Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

Συντονιστής: spyros

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5387
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#701

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μάιος 05, 2017 10:15 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 247

Άσκηση 247.pngΑπό τις κορυφές B,D , ορθογωνίου ABCD , φέρουμε BB' , DD' \perp AC .

α) Υπολογίστε το εμβαδόν του τετραπλεύρου BB'DD' .

β) Για ποια τιμή του λόγου \dfrac{b}{a} , (b<a) , είναι \dfrac{(BB'DD')}{(ABCD)}=\dfrac{3}{5} ;

γ) Βρείτε ένα ορθογώνιο , όπου τα a,b , (ABCD) ,  (BB'DD') , είναι όλα ακέραιοι .
a) Ας είναι E = (ABCD) = ab\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T = (BB'C). Θα ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  {b^2} = x\sqrt {{a^2} + {b^2}}  \hfill \\ 
  (BB'DD') = E - 4T \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {b^4} = {x^2}({a^2} + {b^2}) \hfill \\ 
  (BB'DD') = E - 4T \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{{x^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\,\,(1) \hfill \\ 
  (BB'DD') = E - 4T\,\,(2) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Αλλά από την ομοιότητα των \vartriangle ABC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle B'BC έχω:

\dfrac{T}{{(ABC)}} = \dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}} \Rightarrow 4T = 2E\dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}}\,\,(3). Έτσι η (2) λόγω των (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(3) δίδει :

\boxed{(BB'DD') = E\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}}.
Συλογή ορθογωνίων 247.png
Συλογή ορθογωνίων 247.png (22.59 KiB) Προβλήθηκε 527 φορές
b) Αν τώρα \dfrac{{(BB'DD')}}{E} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{3}{5} και αν θέσω {b^2} = u{a^2} θα έχω :

\boxed{u = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{1}{2}}.

c) Τέλος με a,b \in {\mathbb{N}^ * }\,\,\kappa \alpha \iota \,\,a > b θα είναι και (BB'DD') ακέραιος, αν η ποσότητα

\boxed{k = E\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}} είναι ακέραιος . αν θέσω a = by έχω \boxed{k = {b^2}\frac{{y(y + 1)(y - 1)}}{{{y^2} + 1}}} έτσι

π.χ.
1. με y = 2 έχω k = {b^2}\dfrac{6}{5} κι αν επιλέξω b = 5 θα είναι a = 10

2. με y = 3 έχω k = {b^2}\dfrac{{12}}{5} και πάλι με b = 5 θα έχω a = 15

3. με y = 4 έχω k = {b^2}\dfrac{{60}}{{17}} τώρα με b = 17 έχω a = 68 κ. λ. π.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9275
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#702

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Σεπ 20, 2017 1:32 pm

Άσκηση 248
Άσκηση 248.png
Άσκηση 248.png (13.83 KiB) Προβλήθηκε 298 φορές
Στο 12\times 10 ορθογώνιο ABCD , το M είναι το μέσο της BC . Σχεδιάζουμε

κύκλο (K) εφαπτόμενο των AB , DM στα σημεία S,P αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι το κέντρο K , κινείται σε ευθεία , της οποίας εντοπίστε τις τομές της

Q,T με τις AD,BC . β) Υπολογίστε τώρα τη διαφορά (SBTK)-(PMTK)


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6227
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#703

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Σεπ 20, 2017 6:03 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Σεπ 20, 2017 1:32 pm
Άσκηση 248

Άσκηση 248.pngΣτο 12\times 10 ορθογώνιο ABCD , το M είναι το μέσο της BC . Σχεδιάζουμε

κύκλο (K) εφαπτόμενο των AB , DM στα σημεία S,P αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι το κέντρο K , κινείται σε ευθεία , της οποίας εντοπίστε τις τομές της

Q,T με τις AD,BC . β) Υπολογίστε τώρα τη διαφορά (SBTK)-(PMTK)
Ορθογώνια 248.png
Ορθογώνια 248.png (18.11 KiB) Προβλήθηκε 290 φορές
α) Αν οι AB, DM τέμνονται στο H, το κέντρο του κύκλου κινείται προφανώς στη διχοτόμο της M\widehat HB και τα σημεία T, Q

προσδιορίζονται από τους λόγους, \displaystyle \frac{{QD}}{{QA}} = \frac{{TM}}{{TB}} = \frac{{13}}{{12}}

β) \displaystyle \frac{{(MTH)}}{{(BTH)}} = \frac{{13}}{{12}} \Leftrightarrow \boxed{(BTH) = \frac{{12}}{{13}}(MTH)} και \displaystyle (MTH) = \frac{{13}}{{25}}(MBH) = \frac{{13}}{{25}} \cdot 30 \Leftrightarrow \boxed{(MTH) = \frac{{78}}{5}}

Θέτω (HPK)=(HSK)=(E) και είναι \displaystyle (SBTK) - (PMTK) = \left( {(E) - (BTH)} \right) - \left( {(E) - (MTH)} \right) =

\displaystyle \frac{{(MTH)}}{{13}} \Leftrightarrow \boxed{(SBTK) - (PMTK) =\dfrac{6}{5}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9275
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#704

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιαν 08, 2018 2:02 pm

Άσκηση 249
ορθογώνιο.png
ορθογώνιο.png (7.78 KiB) Προβλήθηκε 98 φορές
Σε ορθογώνιο ABCD , διαστάσεων a\times b , παίρνουμε σημείο S της πλευράς AB , έτσι

ώστε AS=d . Οι AC,DS τέμνονται στο P και έστω T η προβολή του P στην AB .

Δείξτε ότι η θέση του T είναι ανεξάρτητη από το b , υπολογίζοντας το AT = x


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1958
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#705

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Δευ Ιαν 08, 2018 3:04 pm

ΑΣΚΗΣΗ 249.

Δεν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το AT, για σταθερά τα a = AB = CD και d = AS και μεταβλητό το b = BC = AD.

\bullet Πράγματι, ας είναι για παράδειγμα E,\ Z , σημεία επί των προεκτάσεων των ευθειών BC,\ AD , προς το μέρος των C,\ D , αντιστοίχως και έστω το σημείο Q\equiv AE\cap ZS.

Αρκεί να αποδειχθεί ότι τα σημεία T,\ P,\ Q , είναι συνευθειακά.

\bullet Αυτό όμως προκύπτει άμεσα, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, από τα προοπτικά τρίγωνα \vartriangle ACE,\ \vartriangle SDZ , λόγω AS\cap CD\cap EZ\equiv \infty , από AB\parallel CD\parallel EZ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Μία άλλη απόδειξη, ως άμεση εφαρμογή της θεωρίας Περί Διπλού λόγου, αφήνεται στον ( ενδιαφερόμενο για εξάσκηση ) αναγνώστη.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6227
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#706

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιαν 08, 2018 4:50 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιαν 08, 2018 2:02 pm
Άσκηση 249

ορθογώνιο.pngΣε ορθογώνιο ABCD , διαστάσεων a\times b , παίρνουμε σημείο S της πλευράς AB , έτσι

ώστε AS=d . Οι AC,DS τέμνονται στο P και έστω T η προβολή του P στην AB .

Δείξτε ότι η θέση του T είναι ανεξάρτητη από το b , υπολογίζοντας το AT = x
\displaystyle \frac{{ST}}{{TA}} = \frac{{SP}}{{PD}} = \frac{{SA}}{{DC}} \Leftrightarrow \frac{{d - x}}{x} = \frac{d}{a} \Leftrightarrow \boxed{x=\frac{ad}{a+d}}


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9275
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#707

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιαν 13, 2018 9:21 am

Άσκηση 250
250.png
250.png (15.08 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές
Ορθογωνίου τριγώνου AZE , η κορυφή Z κινείται στην πλευρά DC

ορθογωνίου ABCD , ενώ η E στην προέκταση της CB . Φέρουμε

το ύψος AS του τριγώνου . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου S .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5387
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Συλλογή ασκήσεων με ορθογώνια

#708

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 13, 2018 11:17 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιαν 13, 2018 9:21 am
Άσκηση 250
250.png Ορθογωνίου τριγώνου AZE , η κορυφή Z κινείται στην πλευρά DC

ορθογωνίου ABCD , ενώ η E στην προέκταση της CB . Φέρουμε

το ύψος AS του τριγώνου . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου S .
Τα τετράπλευρα ASZD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASBE είναι εγγράψιμα , αφού για το μεν πρώτο το άθροισμα των γωνιών του στα σημεία D,S είναι 180^\circ ,

Ενώ στο δεύτερο οι κορυφές S,B βλέπουν την απέναντι πλευρά υπο ίσες ( και μάλιστα ορθές) γωνίες.

Επειδή \boxed{\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}} ως συμπληρώματα της ίδιας γωνίας \widehat {BAZ} και λόγω των

εγγραψίμων πιο πάνω τετραπλεύρων είναι

Συλλογή ορθογωνίων_250.png
Συλλογή ορθογωνίων_250.png (23.28 KiB) Προβλήθηκε 34 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat \theta  = \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} \hfill \\ 
  \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \widehat \theta  + \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\theta _2}} + \widehat {{\omega _2}} = 90^\circ άρα τα σημεία: D,S,B είναι

συνευθειακά και ο γ. τ. που ζητάμε είναι η διαγώνιος DB .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης