Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού -Πρωτεύον όρισμα

#1

Δίνεται ο μιγαδικός $z=1+sin\theta-icos\theta, \theta \in [\frac{15\pi}{4},\frac{14\pi}{3}]$ .

Να γράψετε το μιγαδικό

σε τριγωνομετρική μορφή και να βρείτε το πρωτεύον ορισμά του.

(Άσκηση που οφείλεται στον Σ.Βασιλόπουλο)

#2

chris_gatos έγραψε:Δίνεται ο μιγαδικός $z=1+sin\theta-icos\theta, \theta \in [\frac{15\pi}{4},\frac{14\pi}{3}]$ .

Να γράψετε το μιγαδικό σε τριγωνομετρική μορφή και να βρείτε το πρωτεύον ορισμά του.

Ως γνωστόν για τον μιγαδικό $\displaystyle{a+ib}$ η τριγωνομετρική μορφή $\displaystyle{r(\cos \phi + i \sin \phi) }$ έχει $\displaystyle{r= \sqrt {a^2+b^2}}$ και $\displaystyle{\tan \phi = \frac {b}{a}}$ .

Έτσι

$\displaystyle{r= \sqrt {(1+\sin\theta)^2 + (- \cos \theta)^2} = \sqrt {1 + 2\sin\theta + \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta} = \sqrt {2 + 2\sin \theta}}$ .

Η παράσταση αυτή μπορεί να απλοποιηθεί περισσότερο (η κεντρική ιδέα ακολουθεί) αλλά και έτσι να το αφήσουμε είναι ανεκτό. Επίσης

$\displaystyle{ \tan \phi = \frac { - \cos \theta}{1+\sin \theta} = -\frac { \sin \left ( \frac {\pi }{2}- \theta \right ) }{1+ \cos \left ( \frac {\pi }{2}- \theta \right )}= -\frac {2 \sin \left ( \frac {\pi }{4}- \frac {\theta}{2} \right ) \cos \left ( \frac {\pi }{4}- \frac {\theta}{2} \right ) }{2 \cos ^2\left ( \frac {\pi }{4}- \frac {\theta}{2} \right )}}$

$\displaystyle{=-\frac { \sin \left ( \frac {\pi }{4}- \frac {\theta}{2} \right ) }{ \cos \left ( \frac {\pi }{4}- \frac {\theta}{2} \right )}= -\tan \left ( \frac {\pi }{4}- \frac {\theta}{2} \right ) = \tan \left ( \frac {\theta}{2} - \frac {\pi }{4} \right ) }$

Άρα $\displaystyle{\phi = \frac {\theta}{2} - \frac {\pi }{4} + k \pi }$ . Τώρα, επειδή το $\displaystyle{ \frac {\theta}{2} - \frac {\pi }{4}$ είναι στο διάστημα $\displaystyle{ \left [\frac{15\pi}{8} - \frac {\pi }{4} ,\frac{7\pi}{3} - \frac {\pi }{4}\right ]= \left [\frac{13\pi}{8} ,\frac{25\pi}{12}\right ]}$ , το πρωτεύον όρισμα προκύπτει παίρνοντας k=-2

, οπότε $\displaystyle{ \phi \in \left[-\frac{\pi}{8} ,\frac{\pi}{3} \right ]\subseteq \left ( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi}{2}\right ] }$ .

Αν θέλουμε απλοποίηση του

, ο παραπάνω τρόπος οδηγεί στο $\displaystyle{r = 2\cos\left ( \frac {\pi }{4}- \frac {\theta}{2} \right )}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού -Πρωτεύον όρισμα

Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού -Πρωτεύον όρισμα

Re: Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού -Πρωτεύον όρισμα

Μέλη σε σύνδεση