Ίσα τμήματα από καθετότητες

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6088
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ίσα τμήματα από καθετότητες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 05, 2017 6:49 pm

Ίσα τμήματα από καθετότητες.png
Ίσα τμήματα από καθετότητες.png (9.47 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές
Οι γωνίες \widehat B, \widehat D τετραπλεύρου ABCD είναι ορθές και τα σημεία E, F βρίσκονται πάνω στη διαγώνιο BD,

έτσι ώστε οι AE, CF να είναι κάθετες στην BD. Να δείξετε ότι BE=DF.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5271
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσα τμήματα από καθετότητες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 05, 2017 8:20 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Δεκ 05, 2017 6:49 pm
Ίσα τμήματα από καθετότητες.png
Οι γωνίες \widehat B, \widehat D τετραπλεύρου ABCD είναι ορθές και τα σημεία E, F βρίσκονται πάνω στη διαγώνιο BD,

έτσι ώστε οι AE, CF να είναι κάθετες στην BD. Να δείξετε ότι BE=DF.
Ισα τμήματα_Bisbikis_4_12_17.png
Ισα τμήματα_Bisbikis_4_12_17.png (36.09 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές

Χωρίς λόγια, αλλά ίσως εκτός φακέλου .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5271
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ίσα τμήματα από καθετότητες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 05, 2017 9:06 pm

Ισα τμήματα_Bisbikis_4_12_17_G Gymnasio.png
Ισα τμήματα_Bisbikis_4_12_17_G Gymnasio.png (35.01 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές
Αν φέρω από το B παράλληλη στην AD και κόψει την FC στο H, θα είναι BH \bot DC άρα το H είναι το ορθόκεντρο του BDC.

Συνεπώς DH \bot BC \Rightarrow DH//AB και έτσι το τετράπλευρο ABHD είναι παραλληλόγραμμο , με αποτέλεσμα AB = DH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ABE} = \widehat {HDF}.

Από την προφανή ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων EAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FHD προκύπτει άμεσα το ζητούμενο .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9107
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ίσα τμήματα από καθετότητες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 05, 2017 9:22 pm

trig.png
trig.png (14.61 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές
\dfrac{EB}{EA}=\dfrac{CB}{CD}\Rightarrow EA=\dfrac{EB\cdot CD}{CB}

\dfrac{EB}{CB}=\dfrac{CF}{CD}\Rightarrow CF=\dfrac{EB\cdot CD}{CB}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6088
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσα τμήματα από καθετότητες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Δεκ 09, 2017 12:17 pm

Και με Πυθαγόρειο...
Ίσα τμήματα από καθετότητες.β.png
Ίσα τμήματα από καθετότητες.β.png (11.18 KiB) Προβλήθηκε 63 φορές
\displaystyle A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} - D{C^2} = A{D^2} - A{B^2} \Leftrightarrow

\displaystyle B{C^2} - C{F^2} - B{F^2} = A{D^2} - A{E^2} - B{E^2} \Leftrightarrow B{F^2} - D{F^2} = D{E^2} - B{E^2} \Leftrightarrow

\displaystyle BD(BF - DF) = BD(DE - BE) \Leftrightarrow BD - 2DF = BD - 2BE \Leftrightarrow \boxed{DF=BE}


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 677
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ίσα τμήματα από καθετότητες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Δεκ 11, 2017 12:46 am

Χαιρετώ! Ας κάνουμε χρήση της πρότασης : Ίσα τμήματα ευθείας έχουν ίσες προβολές σε άλλη ευθεία .
11-12-17 GV.PNG
11-12-17 GV.PNG (12.14 KiB) Προβλήθηκε 31 φορές
Στο σχήμα είναι BOH διάμετρος και AS\parallel FC\parallel DH (κάθετες στην BD) .

Τα ίσα -ΓΠΓ-τρίγωνα ASO,POC δίνουν OS=OP ενώ OB=OH ως ακτίνες , συνεπώς BS=PH.

Τα BE,FD είναι (ορθές) προβολές των BS=PH επί της BD επομένως BE=FD.

Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες