Ζητώ τη γωνία

#1

Να βρεθεί η οξεία γωνία

για την οποία ισχύει: $\displaystyle{tanx = \frac{{\cot {{20}^0}}}{{3 - 4\sin {{10}^0}}}}$

Λάμπρος Μπαλός · #2

george visvikis έγραψε:Να βρεθεί η οξεία γωνία για την οποία ισχύει: $\displaystyle{tanx = \frac{{\cot {{20}^0}}}{{3 - 4\sin {{10}^0}}}}$

$\frac{cot20}{3-4sin10} = \frac{1}{tan20(3-4sin10)} = \frac{2}{(3-4sin10)(1-tan^{2}20)} \cdot \frac{1}{tan40} =$

$= \frac{2}{(3-4sin10)(1-tan^{2}20)} \cdot tan50 =tanx$

Θα αποδείξω ότι

$(3-4sin10)(1-tan^{2}20)=2 \Leftrightarrow (3-4sin10)(cos^{2}20-sin^{2}20)=2cos^{2}20 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (3-4sin10)cos40=2cos^{2}20 \Leftrightarrow (3-4sin10)cos40=cos40+1 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow cos40=\frac{1}{2-4sin10} \Leftrightarrow 2cos40= \frac{1}{1-2sin10} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 4cos^{2}40-2+2=\frac{1}{(1-2sin10)^{2}} \Leftrightarrow 2cos80+2= \frac{1}{(1-2sin10)^{2}} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2(sin10+1)(1-2sin10)^{2}=1 \Leftrightarrow 4sin^{3}10-3sin10+1=\frac{1}{2} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -sin30+1=\frac{1}{2} \Leftrightarrow 0=0$

Επομένως $tanx=tan50 \Leftrightarrow x=50$ , αφού πρόκειται για οξεία γωνία.

#3

Θεωρώ ότι το πρόβλημα είναι αρκετά δύσκολο. Και εξηγούμαι.

Άσκηση 1η:

Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\tan x=\frac{\cot 20^o}{3-4\sin 10^o}.}$

Άσκηση 2η:

Αποδείξτε ότι

$\displaystyle{\tan 50^o=\frac{\cot 20^o}{3-4\sin 10^o}.}$

Αν και φαινομενικά είναι συγγενείς, θεωρώ ότι από άποψη δυσκολίας είναι η μέρα (Άσκηση 2η) με τη νύχτα (Άσκηση 1η).

Η λύση του Λάμπρου επιβεβαιώνει τα λεγόμενά μου. Στο σημείο

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: Θα αποδείξω ότι

$\displaystyle{(3-4sin10)(1-tan^{2}20)=2}$

βγάζει λαγό από το καπέλο. Τη λύση αυτή τη βρίσκω τελείως...unmotivated.

Πάντως, αν έχουμε εκ των προτέρων γνώση του αποτελέσματος, μπορούμε να πούμε και το εξής:

$\displaystyle{\frac{\cot 20^o}{3-4\sin 10^o}=\frac{\cos 20^o}{\sin 20^o (3-4\sin 10^o)}=\frac{2\cos ^2 20^o}{2\sin 20^o\cos 20^o (3-4\sin 10^o)}=}$

$\displaystyle{=\frac{1+\cos 40^o}{\sin 40^o(3-4\sin 10^o)}=\frac{1}{\cos 50^o}\frac{1+\cos 40^o}{3-4\sin 10^o}}$ .

Αποδεικνύω ότι

$\displaystyle{\frac{1+\cos 40^o}{3-4\sin 10^o}=\sin 50^o}$ (ο δικός μου λαγός)

δηλαδή ότι

$\displaystyle{1+\cos 40^o=\cos 40^o (3-4\sin 10^o)}$ .

Αυτή γράφεται

$\displaystyle{4\sin 10^o\cos 40^o=2\cos 40^o-1}$

και είναι φανερό ότι ισχύει, αφού γίνει το γινόμενο στα αριστερά άθροισμα.

Γιώργο, ποια είναι η απόδειξή σου;

#4

Λάμπρο και Θάνο Καλημέρα!

Αφού σας ευχαριστήσω για τις λύσεις, να πω ότι και η δική μου απόδειξη είναι εξαναγκαστική (βγάζει λαγό απ' το καπέλο). Μοιάζει με του Θάνου, αλλά διαφέρει σε μικρολεπτομέρειες.

$\displaystyle{3 - 4\sin {10^0} = 3 - 4\cos {80^0} = 7 - 8{\cos ^2}{40^0} = \frac{{\cos {{40}^0}\left( {6 - 8{{\cos }^2}{{40}^0} + 1} \right)}}{{\cos {{40}^0}}} = }$

$\displaystyle{\frac{{ - 2\left( {4{{\cos }^3}{{40}^0} - 3\cos {{40}^0}} \right) + \cos {{40}^0}}}{{\cos {{40}^0}}} = \frac{{ - 2\cos {{120}^0} + \cos {{40}^0}}}{{\cos {{40}^0}}} \Leftrightarrow }$

$\boxed{3 - 4\sin {10^0} = \frac{{1 + \cos {{40}^0}}}{{\cos {{40}^0}}}}$ (1)

$\displaystyle{\frac{{\cot {{20}^0}}}{{3 - 4\sin {{10}^0}}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{\cos {{20}^0} \cdot \cos {{40}^0}}}{{\sin {{20}^0}(1 + \cos {{40}^0})}} = \frac{{\cos {{20}^0} \cdot \cos {{40}^0}}}{{2\sin {{20}^0} \cdot {{\cos }^2}{{20}^0}}} = \frac{{\cos {{40}^0}}}{{\sin {{40}^0}}} = \cot {40^0} = \tan {50^0}}$ , κλπ...

ΥΓ. Αργότερα θα γράψω και την πηγή έμπνευσης.

#5

george visvikis έγραψε: ΥΓ. Αργότερα θα γράψω και την πηγή έμπνευσης.

Πηγή έμπνευσης είναι αυτή η άσκηση.
Έχει ήδη αποδειχθεί γεωμετρικά ότι $\hat{BED}=50^0$ (η λύση μου είναι ακριβώς ίδια με του Μιχάλη). Επειδή όμως το HECD

είναι

εγγράψιμο, η γωνία $\hat{ECD}$ χωρίζεται σε 20^0

και

. Τώρα με τριγωνομετρικό Ceva

και κάποιες αλχημείες,

δημιουργήθηκε η παρούσα άσκηση.

: 50 degrees.png (13.47 KiB) Προβλήθηκε 1447 φορές

$\displaystyle{\frac{{\sin {{10}^0}}}{{\sin {{30}^0}}} \cdot \frac{{\sin {{40}^0}}}{{\sin {{30}^0}}} \cdot \frac{{\sin {{50}^0}}}{{\sin {{20}^0}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{4\sin {{10}^0} \cdot 2\sin {{20}^0}\cos {{20}^0} \cdot \sin {{50}^0}}}{{\sin {{20}^0}}} = 1 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(8\sin {10^0}\cos {20^0})sin{50^0} = 1 \Leftrightarrow 2 - 4\sin {10^0} + 1 = \frac{1}{{\sin {{50}^0}}} + 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{3 - 4\sin {{10}^0}}} = \frac{{\sin {{50}^0}}}{{1 + \cos {{40}^0}}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\frac{1}{{3 - 4\sin {{10}^0}}} = \frac{{tan{{50}^0}\cos {{50}^0}}}{{2{{\cos }^2}{{20}^0}}} = \frac{{tan{{50}^0} \cdot 2\sin {{20}^0}\cos {{20}^0}}}{{2{{\cos }^2}{{20}^0}}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\tan {50^0} = \frac{{\cot {{20}^0}}}{{3 - 4\sin {{10}^0}}}}$

Ζητώ τη γωνία

Ζητώ τη γωνία

Re: Ζητώ τη γωνία

Re: Ζητώ τη γωνία

Re: Ζητώ τη γωνία

Re: Ζητώ τη γωνία

Μέλη σε σύνδεση