![\displaystyle{[1000\sin 1^o] + [1000\sin 2^o] + [1000\sin 3^o]+ ...+ [1000\sin 359^o]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/42fb850b970738c1c2ca5aa904e21dec.png "\displaystyle{[1000\sin 1^o] + [1000\sin 2^o] + [1000\sin 3^o]+ ...+ [1000\sin 359^o]}")
![\displaystyle{[1001\sin 1^o] + [1001\sin 2^o] + [1001\sin 3^o]+ ...+ [1001\sin 359^o]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/81a62e984ed6c4af0a6880f5d8977ec2.png "\displaystyle{[1001\sin 1^o] + [1001\sin 2^o] + [1001\sin 3^o]+ ...+ [1001\sin 359^o]}")
![\displaystyle{[1002\sin 1^o] + [1002\sin 2^o] + [1002\sin 3^o]+ ...+ [1002\sin 359^o]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9136a4e475f12e5e9aecf918109056c1.png "\displaystyle{[1002\sin 1^o] + [1002\sin 2^o] + [1002\sin 3^o]+ ...+ [1002\sin 359^o]}")
όπου
![[x]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/3e5314e9fd31509fdeb83faa0f729ba2.png "[x]")
το ακέραιο μέρος του 
.Σχόλιο: Ο λόγος που ζητώ το άθροισμα για τρεις διαφορετικούς συντελεστές θα φανεί από την λύση. Η άσκηση είναι αρκετά προσιτή αλλά χρειάζεται κάτι που δεν το μαθαίνει μεν ο μαθητής στο Σχολείο, όμως αυτό το κάτι πρέπει να είναι στην μαθηματική κουλτούρα του Καθηγητή. Γι' αυτό τοποθετώ την άσκηση στον φάκελο ΑΣΕΠ. Άλλωστε για άσκηση σε Μαθηματικές Ολυμπιάδες, είναι απλή.
.
Edit: Διόρθωσα τυπογραφικό
![\displaystyle{
\sum_{k=1}^{359} [n\sin(k^{\circ})] = \sum_{k=1}^{179} \left( [n\sin(k^{\circ})] + [-n\sin(k^{\circ})] \right)= -179 + a_n
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/47188ec116360248ba6c5aaec8e677df.png "\displaystyle{
\sum_{k=1}^{359} [n\sin(k^{\circ})] = \sum_{k=1}^{179} \left( [n\sin(k^{\circ})] + [-n\sin(k^{\circ})] \right)= -179 + a_n
}")
είναι το πλήθος των 
για τα οποίο ο ![[n\sin(k^{\circ})] + [-n\sin(k^{\circ})]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ec6d01d290512f0e0b28d0ed1e0bd911.png "[n\sin(k^{\circ})] + [-n\sin(k^{\circ})]")
είναι ακέραιος.
, αν ο 
είναι ρητός, τότε ανήκει στο σύνολο 
.
περιττό έχουμε 
(για 
) ενώ για 
(για 
).![\displaystyle{
\sum_{k=1}^{359} [n\sin(k^{\circ})] = \begin{cases} -178 & \text{\gr αν } n \text{ \gr περιττός} \\ -176 & \text{\gr αν } n \text{ \gr άρτιος} \end{cases}
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/093eb575c3e2d49faf67f8dfa2b3767e.png "\displaystyle{
\sum_{k=1}^{359} [n\sin(k^{\circ})] = \begin{cases} -178 & \text{\gr αν } n \text{ \gr περιττός} \\ -176 & \text{\gr αν } n \text{ \gr άρτιος} \end{cases}
}")
όπου 
σε μοίρες στο α' τεταρτημόριο, είναι άρρητος εκτός από τις περιπτώσεις που όλοι ξέρουμε, δηλαδή τις 
.