Τουλάχιστον τρεις ( για φέτος )

KARKAR · #1

Δείξτε ότι για : $0<a<b<\dfrac{\pi}{2}$ , ισχύει : $\tan a<\dfrac{\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}<\tan b$ .

Αν βρήκατε μια λύση είστε σε καλό δρόμο , αλλά μην τη δημοσιεύσετε . Απαράβατος

όρος : Μόνο αν έχετε τρεις διαφορετικές λύσεις , μπορείτε να τις αναρτήσετε όλες ,

( εκτός και αν μπούμε στο 2018 , οπότε μπορείτε να αναρτήσετε ... και δύο μόνο

)

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 31, 2017 11:19 am
Δείξτε ότι για : $0<a<b<\dfrac{\pi}{2}$ , ισχύει : $\tan a<\dfrac{\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b}<\tan b$ .

Αν βρήκατε μια λύση είστε σε καλό δρόμο , αλλά μην τη δημοσιεύσετε . Απαράβατος

όρος : Μόνο αν έχετε τρεις διαφορετικές λύσεις , μπορείτε να τις αναρτήσετε όλες ,

1) Μεγαλώνοντας τον αριθμητή και μικραίνοντας τον παρονομαστή έχουμε $\displaystyle{ \dfrac{\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b} < \dfrac{2\sin b}{2\cos b} = \tan b}$ . Όμοια η αριστερή ανισότητα.

2) $\displaystyle{ \dfrac{\sin a+\sin b}{\cos a+\cos b} = \dfrac{2\sin \dfrac {a+b}{2} \cos \dfrac {a-b}{2}}{2\cos \dfrac {a+b}{2} \cos \dfrac {a-b}{2}} = \tan \dfrac {a+b}{2} }$ και λοιπά από την μονοτονία της εφαπτομένης.

3) Η $\displaystyle{ \dfrac{\sin x+\sin b}{\cos x+\cos b}}$ έχει παράγωγο

$\displaystyle{ \dfrac{\cos x (\cos x+\cos b) + \sin x (\sin x + \sin b)}{(\cos x+\cos b)^2} = \dfrac{1 +\cos (x-b)}{(\cos x+\cos b)^2} >0 }$ στο [a, b]

, άρα είναι γνήσια αύξουσα. Και λοιπά, εξετάζοντας τα x=a, x=b

. Όμοια η αριστερή.

Υπάρχουν πολλές ακόμη αποδείξεις.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 31, 2017 12:04 pm
Υπάρχουν πολλές ακόμη αποδείξεις.

Καλησπέρα σε όλους. Ευχές για να είναι δημιουργικό το 2018 με Υγεία !

Τρεις ακόμα προσεγγίσεις:

4)Αφού όλοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί, η προς απόδειξη σχέση γράφεται:

$\displaystyle \frac{{\eta \mu a}}{{\sigma \upsilon \nu a}} < \frac{{\eta \mu a + \eta \mu b}}{{\sigma \upsilon \nu a + \sigma \upsilon \nu b}} < \frac{{\eta \mu b}}{{\sigma \upsilon \nu b}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \eta \mu a \cdot \sigma \upsilon \nu a + \eta \mu a \cdot \sigma \upsilon \nu b < \eta \mu a \cdot \sigma \upsilon \nu a + \eta \mu b \cdot \sigma \upsilon \nu a\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \wedge \\ \eta \mu a \cdot \sigma \upsilon \nu b + \eta \mu b \cdot \sigma \upsilon \nu b < \eta \mu b \cdot \sigma \upsilon \nu a + \eta \mu b \cdot \sigma \upsilon \nu b \end{array} \right.$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \eta \mu a \cdot \sigma \upsilon \nu b < \eta \mu b \cdot \sigma \upsilon \nu a\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \wedge \\ \eta \mu a \cdot \sigma \upsilon \nu b < \eta \mu b \cdot \sigma \upsilon \nu a \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \varepsilon \varphi a < \varepsilon \varphi b\\ \;\;\;\;\;\; \wedge \\ \varepsilon \varphi a < \varepsilon \varphi b \end{array} \right.$ που ισχύει.

5) Σε οξυγώνιο τρίγωνο ABC

με $\displaystyle 0 < \widehat A < \widehat B < \frac{\pi }{2}$ είναι

$\displaystyle \eta \mu A = \frac{a}{{2R}},\;\;\eta \mu B = \frac{b}{{2R}}$ και $\displaystyle \sigma \upsilon \nu {\rm A} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}},\;\;\;\sigma \upsilon \nu {\rm B} = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$ , με a < b

.

Τότε, για $\displaystyle 0 < A < B < \frac{\pi }{2}$ η σχέση $\displaystyle \frac{{\eta \mu {\rm A}}}{{\sigma \upsilon \nu {\rm A}}} < \frac{{\eta \mu {\rm A} + \eta \mu {\rm B}}}{{\sigma \upsilon \nu {\rm A} + \sigma \upsilon \nu {\rm B}}} < \frac{{\eta \mu {\rm B}}}{{\sigma \upsilon \nu {\rm B}}}$ γράφεται:

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{\sigma \upsilon \nu B}}{{\eta \mu B}} < \frac{{\sigma \upsilon \nu {\rm A} + \sigma \upsilon \nu {\rm B}}}{{\eta \mu {\rm A} + \eta \mu {\rm B}}} < \frac{{\sigma \upsilon \nu {\rm A}}}{{\eta \mu {\rm A}}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}}{{\frac{b}{{2R}}}} < \frac{{\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} + \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}}}{{\frac{a}{{2R}} + \frac{b}{{2R}}}} < \frac{{\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}}}{{\frac{a}{{2R}}}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - {b^2} < \frac{{a{b^2} + a{c^2} - {a^3} + {a^2}b + b{c^2} - {b^3}}}{{a + b}} < {b^2} + {c^2} - {a^2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a^3} + a{c^2} - a{b^2} + {a^2}b + b{c^2} - {b^3} < a{b^2} + a{c^2} - {a^3} + {a^2}b + b{c^2} - {b^3}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \wedge \\ a{b^2} + a{c^2} - {a^3} + {a^2}b + b{c^2} - {b^3} < a{b^2} + a{c^2} - {a^3} + {b^3} + b{c^2} - {a^2}b \end{array} \right.$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a\left( {{a^2} - {b^2}} \right) < 0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \wedge \\ 0 < 2b\left( {{b^2} - {a^2}} \right) \end{array} \right.$ που ισχύει.

6) Εφαρμόζουμε σε κατάλληλο διάστημα το Θ.Μ.Τ. του Cauchy

Αν οι συναρτήσεις και είναι συνεχείς στο $\left[ {\alpha ,\beta } \right]$ , παραγωγίσιμες στο $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ και $g'\left( x \right) \ne 0$ για κάθε $x \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$ , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in \left( {\alpha ,\beta } \right)$ , τέτοιο ώστε $\frac{{f\left( \beta \right) - f\left( a \right)}}{{g\left( \beta \right) - g\left( a \right)}} = \frac{{f'\left( \xi \right)}}{{g'\left( \xi \right)}}$

Έστω $\displaystyle 0 < a < b < \;\frac{\pi }{2}$ και οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις

$\displaystyle \begin{array}{l} f:\;\left[ { - b,\; - a} \right] \to \left( {0,\;1} \right),\;\,f\left( x \right) = \sigma \upsilon \nu x,\;\;\;\\ \\ g:\;\left[ { - b,\; - a} \right] \to \left( { - 1,\;0} \right),\;g\left( x \right) = \eta \mu x \end{array}$

Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle \xi \in \left( { - b,\; - a} \right)$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle - \frac{{\eta \mu \xi }}{{\sigma \upsilon \nu \xi }} = \frac{{\sigma \upsilon \nu a - \sigma \upsilon \nu b}}{{ - \eta \mu a + \eta \mu b}} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \left( { - \xi } \right) = \frac{{\sigma \upsilon \nu a - \sigma \upsilon \nu b}}{{\eta \mu b - \eta \mu a}}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \left( { - \xi } \right) = \frac{{\eta \mu a + \eta \mu b}}{{\sigma \upsilon \nu a + \sigma \upsilon \nu b}} \cdot \frac{{\sigma \upsilon {\nu ^2}a - \sigma \upsilon {\nu ^2}b}}{{\eta {\mu ^2}b - \eta {\mu ^2}a}} = \frac{{\eta \mu a + \eta \mu b}}{{\sigma \upsilon \nu a + \sigma \upsilon \nu b}} \cdot \frac{{ - \eta {\mu ^2}a + \eta {\mu ^2}b}}{{\eta {\mu ^2}b - \eta {\mu ^2}a}} = \frac{{\eta \mu a + \eta \mu b}}{{\sigma \upsilon \nu a + \sigma \upsilon \nu b}}$

Στο $\displaystyle \left( { - b,\; - a} \right) \subset \left( { - \frac{\pi }{2},\;0} \right)$ η συνάρτηση $\displaystyle \varphi \left( x \right) = \varepsilon \varphi x$ είναι γνησίως αύξουσα, άρα

$\displaystyle \varepsilon \varphi \left( { - b} \right) < \varepsilon \varphi \xi < \varepsilon \varphi \left( { - a} \right) \Leftrightarrow - \varepsilon \varphi b < \varepsilon \varphi \xi < - \varepsilon \varphi a$

$\displaystyle \Leftrightarrow \varepsilon \varphi a < \varepsilon \varphi \left( { - \xi } \right) < \varepsilon \varphi b \Leftrightarrow \varepsilon \varphi a < \frac{{\eta \mu a + \eta \mu b}}{{\sigma \upsilon \nu a + \sigma \upsilon \nu b}} < \varepsilon \varphi b$ .

Τουλάχιστον τρεις ( για φέτος )

Τουλάχιστον τρεις ( για φέτος )

Re: Τουλάχιστον τρεις ( για φέτος )

Re: Τουλάχιστον τρεις ( για φέτος )

Μέλη σε σύνδεση