Τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 1

Tolaso J Kos · #1

Αν για τους αριθμούς $\alpha$ , $\beta$ ισχύει
$\displaystyle{\alpha \beta +1 = \alpha + \beta }$ δείξατε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς $\alpha$ , $\beta$ είναι ίσος με

.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 29, 2017 10:55 pm
Αν για τους αριθμούς $\alpha$ , $\beta$ ισχύει
$\displaystyle{\alpha \beta +1 = \alpha + \beta }$ δείξατε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς $\alpha$ , $\beta$ είναι ίσος με .

Ωραία ασκησούλα. Παροτρύνω τους μικρούς μας μαθητές να την κοιτάξουν.

Προσθέτω ακόμα ένα ερώτημα στο ίδιο μήκος κύματος:

Αν για τους αριθμούς $a, \, b, \, c$ ισχύει

$\displaystyle{abc+a+b+c = ab+bc+ca+ 1$

δείξατε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς $a, \, b, \, c$ είναι ίσος με

.

Charalambos14 · #3

Άρα έχουμε $\alpha \beta +1=\alpha +\beta \rightarrow \alpha \beta -\alpha -\beta +1=0\rightarrow \alpha \left ( \beta -1 \right )-\left ( \beta -1 \right )=0\rightarrow \left ( \beta -1 \right )\left ( \alpha -1 \right )=0$
Συνεπώς για να ισχύει η σχέση α=1 ή β=1

Tolaso J Kos · #4

Και αλλιώς ... που στηρίζεται ναι μεν στο σχολικό αλλά κατά πόσο είναι παιδαγωγικό ... δε ξέρω.

$\displaystyle{\begin{aligned} \alpha \beta + 1 = \alpha + \beta &\Rightarrow \alpha \beta + 1 - \left ( \alpha + \beta \right ) =0 \\ &\Rightarrow 1 - \left ( \alpha + \beta \right ) + \alpha \beta =0 \\ &\Rightarrow 1^2 - \left ( \alpha + \beta \right ) \cdot 1 + \alpha \beta =0 \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{\text{\gr τριώνυμο ως προς 1}}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! \Rightarrow } \left ( 1- \alpha \right ) \left ( 1 - \beta \right ) = 0 \end{aligned}}$ και το συμπέρασμα έπεται.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 29, 2017 11:43 pm
Ωραία ασκησούλα. Παροτρύνω τους μικρούς μας μαθητές να την κοιτάξουν.

Προσθέτω ακόμα ένα ερώτημα στο ίδιο μήκος κύματος:

Αν για τους αριθμούς $a, \, b, \, c$ ισχύει

$\displaystyle{abc+a+b+c = ab+bc+ca+ 1$

δείξατε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς $a, \, b, \, c$ είναι ίσος με .

Επαναφορά για τους μαθητές μας, ας πούμε για 24 ώρες.

Η άσκηση είναι απλή. Η κεντρική ιδέα υπάρχει ήδη στην λύση της αρχικής άσκησης.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 05, 2017 11:23 pm
Αν για τους αριθμούς $a, \, b, \, c$ ισχύει

$\displaystyle{abc+a+b+c = ab+bc+ca+ 1$

δείξατε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς $a, \, b, \, c$ είναι ίσος με .

Για να κλείνει.

Η υπόθεση ισοδυναμεί με την (a-1)(b-1)(c-1)=0

. Και λοιπά.

Τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 1

Τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 1

Re: Τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 1

Re: Τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 1

Re: Τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 1

Re: Τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 1

Re: Τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 1

Μέλη σε σύνδεση