mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 05, 2017 6:49 pm**

: Ίσα τμήματα από καθετότητες.png (9.47 KiB) Προβλήθηκε 933 φορές

Οι γωνίες $\widehat B, \widehat D$ τετραπλεύρου ABCD

είναι ορθές και τα σημεία E, F

βρίσκονται πάνω στη διαγώνιο BD,

έτσι ώστε οι AE, CF

να είναι κάθετες στην BD.

Να δείξετε ότι BE=DF.

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 05, 2017 8:20 pm**

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 05, 2017 6:49 pm
Ίσα τμήματα από καθετότητες.png
Οι γωνίες $\widehat B, \widehat D$ τετραπλεύρου είναι ορθές και τα σημεία βρίσκονται πάνω στη διαγώνιο

έτσι ώστε οι να είναι κάθετες στην Να δείξετε ότι

: Ισα τμήματα_Bisbikis_4_12_17.png (36.09 KiB) Προβλήθηκε 917 φορές

Χωρίς λόγια, αλλά ίσως εκτός φακέλου .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 05, 2017 9:06 pm**

: Ισα τμήματα_Bisbikis_4_12_17_G Gymnasio.png (35.01 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

Αν φέρω από το

παράλληλη στην

και κόψει την

στο

, θα είναι $BH \bot DC$ άρα το

είναι το ορθόκεντρο του BDC

.

Συνεπώς $DH \bot BC \Rightarrow DH//AB$ και έτσι το τετράπλευρο ABHD

είναι παραλληλόγραμμο , με αποτέλεσμα $AB = DH\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ABE} = \widehat {HDF}$ .

Από την προφανή ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων $EAB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,FHD$ προκύπτει άμεσα το ζητούμενο .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Δεκ 05, 2017 9:22 pm**

: trig.png (14.61 KiB) Προβλήθηκε 904 φορές

$\dfrac{EB}{EA}=\dfrac{CB}{CD}\Rightarrow EA=\dfrac{EB\cdot CD}{CB}$

$\dfrac{EB}{CB}=\dfrac{CF}{CD}\Rightarrow CF=\dfrac{EB\cdot CD}{CB}$

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Δεκ 09, 2017 12:17 pm**

Και με Πυθαγόρειο...

: Ίσα τμήματα από καθετότητες.β.png (11.18 KiB) Προβλήθηκε 849 φορές

$\displaystyle A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} - D{C^2} = A{D^2} - A{B^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle B{C^2} - C{F^2} - B{F^2} = A{D^2} - A{E^2} - B{E^2} \Leftrightarrow B{F^2} - D{F^2} = D{E^2} - B{E^2} \Leftrightarrow$

$\displaystyle BD(BF - DF) = BD(DE - BE) \Leftrightarrow BD - 2DF = BD - 2BE \Leftrightarrow$ $\boxed{DF=BE}$