Τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 1

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3022
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Νοέμ 29, 2017 10:55 pm

Αν για τους αριθμούς \alpha , \beta ισχύει
\displaystyle{\alpha \beta +1 = \alpha + \beta } δείξατε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς \alpha , \beta είναι ίσος με 1.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9665
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 29, 2017 11:43 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Νοέμ 29, 2017 10:55 pm
Αν για τους αριθμούς \alpha , \beta ισχύει
\displaystyle{\alpha \beta +1 = \alpha + \beta } δείξατε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς \alpha , \beta είναι ίσος με 1.

Ωραία ασκησούλα. Παροτρύνω τους μικρούς μας μαθητές να την κοιτάξουν.

Προσθέτω ακόμα ένα ερώτημα στο ίδιο μήκος κύματος:

Αν για τους αριθμούς a, \, b, \, c ισχύει

\displaystyle{abc+a+b+c = ab+bc+ca+ 1

δείξατε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς a, \, b, \, c είναι ίσος με 1.


Charalambos14
Δημοσιεύσεις: 1
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 03, 2017 6:43 pm

Re: Τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Charalambos14 » Κυρ Δεκ 03, 2017 7:03 pm

Άρα έχουμε \alpha \beta +1=\alpha +\beta \rightarrow \alpha \beta -\alpha -\beta +1=0\rightarrow \alpha \left ( \beta -1 \right )-\left ( \beta -1 \right )=0\rightarrow \left ( \beta -1 \right )\left ( \alpha -1 \right )=0
Συνεπώς για να ισχύει η σχέση α=1 ή β=1


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3022
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Δεκ 04, 2017 10:31 pm

Και αλλιώς ... που στηρίζεται ναι μεν στο σχολικό αλλά κατά πόσο είναι παιδαγωγικό ... δε ξέρω.

\displaystyle{\begin{aligned} 
\alpha \beta + 1 = \alpha + \beta &\Rightarrow \alpha \beta + 1 - \left ( \alpha + \beta \right ) =0  \\  
 &\Rightarrow 1 - \left ( \alpha + \beta \right ) + \alpha \beta =0  \\  
 &\Rightarrow 1^2 - \left ( \alpha + \beta \right ) \cdot 1 + \alpha \beta =0  \\  
 &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{\text{\gr τριώνυμο ως προς 1}}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!  \Rightarrow } \left ( 1- \alpha \right ) \left ( 1 - \beta \right ) = 0  
\end{aligned}} και το συμπέρασμα έπεται.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9665
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Δεκ 05, 2017 11:23 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Νοέμ 29, 2017 11:43 pm
Ωραία ασκησούλα. Παροτρύνω τους μικρούς μας μαθητές να την κοιτάξουν.

Προσθέτω ακόμα ένα ερώτημα στο ίδιο μήκος κύματος:

Αν για τους αριθμούς a, \, b, \, c ισχύει

\displaystyle{abc+a+b+c = ab+bc+ca+ 1

δείξατε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς a, \, b, \, c είναι ίσος με 1.
Επαναφορά για τους μαθητές μας, ας πούμε για 24 ώρες.

Η άσκηση είναι απλή. Η κεντρική ιδέα υπάρχει ήδη στην λύση της αρχικής άσκησης.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9665
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τουλάχιστον ένας από τους δύο είναι 1

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 07, 2017 8:34 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τρί Δεκ 05, 2017 11:23 pm
Αν για τους αριθμούς a, \, b, \, c ισχύει

\displaystyle{abc+a+b+c = ab+bc+ca+ 1

δείξατε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς a, \, b, \, c είναι ίσος με 1.
Για να κλείνει.

Η υπόθεση ισοδυναμεί με την (a-1)(b-1)(c-1)=0. Και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες