Πρόταση πάνω στις συναρτήσεις(2)

#1

Έστω $f: A\rightarrow B$ μια συνάρτηση με

μη κενό.
Να δείξετε ότι:
Η

είναι επί αν και μόνον αν υπάρχει συνάρτηση $g: B\rightarrow A$ με $f\circ g(x)=x,x \in B.$

BAGGP93 · #2

Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση $\displaystyle{g:B\to A}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{f\circ g(x)=x\,,\forall\,x\in B}$ .

Έστω $\displaystyle{x\in B}$ . Τότε, $\displaystyle{g(x)\in A}$ και $\displaystyle{f(g(x))=x}$ .

Άρα, η $\displaystyle{f}$ είναι επί του $\displaystyle{B}$ .

Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι επί του $\displaystyle{B}$ . Έστω $\displaystyle{y\in B}$ .

Υπάρχει τότε $\displaystyle{x\in A}$ ώστε $\displaystyle{y=f(x)}$ .

Αν λοιπόν για κάθε $\displaystyle{y\in B}$ επιλέξουμε ένα $\displaystyle{x=x(y)\in A}$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle{y=f(x)}$ ,

τότε ορίζεται συνάρτηση $\displaystyle{g:B\to A}$ με $\displaystyle{g(y)=x(y)}$ (όπως επιλέχθηκε πιο πάνω) και έχει την προφανή,

εξ' ορισμού, ιδιότητα $\displaystyle{f\circ g(y)=y\,,\forall\,y\in B}$ .

Πρόταση πάνω στις συναρτήσεις(2)

Πρόταση πάνω στις συναρτήσεις(2)

Re: Πρόταση πάνω στις συναρτήσεις(2)

Μέλη σε σύνδεση