ορθογωνίου , τέμνει τις
προεκτάσεις των στα σημεία αντίστοιχα . Από το και τυχόν
σημείο της , διέρχεται άλλη ευθεία , προς την οποία φέρουμε κάθετη
από το , η οποία τέμνει την στο . Δείξτε ότι και : .
προεκτάσεις των στα σημεία αντίστοιχα . Από το και τυχόν
σημείο της , διέρχεται άλλη ευθεία , προς την οποία φέρουμε κάθετη
από το , η οποία τέμνει την στο . Δείξτε ότι και : .
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
ΚαλημέραKARKAR έγραψε:Άσκηση 228 Ευθεία η οποία διέρχεται από την κορυφή , ορθογωνίου , τέμνει τις
προεκτάσεις των στα σημεία αντίστοιχα . Από το και τυχόν
σημείο της , διέρχεται άλλη ευθεία , προς την οποία φέρουμε κάθετη
από το , η οποία τέμνει την στο . Δείξτε ότι και : .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο ,
Aκόμη είναι
Γιάννης
- Συνημμένα
-
- Ασκηση 228.png (18.4 KiB) Προβλήθηκε 2803 φορές
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 229
Ιδέα Καλογεράκη : Σημείο κινείται στο μικρό τόξο του περικύκλου
ορθογωνίου . Η τέμνει την στο . Γράφω τον κύκλο
, ο οποίος διέρχεται από τα . Έστω το κέντρο του .
α) Δείξτε ότι ... β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου
Ιδέα Καλογεράκη : Σημείο κινείται στο μικρό τόξο του περικύκλου
ορθογωνίου . Η τέμνει την στο . Γράφω τον κύκλο
, ο οποίος διέρχεται από τα . Έστω το κέντρο του .
α) Δείξτε ότι ... β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Παρ Φεβ 10, 2017 8:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
α) εφαπτόμενη του κύκλου .KARKAR έγραψε:Ιδέα Καλογεράκη : Σημείο κινείται στο μικρό τόξο του περικύκλου ορθογωνίου . Η τέμνει την στο . Γράφω τον κύκλο , ο οποίος διέρχεται από τα . Έστω το κέντρο του .α) Δείξτε ότι ... β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου
β) Με σημείο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα το και το σημείο τομής της καθέτου επί την σταθερή
με την μεσοκάθετη της και όλα τα ζητούμενα έχουν αποδειχθεί και βρεθεί.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Καλημέρα σε όλους!KARKAR έγραψε:Ιδέα Καλογεράκη : Σημείο κινείται στο μικρό τόξο του περικύκλου
ορθογωνίου . Η τέμνει την στο . Γράφω τον κύκλο
, ο οποίος διέρχεται από τα . Έστω το κέντρο του .
α) Δείξτε ότι ... β) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου
α) , άρα η είναι εφαπτομένη του κύκλου και επειδή τα τρίγωνα είναι ίσα, θα είναι .
β) Σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα, το κινείται πάνω σε ευθεία που διέρχεται από το σταθερό σημείο και είναι κάθετη στη . Όταν το πάρει τη θέση του , τότε η θα είναι κάθετη στην . Αν λοιπόν οι εφαπτόμενες του κύκλου στα τέμνονται στο σημείο , τότε το ευθύγραμμο τμήμα είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 230
α) Αν είναι σημείο της διαγωνίου , ορθογωνίου , δείξτε ότι .
β) Βρείτε το λόγο , ώστε να είναι δυνατόν να ορισθεί με και κατασκευάστε το .
γ) Αν υπολογίστε εμβαδόν και περίμετρο του τριγώνου ( του ερωτήματος β)) .
β) Βρείτε το λόγο , ώστε να είναι δυνατόν να ορισθεί με και κατασκευάστε το .
γ) Αν υπολογίστε εμβαδόν και περίμετρο του τριγώνου ( του ερωτήματος β)) .
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
α) Τα δύο τρίγωνα έχουν κοινή την πλευρά και επειδή οι κορυφές ισαπέχουν της , είναι ισεμβαδικά. Αφήνω το β) ερώτημα και πάω στοKARKAR έγραψε:Άσκηση 230 α) Αν είναι σημείο της διαγωνίου , ορθογωνίου , δείξτε ότι .
β) Βρείτε το λόγο , ώστε να είναι δυνατόν να ορισθεί με και κατασκευάστε το .
γ) Αν υπολογίστε εμβαδόν και περίμετρο του τριγώνου ( του ερωτήματος β)) .
γ) Είναι και με νόμο συνημιτόνων στα δύο τρίγωνα έχω:
Πολλαπλασιάζω την πάνω εξίσωση με , την κάτω με και αφαιρώ κατά μέλη, οπότε και τελικά:
Η περίμετρος είναι και το εμβαδόν
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 231
Σε ορθογώνιο συνδέουμε το κέντρο με τα μέσα των πλευρών
αντίστοιχα . Οι διχοτόμοι των , τέμνουν τις
στα αντίστοιχα . Βρείτε το λόγο , ώστε : α) , β)
αντίστοιχα . Οι διχοτόμοι των , τέμνουν τις
στα αντίστοιχα . Βρείτε το λόγο , ώστε : α) , β)
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Για το α)KARKAR έγραψε:Άσκηση 231 Σε ορθογώνιο συνδέουμε το κέντρο με τα μέσα των πλευρών
αντίστοιχα . Οι διχοτόμοι των , τέμνουν τις
στα αντίστοιχα . Βρείτε το λόγο , ώστε : α) , β)
Ας είναι οπότε και άρα
Θεώρημα διχοτόμων, οπότε έχουμε:
και
Θέλουμε
τελευταία επεξεργασία από ealexiou σε Παρ Μάιος 13, 2016 8:59 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Χαιρετώ τους φίλους!KARKAR έγραψε:Άσκηση 231 Σε ορθογώνιο συνδέουμε το κέντρο με τα μέσα των πλευρών
αντίστοιχα . Οι διχοτόμοι των , τέμνουν τις
στα αντίστοιχα . Βρείτε το λόγο , ώστε : α) , β)
Έστω , οπότε . Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου είναι:
και ομοίως
α)
β) με
Με λογισμικό βρίσκω
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 232
Οι πλευρές και η διαγώνιος ορθογωνίου είναι διψήφιοι ακέραιοι αριθμοί. Αν εναλλάξουμε τα ψηφία
του μήκους της μεγάλης του διάστασης, προκύπτει το μήκος της διαγωνίου.
α) Να βρεθούν οι διαστάσεις και η διαγώνιος του ορθογωνίου.
β) Σημείο κινείται στην πλευρά και η μεσοκάθετος της τέμνει τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα.
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του
Οι πλευρές και η διαγώνιος ορθογωνίου είναι διψήφιοι ακέραιοι αριθμοί. Αν εναλλάξουμε τα ψηφία
του μήκους της μεγάλης του διάστασης, προκύπτει το μήκος της διαγωνίου.
α) Να βρεθούν οι διαστάσεις και η διαγώνιος του ορθογωνίου.
β) Σημείο κινείται στην πλευρά και η μεσοκάθετος της τέμνει τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα.
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Γεια σου Γιώργο!
Για το α) (και ...υπαινιγμός για το β))
Αν η διαγώνιος τότε η μια πλευρά του ορθογωνίου θα έχει την μορφή και αν (όπου διψήφιος αριθμός) η άλλη πλευρά του ορθογωνίου τότε:
απο όπου με δοκιμές βρίσκω
και άρα ,
δηλαδή
Για το α) (και ...υπαινιγμός για το β))
Αν η διαγώνιος τότε η μια πλευρά του ορθογωνίου θα έχει την μορφή και αν (όπου διψήφιος αριθμός) η άλλη πλευρά του ορθογωνίου τότε:
απο όπου με δοκιμές βρίσκω
και άρα ,
δηλαδή
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Είναι προφανές (διαγραμματικά) ότιgeorge visvikis έγραψε:Άσκηση 232
Οι πλευρές και η διαγώνιος ορθογωνίου είναι διψήφιοι ακέραιοι αριθμοί. Αν εναλλάξουμε τα ψηφία
του μήκους της μεγάλης του διάστασης, προκύπτει το μήκος της διαγωνίου.
α) Να βρεθούν οι διαστάσεις και η διαγώνιος του ορθογωνίου.
β) Σημείο κινείται στην πλευρά και η μεσοκάθετος της τέμνει τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα.
Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του
Είναι ,
άρα και επίσης είναι
Είναι
οπότε
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 233
Δίνεται ορθογώνιο και ένα σημείο του επιπέδου που να μην βρίσκεται πάνω στις διαγώνιές του. Αν είναι γνωστές οι γωνίες , να υπολογίσετε το λόγο των εμβαδών
Δίνεται ορθογώνιο και ένα σημείο του επιπέδου που να μην βρίσκεται πάνω στις διαγώνιές του. Αν είναι γνωστές οι γωνίες , να υπολογίσετε το λόγο των εμβαδών
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Σε κάθε τρίγωνο εμβαδού ισχύει (από το νόμο των συνημιτόνων) ότι .
Στην περίπτωση των έχουμε και .
Άρα
Στην περίπτωση των έχουμε και .
Άρα
Δημήτρης Σκουτέρης
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια
Άσκηση 234
Προεκτείνουμε τις πλευρές , ορθογωνίου κατά τμήματα
και αντίστοιχα . Τα σημεία είναι προφανώς συνευθειακά .
Δείξτε ότι ο περίκυκλος του ορθογωνίου διέρχεται από το μέσο του τμήματος .
και αντίστοιχα . Τα σημεία είναι προφανώς συνευθειακά .
Δείξτε ότι ο περίκυκλος του ορθογωνίου διέρχεται από το μέσο του τμήματος .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες