Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

#101

ΑΣΚΗΣΗ 46: Ο Γιάννης και ο Κώστας έχουν από μια τσάντα που έχει μέσα κάμποσα μανταρίνια και πορτοκάλια. Όσα είναι τα πορτοκάλια του

Γιάννη, τόσα είναι τα μανταρίνια του Κώστα. Επίσης, αν ο Κώστας έδινε στον Γιάννη $\displaystyle{6}$ πορτοκάλια, τότε τα φρούτα του θα ήταν όσα και τα φρούτα του Γιάννη.

Πόσα περισσότερα πορτοκάλια έχει η τσάντα του Κώστα από την τσάντα του Γιάννη;

ΣΗΜ: Έγινε μια διόρθωση : Αντί "πόσα περισσότερα φρούτα έχει η τσάντα του Κώστα", γράφτηκε: "Πόσα περισσότερα πορτοκάλια έχει η τσάντα του Κώστα"

#102

ΑΣΚΗΣΗ 47:Μια βρύση γεμίζει ένα άδειο βυτίο σε

ώρες, ενώ μια δεύτερη βρύση σε έξι ώρες. Στην βάση του βυτίου,

υπάρχει και μία τρίτη βρύση, η οποία μπορεί να αδειάζει το βυτίο. Ανοίγουμε ταυτόχρονα και τις τρεις βρύσες μαζί και παρατηρούμε ότι το βυτίο

γέμισε σε

ώρες. Τότε κλείνουμε τις δύο πρώτες βρύσες και αφήνουμε μόνο την τρίτη να τρέχει. Να βρείτε σε πόσες ώρες θα αδειάσει το βυτίο.

#103

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 46: Ο Γιάννης και ο Κώστας έχουν από μια τσάντα που έχει μέσα κάμποσα μανταρίνια και πορτοκάλια. Όσα είναι τα πορτοκάλια του

Γιάννη, τόσα είναι τα μανταρίνια του Κώστα. Επίσης, αν ο Κώστας έδινε στον Γιάννη $\displaystyle{6}$ πορτοκάλια, τότε τα φρούτα του θα ήταν όσα και τα φρούτα του Γιάννη.

Πόσα περισσότερα πορτοκάλια έχει η τσάντα του Κώστα από την τσάντα του Γιάννη;

ΣΗΜ: Έγινε μια διόρθωση : Αντί "πόσα περισσότερα φρούτα έχει η τσάντα του Κώστα", γράφτηκε: "Πόσα περισσότερα πορτοκάλια έχει η τσάντα του Κώστα"

Εύκολη είναι, αλλά ας μην μείνει αναπάντητη:

Είναι φανερό ότι αφού ο Γιάννης έχει τόσα πορτοκάλια όσα μανταρίνια έχει ο Κώστας, τότε δίνοντας ο Κώστας

πορτοκάλια στον Γιάννη, για να έχουν

από ίσα φρούτα, θα πρέπει ο Γιάννης να είχε

λιγότερα πορτοκάλια από τον Κώστα. Δηλαδή ο Κώστας έχει

πορτοκάλια περισσότερα από τον

Γιάννη.

Φυσικά, θα μπορούσε κάποιος να εργαστεί και ως εξής:

Έστω ότι στην αρχή ο Γιάννης έχει

πορτοκάλια και

μανταρίνια. Ο Κώστας, θα έχει

πορτοκάλια και

μανταρίνια.

Δίνοντας ο Κώστας

πορτοκάλια στον Γιάννη, τότε :

Ο Γιάννης θα έχει x+6

πορτοκάλια και

μανταρίνια, ενώ ο Κώστας θα έχει z-6

πορτοκάλια και

μανταρίνια.

Αφού τώρα έχουν από ίσα τα φρούτα, θα πρέπει: x+6+y = z-6+x

και άρα

, δηλαδή

, άρα ο Κώστας έχει

πορτοκάλια

περισσότερα από τον Γιάννη

Grosrouvre · #104

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 47:Μια βρύση γεμίζει ένα άδειο βυτίο σε ώρες, ενώ μια δεύτερη βρύση σε έξι ώρες. Στην βάση του βυτίου,

υπάρχει και μία τρίτη βρύση, η οποία μπορεί να αδειάζει το βυτίο. Ανοίγουμε ταυτόχρονα και τις τρεις βρύσες μαζί και παρατηρούμε ότι το βυτίο

γέμισε σε ώρες. Τότε κλείνουμε τις δύο πρώτες βρύσες και αφήνουμε μόνο την τρίτη να τρέχει. Να βρείτε σε πόσες ώρες θα αδειάσει το βυτίο.

Επειδή θεωρούμε την παροχή της κάθε βρύσης σταθερή, ο όγκος του νερού εντός του δοχείου και ο χρόνος λειτουργείας της κάθε βρύσης, θα είναι ανάλογα μεγέθη.

Έστω

ο όγκος του δοχείου και t_3

ο ζητούμενος χρόνος για να αδειάσει όλο το δοχείο λόγω μόνον της τρίτης βρύσης. Επομένως, κάνοντας χρήση της απλής μεθόδου των τριών (θεωρώντας και τις τρεις βρύσες ανοικτές), προκύπτει ότι:

Σε

, ο όγκος του νερού εντός του δοχείου θα είναι $\displaystyle{\frac{V}{5} + \frac{V}{6} - \frac{V}{t_3}$ .

Σε 30h

, θα είναι

.

Άρα, $\displaystyle{V = 30 \left( \frac{V}{5} + \frac{V}{6} - \frac{V}{t_3} \right) \Longrightarrow 1 = 6 + 5 - \frac{30}{t_3} \Longrightarrow t_3 = 3h$ .

#105

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 47:Μια βρύση γεμίζει ένα άδειο βυτίο σε ώρες, ενώ μια δεύτερη βρύση σε έξι ώρες. Στην βάση του βυτίου,

υπάρχει και μία τρίτη βρύση, η οποία μπορεί να αδειάζει το βυτίο. Ανοίγουμε ταυτόχρονα και τις τρεις βρύσες μαζί και παρατηρούμε ότι το βυτίο

γέμισε σε ώρες. Τότε κλείνουμε τις δύο πρώτες βρύσες και αφήνουμε μόνο την τρίτη να τρέχει. Να βρείτε σε πόσες ώρες θα αδειάσει το βυτίο.

Ας δούμε και μια ακόμα λύση:

Αφού η πρώτη βρύση γεμίζει το βυτίο σε

ώρες, άρα σε

ώρες θα μπορούσε να γεμίσει

τέτοια βυτία. Και η δεύτερη βρύση ομοίως,

θα μπορούσε να γεμίσει

τέτοια βυτία. Άρα σε

ώρες, οι δύο πρώτες βρύσες θα γέμιζαν

βυτία. Εφόσον όμως μέσα σε

ώρες έμεινε το βυτίο γεμάτο, συμπεραίνουμε ότι η τρίτη βρύση, μέσα σε

ώρες, θα άδειαζε

βυτία (

).

Συνεπώς αφού η τρίτη βρύση θα άδειαζε

βυτία σε

ώρες, άρα το

βυτίο θα το αδειάσει σε

ώρες.

#106

ΑΣΚΗΣΗ 48 Να γίνουν οι πράξεις:

$\displaystyle{A = 0,5^{30}.2^{32}+0,4^{40}.2,5^{41}-\frac{1}{2}}$ .

lowbaper92 · #107

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 48 Να γίνουν οι πράξεις:

$\displaystyle{A = 0,5^{30}.2^{32}+0,4^{40}.2,5^{41}-\frac{1}{2}}$ .

Για $\displaystyle{a=2\rightarrow \frac{1}{a}=0,5}$ και $\displaystyle{b=2,5\rightarrow \frac{1}{b}=0,4}$

$\displaystyle{A=\left(\frac{1}{a} \right)^{30}\cdot a^{32}+\left(\frac{1}{b} \right)^{40}\cdot b^{41}-0,5=}$

$\displaystyle{=a^{-30}\cdot a^{32}+b^{-40}\cdot b^{41}-0,5=}$

$\displaystyle{=a^{2}+b-0,5=2^{2}+2,5-0,5=6}$

Αλλιώς πιο αναλυτικά:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Grosrouvre · #108

ΑΣΚΗΣΗ 49

Ένα χωριό (κωμόπολη) έχει 2016

ενήλικες κατοίκους. Αυτοί, κάθονται σε κύκλο ώστε ο κάθε ένας να κοιτάζει την πλάτη του μπροστινού του. Όλες οι γυναίκες βρίσκονται πίσω από άντρα, οι μισοί άντρες βρίσκονται πίσω από άντρα και οι υπόλοιποι πίσω από γυναίκα.

Πόσοι είναι οι άνδρες και πόσες οι γυναίκες του χωριού;

lowbaper92 · #109

Grosrouvre έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 49

Ένα χωριό (κωμόπολη) έχει ενήλικες κατοίκους. Αυτοί, κάθονται σε κύκλο ώστε ο κάθε ένας να κοιτάζει την πλάτη του μπροστινού του. Όλες οι γυναίκες βρίσκονται πίσω από άντρα, οι μισοί άντρες βρίσκονται πίσω από άντρα και οι υπόλοιποι πίσω από γυναίκα.

Πόσοι είναι οι άνδρες και πόσες οι γυναίκες του χωριού;

Αν $\alpha$ οι άντρες και $\gamma$ οι γυναίκες, τότε:

Σε κάθε γυναίκα αντιστοιχεί (έχει στην πλάτη της) αναγκαστικά "ένας άντρας που βρίσκεται πίσω από γυναίκα", δηλαδή οι μισοί άντρες. (Δεν μπορεί να έχει στην πλάτη της άλλη γυναίκα, σύμφωνα με την εκφώνηση) Άρα $\gamma =\frac{\alpha }{2}$
Eπίσης $\alpha +\gamma =2016$

Απ' τις δύο σχέσεις προκύπτει $\alpha =1344$ και $\gamma =672$

#110

ΑΣΚΗΣΗ 50 Αν $\displaystyle{\frac{x}{y}=0,2}$ , να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

$\displaystyle{A=\frac{7x+4,8y}{2x-0,3y}}$

Εύα · #111

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 50 Αν $\displaystyle{\frac{x}{y}=0,2}$ , να βρεθεί η τιμή της παράστασης:

$\displaystyle{A=\frac{7x+4,8y}{2x-0,3y}}$

Αρχικά θα προσπαθήσουμε να έχουμε μόνο έναν άγνωστο: Σύμφωνα με την άσκηση
$\displaystyle{\frac{x}{y}=0,2}$ Άρα $\displaystyle { x=0,2y}$
Έτσι $\displaystyle{A=\frac{7.0,2y+4,8y}{2.0,2y+0,3y}=\frac{1,4y+4,8y}{0,4y+0,3y} A=\frac{62}{7}}$

#112

ΑΣΚΗΣΗ 51 Αν $\displaystyle{n}$ είναι αριθμός φυσικός, να αποδείξετε ότι ο αριθμός:

$\displaystyle{A= 32.10^{n} +7.10^{n+2}+78}$ είναι πολλαπλάσιο του

Grosrouvre · #113

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 51 Αν $\displaystyle{n}$ είναι αριθμός φυσικός, να αποδείξετε ότι ο αριθμός:

$\displaystyle{A= 32.10^{n} +7.10^{n+2}+78}$ είναι πολλαπλάσιο του

Παρατηρούμε ότι για κάθε $n \in \mathbb{N}$ , το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού

ισούται με $3 + 2 + 7 + 7 + 8 = 27 = \pi o \lambda. 9$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#114

ΑΣΚΗΣΗ 52: Να βρείτε πόσοι από τους αριθμούς $\displaystyle{1 , 2 , 3 , 4 , . . . , 2016}$ δεν διαιρούνται με το

ούτε και με το

#115

ΑΣΚΗΣΗ 53

Στο παρακάτω σχήμα είναι $\angle B=150^o$ και $\angle C = 90 ^o$ . Αν AB=BC=CD

, να υπολογιστεί η γωνία

.

: find angle.PNG (7.75 KiB) Προβλήθηκε 4083 φορές

Μπ

#116

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 53

Στο παρακάτω σχήμα είναι $\angle B=150^o$ και $\angle C = 90 ^o$ . Αν , να υπολογιστεί η γωνία .

Το συνημμένο find angle.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο

Μπ

Γεια σου Μπάμπη, γεια σε όλους.

: ΕΜΕ, Α, Β.png (9.13 KiB) Προβλήθηκε 4015 φορές

Κατασκευάζω το τετράγωνο DCBE

, οπότε θα είναι $\hat{ABE}=60^0$ και το τρίγωνο ABE

θα είναι ισόπλευρο. Άρα στο ισοσκελές τρίγωνο AED

θα είναι $\hat{AED}=150^0$ και $\hat{EAD}=\hat{EDA}=15^0$ ,

οπότε $\displaystyle{\varphi = {90^0} - {15^0} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\varphi = {75^0}}$

#117

ΑΣΚΗΣΗ 54

Δύο φίλοι ξεκινάνε να τρέχουν σε μια κυκλική πίστα μήκους 300m

αρχίζοντας από το ίδιο σημείο

με ταχύτητες 7 km/h

και

αλλά τρέχουν σε αντίθετη κατεύθυνση .

α ) Σε πόσα λεπτά θα συναντηθούν για πρώτη φορά ;

β) Υπάρχει περίπτωση να συναντηθούν ξανά στο σημείο

κι αν ναι, πότε θα γίνει αυτό για πρώτη φορά μετά την εκκίνηση ;

Μπ

Σταμ. Γλάρος · #118

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 52: Να βρείτε πόσοι από τους αριθμούς $\displaystyle{1 , 2 , 3 , 4 , . . . , 2016}$ δεν διαιρούνται με το ούτε και με το

Καλησπέρα.
Μια προσπάθεια αντιμετώπισης του θέματος με ... στυλ Δημοτικού!

Η διαίρεση του 2016

με το

έχει πηλίκο 403

και υπόλοιπο

.
Συνεπώς από το

μέχρι το

υπάρχουν

πολλαπλάσια του

.

Ομοίως η διαίρεση του 2016

με το

έχει πηλίκο 288

και υπόλοιπο

.
Άρα από το

μέχρι το

υπάρχουν

πολλαπλάσια του

.

Όμως κάποια από τα παραπάνω είναι κοινά πολλαπλάσια. Επομένως έχουν υπολογισθεί δύο φορές οι αριθμοί
35, 70, ...

. Άρα η διαίρεση του 2016

με το

έχει πηλίκο

και
υπόλοιπο

.

Τέλος έχουμε: 2016-(403+288)+57= 1382

αριθμούς που δεν διαιρούνται ούτε με το

ούτε
με το

.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

ΥΓ. Η άσκηση αντιμετωπίζεται εύκολα και πιο "αυστηρά" με προόδους.
Βλέπε άσκηση 5 σελ. 131 του βιβλίου της Α΄Λυκείου: Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων, έκδοση του 2013.

#119

Σταμ. Γλάρος έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 52: Να βρείτε πόσοι από τους αριθμούς $\displaystyle{1 , 2 , 3 , 4 , . . . , 2016}$ δεν διαιρούνται με το ούτε και με το
Καλησπέρα.
Μια προσπάθεια αντιμετώπισης του θέματος με ... στυλ Δημοτικού!

Η διαίρεση του με το έχει πηλίκο και υπόλοιπο .
Συνεπώς από το μέχρι το υπάρχουν πολλαπλάσια του .

Ομοίως η διαίρεση του με το έχει πηλίκο και υπόλοιπο .
Άρα από το μέχρι το υπάρχουν πολλαπλάσια του .

Όμως κάποια από τα παραπάνω είναι κοινά πολλαπλάσια. Επομένως έχουν υπολογισθεί δύο φορές οι αριθμοί
. Άρα η διαίρεση του με το έχει πηλίκο και
υπόλοιπο .

Τέλος έχουμε: αριθμούς που δεν διαιρούνται ούτε με το ούτε
με το.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

ΥΓ. Η άσκηση αντιμετωπίζεται εύκολα και πιο "αυστηρά" με προόδους.
Βλέπε άσκηση 5 σελ. 131 του βιβλίου της Α΄Λυκείου: Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων, έκδοση του 2013.

Καλησπέρα. Η λύση που μας έδωσες, είναι η ενδεδειγμένη για την Α Γυμνασίου .

Για να γίνει πιο κατανοητή από τους μαθητές, μπορούμε να πούμε:

Τα πολλαπλάσια του

που είναι ανάμεσα στους αριθμούς

και

είναι: $\displaystyle{1.5 , 2.5 , 3.5 , . . . , 403.5}$ (όπως φάνηκε από την διαίρεση που

έκανες) και συνεπώς το πλήθος τους είναι όσο και το πλήθος των αριθμών $\displaystyle{1,2, . . . , 403}$ , δηλαδή $\displaystyle{403}$ αριθμοί.

Όμοια και για το πλήθος των πολλαπλασίων του

καθώς και των πολλαπλασίων του

#120

ΑΣΚΗΣΗ 55: Δίνεται ο αριθμός: $\displaystyle{a= 32^{4n}+26^{m} - 25^{k}}$ , όπου $\displaystyle{m,n,k }$ είναι φυσικοί αριθμοί.

(α) Να αποδείξετε ότι αν ο αριθμός αυτός λήγει σε

, τότε $\displaystyle{k=0}$

(β) Να εξετάσετε αν ισχύει το αντίστροφο (Δηλαδή, αν $\displaystyle{k=0}$ τότε σίγουρα ο αριθμός αυτός θα λήγει σε

)

Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Re: Διαγωνισμοί της ΕΜΕ-Α,Β Γυμνασίου

Μέλη σε σύνδεση