Εμβαδόν τριγώνου

Tolaso J Kos · #1

Στο παρακάτω σχήμα είναι ${\rm AB}=4 \; {\rm cm}$ , ${\rm A \Gamma}=3\; {\rm cm}$ και $\sin \hat{{\rm A}}=\frac{5}{6}$ . Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ${\rm AB\Gamma}$ .

$\displaystyle{\begin{tikzpicture}[scale=0.7] \draw (0, 0) -- (4, 0) -- (-2.6, 1.5)--cycle; \draw [shift={(0,0)},color=black,fill=black,fill opacity=0.1] (0,0) -- (0:0.6) arc (0:150.02:0.6) -- cycle; \draw (0, 0) node[below]{\text{\gr Α}}; \draw (4, 0) node[below]{\text{\gr Β}}; \draw (-2.6, 1.5) node[above]{\text{\gr Γ}}; \end{tikzpicture}}$
Τη κοιτούσαμε με τα παιδιά εχθές. Τη βρήκαν ενδιαφέρουσα και σχετικά απλή.

kfd · #2

$sin(180^{^{0}}-A)=sinA=\frac{5}{6}=\frac{\upsilon _{\gamma }}{\beta }\Rightarrow \upsilon _{\gamma }=\frac{5\beta }{6}$ .
Άρα $(AB\Gamma )=\frac{\gamma \upsilon _{\gamma }}{2}=\frac{5\beta \gamma }{12}=5cm^{2}$ .

Tolaso J Kos · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 17, 2018 9:29 am
Στο παρακάτω σχήμα είναι ${\rm AB}=4 \; {\rm cm}$ , ${\rm A \Gamma}=3\; {\rm cm}$ και $\sin \hat{{\rm A}}=\frac{5}{6}$ . Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ${\rm AB\Gamma}$ .

$\displaystyle{\begin{tikzpicture}[scale=0.7] \draw (0, 0) -- (4, 0) -- (-2.6, 1.5)--cycle; \draw [shift={(0,0)},color=black,fill=black,fill opacity=0.1] (0,0) -- (0:0.6) arc (0:150.02:0.6) -- cycle; \draw (0, 0) node[below]{\text{\gr Α}}; \draw (4, 0) node[below]{\text{\gr Β}}; \draw (-2.6, 1.5) node[above]{\text{\gr Γ}}; \end{tikzpicture}}$
Τη κοιτούσαμε με τα παιδιά εχθές. Τη βρήκαν ενδιαφέρουσα και σχετικά απλή.

Πολύ ωραία... συμπληρώνω με τις λεπτομέρειες. Δουλεύω στο παρακάτω σχήμα:

$\displaystyle{\begin{tikzpicture}[scale=0.7] \draw (0, 0) -- (4, 0) -- (-2.6, 1.5)--cycle; \draw [shift={(0,0)},color=black,fill=black,fill opacity=0.1] (0,0) -- (0:0.6) arc (0:150.02:0.6) -- cycle; \draw (0, 0) node[below]{\text{\gr Α}}; \draw (4, 0) node[below]{\text{\gr Β}}; \draw (-2.6, 1.5) node[above]{\text{\gr Γ}}; \draw [dashed] (-2.6, 1.5)--(-2.6, 0); \draw [dashed] (0, 0) --(-2.6, 0); \draw (-2.6, 0) node[below]{\text{\gr Δ}}; \draw [shift={(0,0)},color=red,fill=red,fill opacity=0.1] (0,0) -- (150.02:0.6) arc (150.02:180:0.6) -- cycle; \end{tikzpicture}}$ Επειδή οι γωνίες $\widehat{\Delta {\rm A} \Gamma}$ και $\widehat{\Gamma {\rm A B}}$ είναι παραπληρωματικές , έχουν το ίδιο το ημίτονο. Τότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} \sin \widehat{\Delta {\rm A} \Gamma} = \frac{5}{6} &\Leftrightarrow \frac{\Gamma \Delta}{\Gamma {\rm A}} = \frac{5}{6} \\ &\Leftrightarrow \frac{\Gamma \Delta}{3} = \frac{5}{6} \\ &\Leftrightarrow \Gamma\Delta = \frac{15}{6} \end{aligned}}$ Οπότε το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με:
$\displaystyle{\left ( {\rm AB} \Gamma \right ) = \frac{1}{2}\cdot {\rm AB} \cdot \Gamma \Delta = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{15}{6} = 5 \, {\rm cm}^2}$
Σημείωση: Αυτό που ουσιαστικά αποδείχθηκε είναι η γνωστή πρόταση:
$\displaystyle{({\rm A \overset{\triangle}{{\rm B}} \Gamma}) =\frac{1}{2} \beta \gamma \sin \hat{\rm A}}$

Εμβαδόν τριγώνου

Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Re: Εμβαδόν τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση