Εμβαδόν πενταγώνου

#1

Για το πεντάγωνο ABCDE

του παρακάτω σχήματος
α) να αποδείξετε ότι AB//CE

β) να υπολογίσετε το εμβαδόν του.

: pentagono.png (22.59 KiB) Προβλήθηκε 880 φορές

#2

Παύλος Μαραγκουδάκης έγραψε:Για το πεντάγωνο του παρακάτω σχήματος
α) να αποδείξετε ότι
β) να υπολογίσετε το εμβαδόν του.
Το συνημμένο pentagono.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Καλησπέρα.

: Εμβαδόν πενταγώνου..png (11.57 KiB) Προβλήθηκε 844 φορές

α) Το τρίγωνο ABE

είναι ισοσκελές και επειδή $\hat{EAB}=120^0$ θα είναι,

$\hat{AEB}=\hat{ABE}=30^0$ και $\hat{EBC}=90^0$ . Φέρνω $\displaystyle{EH \bot BA}$ , οπότε $\hat{EAH}=60^0$ .

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu {60^0} = \frac{{AH}}{{AE}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{AH}}{2} \Leftrightarrow AH = 1cm}$ , $\displaystyle{\eta \mu {60^0} = \frac{{EH}}{{AE}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{EH}}{2} \Leftrightarrow EH = \sqrt 3 cm}$

Από Πυθαγόρειο στο EHB

: $\displaystyle{E{B^2} = {3^2} + {(\sqrt 3 )^2} = 12 \Leftrightarrow EB = \sqrt {12} cm}$

Από Πυθαγόρειο στο EBC

: $\displaystyle{E{C^2} = {2^2} + {(\sqrt {12} )^2} = 16 \Leftrightarrow EC = 4cm}$

Άρα το DEC

είναι ισόπλευρο και $\displaystyle{\eta \mu (B\widehat EC) = \frac{{BC}}{{EC}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow B\widehat EC = {30^0} = E\widehat BA \Leftrightarrow }$ $\boxed{AB//EC}$

β) $\displaystyle{D{M^2} = {4^2} - {2^2} = 12 \Leftrightarrow DM = \sqrt {12} = \sqrt 4 \cdot \sqrt 3 \Leftrightarrow DM = 2\sqrt 3 cm}$

$\displaystyle{(ABCDE) = (DEC) + (ABCE) = \frac{{4 \cdot 2\sqrt 3 }}{2} + \frac{{2 + 4}}{2} \cdot \sqrt 3 \Leftrightarrow }$ $\boxed{(ABCDE) = 7\sqrt 3 c{m^2}}$

#3

: ΣΧΗΜΑ.png (17.04 KiB) Προβλήθηκε 827 φορές

Και λίγο διαφορετικά για το πρώτο ερώτημα (αν φυσικά έχει ειπωθεί στους μαθητές Β Γυμνασίου, ότι αν ένα τραπέζιο έχει ίσες δύο παρά την μια βάση

γωνίες, τότε είναι ισοσκελές. (Αυτό θα μπορούσε να αποτελέσει μια απλή άσκηση από την Α Γυμνασίου, όπου προεκτείνοντας τις μη παράλληλες πλευρές

του τραπεζίου, δημιουργούνται δύο ισοσκελή τρίγωνα, από όπου έπεται το ζητούμενο)

Έτσι για το πρόβλημά μας, φέρνουμε από το

μια ευθεία παράλληλη με την

, η οποία τέμνει την ημιευθεία

στο $\Theta$ . Τότε το τραπέζιο

$AB\Theta E$ είναι ισοσκελές, αφού έχει τις δύο παρά την βάση του γωνίες ίσες. Άρα $B\Theta = AE =2 cm$ και αφού είναι και BC=2 cm

, έπεται

ότι το σημείο $\Theta$ συμπίπτει με το

και άρα η

είναι η παράλληλη με την

(ΣΗΜ: Για να φανεί το σχήμα, κάνετε κλικ πάνω σε αυτό)

#4

Αλλιώς το πρώτο ερώτημα. Απομονώνω από το σχήμα το ABCE

.

: Εμβαδόν πενταγώνου.β.png (13.21 KiB) Προβλήθηκε 773 φορές

Προεκτείνω την

κατά τμήμα AZ=BA=2cm

και επειδή $\hat{EAZ}=60^0$ το τρίγωνο EAZ

είναι ισόπλευρο. Αλλά το AEB

είναι ισοσκελές με γωνίες προσκείμενες στη βάση 30^0

, οπότε

(είναι και οι δύο κάθετες στην

) και επειδή ZE=BC=2cm

, το

είναι παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έπεται.

#5

Αλλιώς για το (β)

Προεκτείνουμε τις πλευρές του τριγώνου

προς το

,

προς

, και

προς

και

.

Έτσι, δημιουργούμε τρίγωνο DZH

, όπου

είναι το σημείο τομής

και

, και

είναι το σημείο τομής

και

.

Αποδεικνύεται ότι DZ=DH=6

και $\angle Z=\angle H=60^{\circ}.$ (π.χ. όπως στην αμέσως προηγούμενη ανάρτηση του Γιώργου).

Άρα, το τρίγωνο DZH

είναι ισόπλευρο πλευράς 6, κι άρα εμβαδού $\dfrac{6^2\sqrt{3}}{4}$ , ενώ και τα τρίγωνα EAZ

και

είναι ισόπλευρα πλευράς 2, κι άρα εμβαδού $\dfrac{2^2\sqrt{3}}{4}.$

Συνεπώς, το ζητούμενο εμβαδό είναι

$\displaystyle{(DZH)-(EAZ)-(CHB)=\dfrac{6^2\sqrt{3}}{4}-2\dfrac{2^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{28\sqrt{3}}{4}=7\sqrt{3}.}$

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ιστοσελίδα · #6

Καλημέρα στους φίλους.

: Εμβαδόν-πενταγώνου.png (22.86 KiB) Προβλήθηκε 748 φορές

Προεκτείνω τις πλευρές EA,CB

και έστω

το σημείο τομής τους.

Το $\triangleleft ZAB$ είναι ισόπλευρο πλευράς

και το $\triangleleft ZEC$ ισοσκελές με περιεχόμενη γωνία ${60^ \circ }$ , άρα ισόπλευρο πλευράς

.

Έτσι, $AB\parallel CE$ μια που οι εντός, εκτός και επι τα αυτά γωνίες είναι ${60^ \circ }$ .

Εύκολα βλέπουμε πως και το $\triangleleft DEC$ είναι ισόπλευρο πλευράς

, οπότε το DCZE

είναι ρόμβος με εμβαδόν 2(ZEC)

.

Τελικά θα ισχύει $(DCBAE) = 2(ZEC) - (ZAB) = 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt 3 - \dfrac{1}{2} \cdot 2\sqrt 3 = 7\sqrt 3 \,c{m^2}$

Εμβαδόν πενταγώνου

Εμβαδόν πενταγώνου

Re: Εμβαδόν πενταγώνου

Re: Εμβαδόν πενταγώνου

Re: Εμβαδόν πενταγώνου

Re: Εμβαδόν πενταγώνου

Re: Εμβαδόν πενταγώνου

Μέλη σε σύνδεση