Με τι ισούται ;
Συντονιστής: Παύλος Μαραγκουδάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Με τι ισούται ;
Έστω ένας θετικός ακέραιος μικρότερος του 1111 . Αν ξέρουμε ότι αν διαιρεθεί με το 9 αφήνει υπόλοιπο 2 , αν διαιρεθεί με το 8 αφήνει υπόλοιπο 3 και αν διαιρεθεί με το 5 αφήνει υπόλοιπο 1 , να βρείτε όλες τις δυνατές του τιμές .
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 73
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 09, 2017 7:33 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
Re: Με τι ισούται ;
Άμεση εφαρμογή του Κινέζικο θεωρήματος υπολοίπου(Chinese remainder theorem) οπότε μετά από πράξεις έχουμε την λύση οπότε
με τον περιορισμό παίρνουμε τις λύσεις:
με τον περιορισμό παίρνουμε τις λύσεις:
Μπορεί να απογοητευθείς αν αποτύχεις, αλλά είσαι χαμένος αν δεν προσπαθήσεις.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Με τι ισούται ;
Κινέζικο στην Β Γυμνασίου;Panagiotis11 έγραψε: ↑Παρ Σεπ 22, 2017 11:42 pmΆμεση εφαρμογή του Κινέζικο θεωρήματος υπολοίπου(Chinese remainder theorem) οπότε μετά από πράξεις έχουμε την λύση οπότε
με τον περιορισμό παίρνουμε τις λύσεις:
Παναγιώτη γνωρίζεις την απόδειξη του;
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Με τι ισούται ;
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: ↑Παρ Σεπ 22, 2017 3:04 pmΈστω ένας θετικός ακέραιος μικρότερος του 1111 . Αν ξέρουμε ότι αν διαιρεθεί με το 9 αφήνει υπόλοιπο 2 , αν διαιρεθεί με το 8 αφήνει υπόλοιπο 3 και αν διαιρεθεί με το 5 αφήνει υπόλοιπο 1 , να βρείτε όλες τις δυνατές του τιμές .
Για χάρη των μαθητών ας δούμε μία λύση πιο κοντά στα παιδιά της Β' Γυμνασίου.
Οι αριθμοί μας είναι συγχρόνως της μορφής . Από την ισότητα έχουμε , οπότε και ο αριθμός μας έχει την μορφή . Άρα ή αλλιώς . Συνεπώς ο διαιρεί τον και άρα (από την μοναδικότητα της ανάλυσης σε πρώτους) ο διαρεί τον . Γράφουμε , οπότε ο αριθμός μας είναι της μορφής .
Βάζοντας παίρνουμε τις τιμές (όπως πριν).
Edit: Τώρα είδα το σχόλιο του Σταύρου. Συμφωνούμε.
-
- Δημοσιεύσεις: 659
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία
Re: Με τι ισούται ;
Ωραία! Υπάρχει κι άλλη λύση, η οποία βασίζεται στο θεώρημα που έγραψα στο IMC 2016!
Η θεωρία είναι όμως Β ' Λυκείου , οπότε στη Β ' Γυμνασίου δεν νομίζω ότι κολλάει . Θα το βάλω όμως όταν εξαντληθούν οι λύσεις !
Η λύση του κ . Μιχάλη ήταν πολύ καλή και την είχα κι αυτήν στο μυαλό μου .
Η θεωρία είναι όμως Β ' Λυκείου , οπότε στη Β ' Γυμνασίου δεν νομίζω ότι κολλάει . Θα το βάλω όμως όταν εξαντληθούν οι λύσεις !
Η λύση του κ . Μιχάλη ήταν πολύ καλή και την είχα κι αυτήν στο μυαλό μου .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες