Ένα όριο!

#1

Το

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}x\left[\frac{1}{x}\right]}$

α) ισούται με $\displaystyle{0}$ , β) ισούται με $\displaystyle{1}$ , γ) δεν υπάρχει, δ) ισούται με $\displaystyle{+\infty}$

Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Με $\displaystyle{\left[...\right]}$ συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος.

Tolaso J Kos · #2

matha έγραψε:Το

$\displaystyle{\lim_{x\to 0}x\left[\frac{1}{x}\right]}$

α) ισούται με $\displaystyle{0}$ , β) ισούται με $\displaystyle{1}$ , γ) δεν υπάρχει, δ) ισούται με $\displaystyle{+\infty}$

Αιτιολογήστε την απάντησή σας.

Με $\displaystyle{\left[...\right]}$ συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος.

Γεια σου Θάνο. Μία προσπάθεια, ελπίζω σωστή.
Γνωρίζουμε ότι $0 \leq t - \left[ t \right ]<1$ για κάθε $t \in \mathbb{R}$ . Συνεπώς για $x \neq 0$ έχουμε:
$\displaystyle{\begin{aligned} 0\leq \frac{1}{x} - \left[ \frac{1}{x} \right ] <1 &\Rightarrow - \frac{1}{x} \leq - \left[ \frac{1}{x} \right] < 1- \frac{1}{x}\\ &\Rightarrow -1 \leq -x \left[ \frac{1}{x} \right ] <x - 1 \\ &\Rightarrow 1-x < x \left [ \frac{1}{x} \right ] \leq 1 \end{aligned}}$ Τώρα για x>0

παίρνοντας όριο στην παραπάνω βγάζουμε ότι το ζητούμενο όριο είναι

, ενώ για

αρνητικό έχουμε ότι $\displaystyle{1\leq x \left [ \frac{1}{x} \right ] <1-x}$ και παίρνοντας πάλι όριο βγάζουμε ότι κάνει

. Άρα , απαντάω (β). Ελπίζω να τα λέω σωστά , διότι

mick7 · #3

Όμορφο θέμα... υπάρχει και εδώ

http://math.stackexchange.com/questions ... -such-that

Ένα όριο!

Ένα όριο!

Re: Ένα όριο!

Re: Ένα όριο!

Μέλη σε σύνδεση