Ωραία γεωμετρία !

[Μπάμπης Στεργίου]

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Ένα πλοίο ξεκινάει από το λιμάνι Α και ταξιδεύει 5 μίλια νότια,στη συνέχεια 6 μίλια ανατολικά, ξανά 3 μίλια νότια και αγκυροβολεί στο λιμάνι Β. Πόσα μίλια απέχει το λιμάνι Α από το λιμάνι Β;

ΣΧΟΛΙΟ

Είναι άσκηση από διαγωνισμό στον Καναδά. Είναι φανερό ότι αυτή την άσκηση θα την κάνει στον πίνακα κάθε μαθηματικός από τη στιγμή που θα την προσπαθήσει λίγο μόνος του και στη συνέχεια δει όλες τις λυσεις .Εμένα με έχει ενθουσιάσει ! Και οι μαθητές (ακόμα στη Β΄Λυκείου ) το ίδιο !
Αλλά μια και το έφερε η κουβέντα να πω ότι μια μέρα την έδωσα σε ένα τμήμα της Β΄λυκείου στο σχολείο και στο σχετικό μάθημα(με μέσο επίπεδο και κάτω) με την παρατήρηση ότι όποιος τη λύσει θα πάρει στο Α΄τετράμηνο 18(τουλάχιστον) χωρίς καν να γράψει διαγώνισμα, αν δεν το επιθυμεί. Σε 20 λεπτά που είχαν στη διάθεσή τους μέχρι να χτυπήσει του κουδούνι, δεν την έλυσε κανένας. Όταν είδαν τη λύση , όλοι αναφώνησαν '' Αχ! Εύκολη ήταν αλλά που να το σκεφτούμε ! ''

Μπάμπης

[chris_gatos]

Ένα ανάλογο πρόβλημα έχει και ο G.POLYA στο ''πως να το λύσω''.Μόνο που εκεί το πλοίο είναι αρκούδα και ο
polya ρωτάει ''ποιό είναι το χρώμα της αρκούδας''.

[Demetres]

Κε Στεργίου, σε μαθητές Β' Λυκείου το δώσατε ή σε μαθητές Β' Γυμνασίου. Διότι για μαθητές Β' Λυκείου, θα περίμενα ότι σε 20 λεπτά όλο και κάποιος θα το έλυνε (έστω και) με τον "δύσκολο" τρόπο

Μου θύμισε πάντως και εμένα ένα πολύ ωραίο πρόβλημα.

Δυο τραίνα βρίσκονται σε απόσταση 20 χιλιόμετρα και κινούνται το ένα με το άλλο με ταχύτητα 10 χιλιόμετρα την ώρα. Μια μύγα ξεκινάει από το πρώτο τραίνο και κινείται μεταξύ των δύο με ταχύτητα 15 χιλιόμετρα την ώρα. (Όταν φθάσει στο δεύτερο τραίνο, επιστρέφει πίσω στο πρώτο κτλ.) Πόση απόσταση διάνυσε η μύγα μέχρι την στιγμή της σύγρουσης;

[Γιώργος Ρίζος]

Για το πρόβλημα της μύγας

Τα τρένα θα συγκρουστούν σε μία ώρα, εφόσον πλησιάζουν το ένα με το άλλο με αθροιστική ταχύτητα 20 Km/h.
Αφού η μύγα δεν σταματά να κινείται, πετούσε ακριβώς για μία ώρα, άρα διένυσε 15 Km.

Φιλικά
Γιώργος Ρίζος

[Μπάμπης Στεργίου]

Κε Στεργίου, σε μαθητές Β' Λυκείου το δώσατε ή σε μαθητές Β' Γυμνασίου. Διότι για μαθητές Β' Λυκείου, θα περίμενα ότι σε 20 λεπτά όλο και κάποιος θα το έλυνε (έστω και) με τον "δύσκολο" τρόπο

Μου θύμισε πάντως και εμένα ένα πολύ ωραίο πρόβλημα.

Δυο τραίνα βρίσκονται σε απόσταση 20 χιλιόμετρα και κινούνται το ένα με το άλλο με ταχύτητα 10 χιλιόμετρα την ώρα. Μια μύγα ξεκινάει από το πρώτο τραίνο και κινείται μεταξύ των δύο με ταχύτητα 15 χιλιόμετρα την ώρα. (Όταν φθάσει στο δεύτερο τραίνο, επιστρέφει πίσω στο πρώτο κτλ.) Πόση απόσταση διάνυσε η μύγα μέχρι την στιγμή της σύγρουσης;

Είμασταν στο Πυθαγόρειο θεώρημα, αλλά όλοι μπλέχτηκαν με τα δύο τρίγωνα και προσπαθούσαν να φτιάξουν εξισώσεις κλπ. Αλλά ούτε στις εξισώσεις είναι τόσο καλοί , οπότε ο χρόνος πέρασε !
Αν και Β΄Λυκείου, τα παιδιά αυτά δεν έχουν αφιερώσει ποτέ μισή ώρα να λύσουν μια άσκηση , έστω και χωρίς αποτέλεσμα. Επομένως και μια απλώς εξυπνούτσικη άσκηση τους φαίνεται βουνό.
Μάλλον πρέπει να σκεφτούμε σοβαρά και να βρούμε κάτι ουσιαστικό να προτείνουμε σε αυτή τη συζήτηση που λένε ότι θα κάνουν για την παιδεία . Το να σιωπάσουμε άλλη μια φορά μπροστά στο ...δέος των σοφών(??????) , δεν μου αρέσει ! Τα παιδιά πρέπει και μπορούν να μάθουν πιο καλά μαθηματικά .
Μπάμπης

[p_gianno]

Καλησπέρα
Δύο σκέψεις πάνω στην άσκηση επειδή είναι άσκηση που μπορείς να πείς πολλά κατά την διαδικασία λύσης της.
Για την β γυμνασίου

Αν θέλουμε να δώσουμε βοήθεια μπορούμε να ρωτήσουμε πόσο νότια και πόσο ανατολικά κινηθήκαμε συνολικά.
Μπορούμε να ρωτήσουμε πως μπορούμε να πάμε από το Κ στο Ν κινούμενοι μόνο νότια ή ανατολικά με τον περιορισμό ότι επιτρέπεται να αλλάξουμε μόνο μια φορά πορεία. Εδώ μπορεί να γίνει και αναφορά στο σύστημα συντεταγμένων.

Την άσκηση την έχω δώσει για το σπίτι .(Την είχε δώσει ο Μπάμπης και στο παλιό mathematica) . Γράφοντάς την στον πίνακα και λέγοντας τους ότι θέλει λίγο σκέψη παραπάνω ή έμπνευση κάποιος "πετάχτηκε" και κατάλαβα ότι ήξερε την λύση. Μάλλον δύσκολη για να την λύσουν χωρίς βοήθεια. Εχω την αίσθηση ότι πολύ λίγα παιδιά δίνουν μάχη για να λύσουν μια άσκηση. Τα περισσότερα αν δεν έχουν κάνει κάτι παρόμοιο δεν ασχολούνται

Την άσκηση μπορούμε να την εντάξουμε και στα διανύσματα ζητώντας να εκφράσουν το διανυσμα ΚΝ ως το άθροισμα των άλλων τριών ΚΛ,ΛΜ ,ΜΝ και μετά να τους ζητήσουμε να αναλύσουν το ΚΝ σε δύο συνιστώσες μία κατά την διεύθυνση του ΚΛ και μία κατά την διεύθυνση του ΛΜ. Μετά την ανάλυση είναι εύκολο να βρουν τό μέτρο του ΚΝ

Μπορούμε για να δείξουμε την ποικιλία των μαθηματικών να την λύσουμε και διαφορετικά (εξισώσεις - τριγωνομετρία).
Οι κατακορυφήν στο Ξ γωνίες των τριγώνων έχουν την ίδια εφαπτομένη επομένως 5/χ = 3/(6-χ) ..... και μετά με δύο πυθαγόρεια να φτάσουν στο ζητούμενο.
Η τελευταία λύση (ουσιαστικά ομοιότητα) μας δίνει το περιθώριο να δούμε την άσκηση και στη γ γυμνασίου

Πάντως το Πυθαγόρειο στο καινούργιο βιβλίο έχει την τιμητική του αφού το συναντάς συνέχεια.

Καλό βράδυ
Πάνος

Διορθώθηκαν οι διευθύνσεις ΚΛ και ΛΜ

[Demetres]

Είμασταν στο Πυθαγόρειο θεώρημα, αλλά όλοι μπλέχτηκαν με τα δύο τρίγωνα και προσπαθούσαν να φτιάξουν εξισώσεις κλπ. Αλλά ούτε στις εξισώσεις είναι τόσο καλοί , οπότε ο χρόνος πέρασε !
Αν και Β΄Λυκείου, τα παιδιά αυτά δεν έχουν αφιερώσει ποτέ μισή ώρα να λύσουν μια άσκηση , έστω και χωρίς αποτέλεσμα. Επομένως και μια απλώς εξυπνούτσικη άσκηση τους φαίνεται βουνό.
Μάλλον πρέπει να σκεφτούμε σοβαρά και να βρούμε κάτι ουσιαστικό να προτείνουμε σε αυτή τη συζήτηση που λένε ότι θα κάνουν για την παιδεία . Το να σιωπάσουμε άλλη μια φορά μπροστά στο ...δέος των σοφών(??????) , δεν μου αρέσει ! Τα παιδιά πρέπει και μπορούν να μάθουν πιο καλά μαθηματικά .
Μπάμπης

Για τα παιδιά της Β' Γυμνασίου το καταλαβαίνω. Ακόμα και αν τους πεις να χρησιμοποιήσουν το Πυθαγόρειο υπαρχει μια δυσκολία στο να δουν ότι δεν πρέπει να δουλέψουν με τα υπάρχοντα αλλά να φτιάξουν ένα καινούργιο. Για τα παιδιά της Β' Λυκείου όμως; Φυσικά δεν βρίσκομαι σε σχολείο για να γνωρίζω από πρώτο χέρι τα προβλήματα που όλοι σας αντιμετοπίζετε, αλλά να μην την λύσει κανένας; Να μην προσπαθήσει ούτε ένας να χρησιμοποιήσει ομοιότητα τριγώνων; Θέλω να πιστεύω ότι αρκετοί από τους συμμαθητές μου θα την έλυναν. (Φυσικα είμασταν μαθηματικά κατεύθηνσης.)

Θυμήθηκα ένα παρόμοιο πρόβλημα που υπάρχει στον πρόλογο του βιβλίου "How to Solve it: Modern Heuristics" των Michalewicz και Fogel.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ στο εσωτερικό του. Να δειχθεί ότι ΑΔ + ΔΒ < ΑΓ + ΓΒ.

Αυτην την άσκηση την δώσανε σε αρκετά άτομα συμπεριλαμβανομένων και προπτυχιακών/μεταπτυχιακών φοιτητών και καθηγητών πανεπστημίων (στα μαθηματικά/μηχανική/ηλεκτρονικούς υπολογιστές). Τα αποτελέσματα ήταν άκρως τραγικά

5% κατάφεραν να την λύσουν σε λιγότερο από μία ώρα, αρκετοί χρειάστηκαν αρκετές ώρες για να την λύσουν και υπήρξαν ορισμένοι που απέτυχαν να την λύσουν!

Τώρα για το τι πρέπει να γίνει για να διορθωθεί η κατάσταση ειλικρινά δεν γνωρίζω. Είμαι σίγουρος όμως πως οι περισσότεροι εδώ μέσα το έχετε σκεφτεί σοβαρά το θεμα και έχετε αρκετά να προτείνετε.

[vittasko]

...Θυμήθηκα ένα παρόμοιο πρόβλημα που υπάρχει στον πρόλογο του βιβλίου "How to Solve it: Modern Heuristics" των Michalewicz και Fogel.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ στο εσωτερικό του. Να δειχθεί ότι ΑΔ + ΔΒ < ΑΓ + ΓΒ.

Αυτην την άσκηση την δώσανε σε αρκετά άτομα συμπεριλαμβανομένων και προπτυχιακών/μεταπτυχιακών φοιτητών και καθηγητών πανεπστημίων (στα μαθηματικά/μηχανική/ηλεκτρονικούς υπολογιστές). Τα αποτελέσματα ήταν άκρως τραγικά.

5% κατάφεραν να την λύσουν σε λιγότερο από μία ώρα, αρκετοί χρειάστηκαν αρκετές ώρες για να την λύσουν και υπήρξαν ορισμένοι που απέτυχαν να την λύσουν!

Απίστευτο !! Δημήτρη, είναι δυνατό να έχει συμβεί κάτι τέτοιο;

Ακόμα και με προχωρημένη άνια, θα μπορούσε να λυθεί από οποιοδήποτε ερασιτέχνη, που έχει καταφέρει να λύσει κάποια γεωμετρικά προβλήματα.

Είναι σαν να λέμε ότι μπορεί να ξεχαστεί ( όσο και να ξεμακρύνει κανείς από αυτά ), το ότι σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα δύο πλευρών του, είναι μεγαλύτερο της τρίτης πλευράς. Απίστευτο !!

Κώστας Βήττας.

[chris_gatos]

Καλημέρα!
Ας προσθέσω κι εγώ τη γνώμη μου...Νομίζω πως υπάρχει γενική και πλήρης απαξίωση όλων των θεσμών.Μέσα
σ'αυτούς είναι φυσικά και το σχολείο.Όλα πλέον γίνονται εξαιρετικά ετοιματζίδικα,χωρίς το παραμικρό ίχνος συναισθήματος ή και αυταπάρνησης...Πως λοιπόν η μαθηματική παιδεία θα περάσει αλώβητη μέσα απο τις κοφτερές λεπίδες του συστήματος...Νομίζω πως δεν υπάρχει τρόπος.
Για την ιστορία να προσθέσω πως δίνοντας ένα τέτοιο πρόβλημα στα παιδιά,μάλλον τα μπερδεύουμε,αφού μέχρι τώρα μαθαίνουν πως η Γή είναι σφαιρική και ξαφνικά,τους την κάνουμε επίπεδη!
Ο polya το λύνει με τη σκέψη πως η Γή είναι σφαιρική,δηλαδή την (περίπου) πραγματικότητα.
Ίσως η άσκηση θα έπρεπε να το τονίζει αυτό...
Και πάλι καλημέρα!

[cretanman]

Είναι σαν να λέμε ότι μπορεί να ξεχαστεί ( όσο και να ξεμακρύνει κανείς από αυτά ), το ότι σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα δύο πλευρών του, είναι μεγαλύτερο της τρίτης πλευράς. Απίστευτο !!

Κύριε Βήττα (και αγαπητά μέλη),

Σε συνέχεια των "απίστευτων" που λέτε παραπάνω σας επισυνάπτω την άσκηση 4 από το καινούριο (διδάχθηκε το σχολικό έτος 2007-2008 πρώτη φορά) σχολικό βιβλίο της Α' Γυμνασίου στη σελίδα 162 μαζί με το αντίστοιχο παρόραμα που έστειλε το Π.Ι. περί τον Οκτώβρη του 2008 για το αντίστοιχο πρόβλημα!!
Περίμενα ότι φέτος τουλάχιστον θα είχαν διορθώσει το πρόβλημα στα παροράματα αλλά μόλις είδα την αλλαγή που έκαναν ΒΓΗΚΑ ΑΠΟ ΤΑ ΡΟΥΧΑ ΜΟΥ!! (Μου θύμισε το ανέκδοτο που κάποιος ονομαζόταν Κώστας Μαλ*κ*ς και ήθελε να αλλάξει το όνομά του! Πράγματι πήγε στο αστυνομικό τμήμα και από Κώστας Μαλ*κ*ς το έκανε Γιώργος Μαλ*κ*ς).

Με προσβάλει σαν μαθηματικό να διδάξω ένα τέτοιο πρόβλημα στα παιδιά!! Μου φαίνεται ότι θα το βγάλω φωτοτυπία να το μοιράζω στα διάφορα συνέδρια μαθηματικών (κλεμμένη ιδέα από κάποιο άλλο εξαίρετο συνάδελφο που έκανε το ίδιο με "διάφορες" απαντήσεις σχετικά με το λάθος θέμα των Πανελληνίων του 2003 )

EDIT: Τώρα μόλις είδα ότι στα Παροράματα έχουν επιτέλους αλλάξει το 619 m και το έχουν κάνει 319 m (έβαλα το καινούριο παρόραμα στο συνημμένο). Τον Οκτώβρη δεν είχαν κάνει αυτή την αλλαγή και απλά στα Παροράματα έλεγαν "Το εμπορικό τρίγωνο μιας πόλης περικλείεται από τις οδούς..." κτλ ΧΩΡΙΣ να έχουν κάνει την αλλαγή από 619 m σε 319.

Φιλικά,
Αλέξανδρος

[chris_gatos]

Νομίζω πως όσο ζείς,μαθαίνεις τελικά!Ωραίο..τρίγωνο!
Αλέξανδρε,η εμμονή με την οδό ιπποκράτους,είμαι σίγουρος πως έχει να κάνει με το οτι τα γραφεία της Ε.Μ.Ε
είναι εκεί.
Τώρα νομίζω πως ήρθε η ώρα να παραθέσω κι εγώ ένα πρόβλημα (όνομα και πράγμα),που αναφέρει ο Γ.Ρίζος
στο βιβλίο του ''Οι περιπέτειές του προβλήματος στα σχολικά μαθηματικά''.Όσοι δεν το γνωρίζετε καλό θα είναι να το διαβάσετε...
''Ένας εφημεριδοπώλης διαθέτει μηχανισμό,με τον οποίο ρίχνει τις εφημερίδες στις πόρτες των σπιτιών των πελατών του.
(κανονάκι δηλαδή!).Ο μηχανισμός είναι τέτοιος ώστε αν μια εφημερίδα εκτοξευτεί απο το σημείο Μ(χ,ψ) τότε το σημείο Μ'(χ',ψ') όπου θα πέσει θα είναι εικόνα του Μ μέσω ενός γραμμικού μετασχηματισμού Τα που έχει πίνακα Α=......
Ι)δείξτε ότι ο πίνακας είναι κανονικός
ΙΙ)Σε ποιό σημείο θα πέσει η εφημερίδα,αν την εκτοξεύσουμε απο το σημείο Β(-1,2);
ΙΙΙ)Απο ποιό σημείο να εκτοξεύσει ο εφημεριδοπώλης την εφημερίδα(εδω αναπτύσσεται προβληματισμός!),ώστε
να πέσει σε ένα σπίτι που η πόρτα του είναι στο σημείο Π(1,2) (Πάνω απ'όλα η σωστή δουλειά!).
ΙV)Εάν ο εφημεριδοπώλης ρίχνει τις εφημερίδες κινούμενος στην ευθεία χ-2ψ=1(αλφάδι ο μπαγάσας!),βρείτε που πρέπει να ψάξουν οι πολίτες την εφημερίδα τους(εδώ αποδεικνύεται και το σφάλμα του διαβολικού μηχανισμού).

Είναι πασιφανές πως ο συντάκτης είχε υπηρετήσει στο...πυροβολικό και ήθελε να δώσει μια γεύση της θητείας του.

Η άσκηση είχε δημοσιευτεί σε εφημερίδα για προετοιμασία των μαθητών.
Σπαρταριστά είναι τα σχόλια του Γ.Ρίζου,που ακολουθούν.
Η δική μου ερώτηση είναι ρητορική...Χρειάζεται κι άλλη προσπάθεια για να επιδείξουμε το ''άχρηστο'' των μαθηματικών.Νομίζω πως όχι!
Οι πρώτοι που βγάζουμε τα μάτια μας είμαστε εμείς!
Υ.Γ Τα σχόλια μέσα στις παρενθέσεις είναι δικά μου.Συγνώμη,αλλά το θεωρώ ξεκαρδιστικό

[Demetres]

...Χρειάζεται κι άλλη προσπάθεια για να επιδείξουμε το ''άχρηστο'' των μαθηματικών.Νομίζω πως όχι!
Οι πρώτοι που βγάζουμε τα μάτια μας είμαστε εμείς!
Υ.Γ Τα σχόλια μέσα στις παρενθέσεις είναι δικά μου.Συγνώμη,αλλά το θεωρώ ξεκαρδιστικό

Νομίζω πως το άρθρο εδώ είναι αρκετά ενδιαφέρον. Τουλάχιστον για προβληματισμό. (Υπάρχει και συνέχεια στην στήλη του Μαϊου του 2008.)

[p@g]

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ στο εσωτερικό του. Να δειχθεί ότι ΑΔ + ΔΒ < ΑΓ + ΓΒ.
νομιζω(αν θυμαμαι καλα) σε ενα βιβλιο γεωμετριας του τογκα ισχυει και οτι ΑΔ+ΔΒ+ΔΓ<ΑΒ+ΒΓ+ΑΓ!αυτο θα ηταν ενδιαφερον να αποδειχθει!

[Γιώργος Ρίζος]

Με κάθε επιφύλαξη για τον αν ο (η) φίλος(η) p@g ζητά τη λύση του θέματος, την δίνω παρακάτω, σημειώνοντας ότι είναι γνωστό θέμα που υπάρχει σε πολλά βιβλία Γεωμετρίας επιπέδου Α΄Λυκείου και φαντάζομαι ότι διδάσκεται σε κάθε τμήμα Α΄ Λυκείου.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ στο εσωτερικό του. Να δειχθεί ότι:
α) ΑΔ + ΔΒ < ΑΓ + ΓΒ.
β) ΑΔ + ΔΒ + ΔΓ < ΑΒ + ΒΓ + ΑΓ.

Trigono 01.png (2.97 KiB) Προβλήθηκε 6303 φορές

α) Προεκτείνουμε την ΑΔ ώστε να τέμνει τη ΒΓ στο Κ.
Από τριγωνική ανισότητα στο ΑΓΚ είναι: ΑΓ + ΓΚ > ΑΚ
Από τριγωνική ανισότητα στο ΔΚΒ είναι: ΔΚ + ΚΒ > ΔΒ
Προσθέτοντας τις δύο ανισότητες έχουμε:
ΑΓ + ΓΚ + ΔΚ + ΚΒ > ΑΔ + ΔΚ + ΔΒ άρα ΑΓ + ΒΓ > ΑΔ + ΒΔ.

β) Με αντίστοιχο τρόπο δείχνουμε ότι:

ΑΓ + ΒΓ > ΑΔ + ΒΔ
ΑΒ + ΒΓ > ΒΔ + ΓΔ
ΑΒ + ΑΓ > ΑΔ + ΓΔ
Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:
2(ΑΒ + ΑΓ + ΒΓ) > 2(ΑΔ + ΒΔ + ΓΔ) ή ΑΒ + ΑΓ + ΒΓ > ΑΔ + ΒΔ + ΓΔ

Ως πιο ενδιαφέρουσα προέκταση δίνω μια άλλη άσκηση στο φάκελο της Β΄ Λυκείου:
viewtopic.php?f=22&t=1161


Γιώργος Ρίζος

[p@g]

Με κάθε επιφύλαξη για τον αν ο (η) φίλος(η) p@g ζητά τη λύση του θέματος, την δίνω παρακάτω, σημειώνοντας ότι είναι γνωστό θέμα που υπάρχει σε πολλά βιβλία Γεωμετρίας επιπέδου Α΄Λυκείου και φαντάζομαι ότι διδάσκεται σε κάθε τμήμα Α΄ Λυκείου.

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ στο εσωτερικό του. Να δειχθεί ότι:
α) ΑΔ + ΔΒ < ΑΓ + ΓΒ.
β) ΑΔ + ΔΒ + ΔΓ < ΑΒ + ΒΓ + ΑΓ.

Trigono 01.png

α) Προεκτείνουμε την ΑΔ ώστε να τέμνει τη ΒΓ στο Κ.
Από τριγωνική ανισότητα στο ΑΓΚ είναι: ΑΓ + ΓΚ > ΑΚ
Από τριγωνική ανισότητα στο ΔΚΒ είναι: ΔΚ + ΚΒ > ΔΒ
Προσθέτοντας τις δύο ανισότητες έχουμε:
ΑΓ + ΓΚ + ΔΚ + ΚΒ > ΑΔ + ΔΚ + ΔΒ άρα ΑΓ + ΒΓ > ΑΔ + ΒΔ.

β) Με αντίστοιχο τρόπο δείχνουμε ότι:

ΑΓ + ΒΓ > ΑΔ + ΒΔ
ΑΒ + ΒΓ > ΒΔ + ΓΔ
ΑΒ + ΑΓ > ΑΔ + ΓΔ
Προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:
2(ΑΒ + ΑΓ + ΒΓ) > 2(ΑΔ + ΒΔ + ΓΔ) ή ΑΒ + ΑΓ + ΒΓ > ΑΔ + ΒΔ + ΓΔ

Ως πιο ενδιαφέρουσα προέκταση δίνω μια άλλη άσκηση στο φάκελο της Β΄ Λυκείου:
viewtopic.php?f=22&t=1161


Γιώργος Ρίζος

Πολύ καλή και γρήγορη λύση.Η άλλη λύση που έχω εγώ είναι πιο μεγάλη και πάει μακριά η βαλίτσα(φέρνουμε παράλληλη από το Δ προς τη ΑΒ...).

[Mihalis_Lambrou]

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ στο εσωτερικό του. Να δειχθεί ότι ΑΔ + ΔΒ < ΑΓ + ΓΒ.

Για την ιστορία, το θέμα το συζητά ο Αρχιμήδης στην αρχή του (αν θυμάμαι καλά) Περί Οχουμένων του.
Λέει, γενικότερα, ότι αν έχουμε δύο κυρτές γραμμές με τα ίδια άκρα και την μία μέσα στην άλλη, τότε η εσωτερική έχει μικρότερο μήκος.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

[Stavroulitsa]

Τώρα την είδα την άσκηση και έχω μια απορία: βρήκα ότι η μετατόπιση του πλοίου είναι 10 μίλια, είναι σωστό; (μεταοπίστηκε 8 μίλια νότια και 6 μίλια ανατολικα και σαν Πυθαγόρια Τριάδα ξέρουμε πως η μετατόπιση είναι 10 μίλια)

[qwerty]

Τώρα την είδα την άσκηση και έχω μια απορία: βρήκα ότι η μετατόπιση του πλοίου είναι 10 μίλια, είναι σωστό; (μεταοπίστηκε 8 μίλια νότια και 6 μίλια ανατολικα και σαν Πυθαγόρια Τριάδα ξέρουμε πως η μετατόπιση είναι 10 μίλια)

ναι σωστό είναι!

αλλά αν πάρουμε την εκφώνηση του προβλήματος κατα γράμμα τότε μάλλον δεν είναι σωστό διότι η γη δεν είναι επιπεδη (ουτε καν σφαιρική οπότε δεν νομίζω πως μπορει να λυθει το προβλημα με αυτα τα δεδομενα )

[theodora pap]

ειναι πολύ εύκολο κατά τη γνώμη μου...
το σχημα δεν μπορώ να το κάνω, αλλά από το πυθαγώριο (αν μετακινήσουμε τις 2 πλευρές)
βγαίνει το εξής:
ΑΒ είναι ισο με την ρίζα του 8 εισ τη δευτέρα και 6 εις τη δευτέρα. το αποτέλεσμα βγαίνει 10!!!!

(δεν ξέρω αν το έχει λύσει κάποιοσ άλλος πριν από εμένα, γιατί δεν πρόλαα να διαβάσω όλα τα σχόλια...)