Δύο προς τρία

KARKAR · #1

: Δύο προς τρία.png (4.98 KiB) Προβλήθηκε 1235 φορές

Πάνω στη μεσοκάθετο τμήματος

, εντοπίστε σημείο

, ώστε αν η κάθετη

από το

προς την ευθεία

, την τμήσει σε σημείο

, να είναι : $\dfrac{PQ}{PB}=\dfrac{3}{2}$

big-pitsirikos · #2

KARKAR έγραψε:
Δύο προς τρία.png
Πάνω στη μεσοκάθετο τμήματος , εντοπίστε σημείο , ώστε αν η κάθετη

από το προς την ευθεία , την τμήσει σε σημείο , να είναι : $\dfrac{PQ}{PB}=\dfrac{3}{2}$

Έστω

.

Από Π.Θ. , AP=4x

. Από το ορθογώνιο PAB

, $AB=2x\sqrt{5}, AM=x\sqrt{5}$ .
Με Π.Θ. στο QAM

, $QM=2x\sqrt{5}$ .

Τα τρίγωνα QSP, QMB

είναι όμοια διότι $\widehat{SQP}=\widehat{MQB}, \widehat{QPS}=\widehat{QMB}$ .

Άρα, $QS \cdot QM=QP \cdot QB \Leftrightarrow 2x\sqrt{5}QS=15x^2 \Leftrightarrow QS=\dfrac{3x\sqrt{5}}{2}$ , και εύκολα πλέον $SM=\dfrac{x\sqrt{5}}{2}=\dfrac{AB}{4}$ , άρα το

προσδιορίστηκε.

Υ.Γ. Μπορούμε να δούμε και λύσεις εκτός φακέλου με θ.Μενελάου ή θ.Διχοτόμων.

#3

KARKAR έγραψε:Δύο προς τρία.pngΠάνω στη μεσοκάθετο τμήματος , εντοπίστε σημείο , ώστε αν η κάθετη

από το προς την ευθεία , την τμήσει σε σημείο , να είναι : $\dfrac{PQ}{PB}=\dfrac{3}{2}$

Μία λύση εντός φακέλου.

: Δύο προς τρία.png (8.07 KiB) Προβλήθηκε 1194 φορές

Οι συμβολισμοί των τμημάτων φαίνονται στο σχήμα. Τα ορθογώνια τρίγωνα AMS, SPQ

είναι προφανώς ισογώνια, οπότε $\displaystyle{\omega = \varphi }$

$\displaystyle{\eta \mu \omega = \frac{x}{{AS}} = \frac{b}{{2a}},\eta \mu \varphi = \frac{{2a}}{{5b}}}$ και από $\displaystyle{\eta \mu \omega = \eta \mu \varphi \Rightarrow \frac{b}{{2a}} = \frac{{2a}}{{5b}} \Leftrightarrow 4{a^2} = 5{b^2}}$

Αλλά, $\displaystyle{\frac{{{x^2}}}{{A{S^2}}} = \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 4{a^2}}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow }$ $\boxed{x=a}$

#4

KARKAR έγραψε:Δύο προς τρία.pngΠάνω στη μεσοκάθετο τμήματος , εντοπίστε σημείο , ώστε αν η κάθετη

από το προς την ευθεία , την τμήσει σε σημείο , να είναι : $\dfrac{PQ}{PB}=\dfrac{3}{2}$

Καλημέρα.

Ας είναι

η προβολή του

πάνω στην

. Επειδή

το σημείο

είναι σταθερό .

Κατασκευή.

Γράφουμε ημικύκλιο κέντρου

και διαμέτρου

.

Στο σταθερό σημείο

για το οποίο 3MT = 2TB

υψώνουμε κάθετη επί την

που

τέμνει το ημικύκλιο στο

. Η

τέμνει τη μεσοκάθετο του

στο ζητούμενο σημείο

.

Απόδειξη.

: Δύο προς τρία.png (12.87 KiB) Προβλήθηκε 1152 φορές

Αν η

τμήση τη μεσοκάθετο του

στο

θα είναι :

1. $\widehat {APB} = 90^\circ$ γιατί βαίνει σε ημικύκλιο και επειδή QM//PT

, ως κάθετες στην

2. $\boxed{\frac{{QP}}{{PB}} = \frac{{MT}}{{TB}} = \frac{3}{2}}$

Αν και δεν είμαι σίγουρος , πιστεύω είμαι εντός φακέλου .

Παρατήρηση .

Μια και μίλησε πιο πάνω ο συμπαθέστατος «πιτσιρίκος» για εκτός φακέλου λύση ας

δούμε μια ( δύο λόγια) με δυναμικό αρχείο στο οποίο έχει ενσωματωθεί πληθώρα

εργαλείων .

Γράφουμε λοιπόν το ημικύκλιο διαμέτρου

και με βάσει τα A,B

τον Απολλώνιο

κύκλο του οποίου κάθε σημείο

έχει την ιδιότητα : $\dfrac{{GA}}{{GB}} = 2$ . Η τομή του

ημικυκλίου και του εν λόγω κύκλου είναι το σημείο

τα υπόλοιπα …

Φιλικά Νίκος

Ιστοσελίδα · #5

KARKAR έγραψε:Πάνω στη μεσοκάθετο τμήματος , εντοπίστε σημείο , ώστε αν η κάθετη

από το προς την ευθεία , την τμήσει σε σημείο , να είναι : $\dfrac{PQ}{PB}=\dfrac{3}{2}$

Καλησπέρα!

: Δύο-προς-τρία.png (18.37 KiB) Προβλήθηκε 1118 φορές

Από Π.Θ. στο $\triangleleft APQ:\,AP = 4b$ και από $\dfrac{x}{{2a}}\mathop = \limits^{\varepsilon \varphi \omega } \dfrac{{2b}}{{4b}} \Leftrightarrow x = a$

Δύο προς τρία

Δύο προς τρία

Re: Δύο προς τρία

Re: Δύο προς τρία

Re: Δύο προς τρία

Re: Δύο προς τρία

Μέλη σε σύνδεση