Γραφική παράσταση!

#1

Να παραστήσετε γραφικά τα σημεία $\displaystyle{(x,y),}$ για τα οποία ισχύει

$\displaystyle{x^2\sin y+y^2\sin x=x^3+y^3.}$

#2

Επαναφορά!

Eukleidis · #3

Αν γίνεται να δούμε μια λύση γι αυτή γιατί με έχει παιδέψει αρκετά και δε βλέπω κάποιο δρόμο

#4

Eukleidis έγραψε:Αν γίνεται να δούμε μια λύση γι αυτή γιατί με έχει παιδέψει αρκετά και δε βλέπω κάποιο δρόμο

Σου στέλνω με Π.Μ. την τελική απάντηση (για να μην την χαλάσω από τους υπόλοιπους που ενδεχομένως να θέλουν να την προσπαθήσουν: Εσύ με την σειρά σου, αν θέλεις διαβάζεις το Π.Μ.). Γνωρίζοντας την τελική απάντηση, είναι αρκετά ευκολότερο να βρεις απόδειξη. Θε περιμένω λίγο πριν γράψω λύση, αν και είμαι βέβαιος ότι δεν θα χρειαστεί.

#5

matha έγραψε:Να παραστήσετε γραφικά τα σημεία $\displaystyle{(x,y),}$ για τα οποία ισχύει

$\displaystyle{x^2\sin y+y^2\sin x=x^3+y^3.}$

Ξεχάστηκε.

Από τις $(-x)^3 = -x^3, \, \sin (-x) = -\sin x$ εύκολα βλέπουμε ότι τα σημεία της ευθείας y=-x

ικανοποιούν την δοθείσα εξίσωση. Θα δείξουμε ότι δεν υπάρχουν άλλα σημεία στο γράφημα.

1) Αν x=0

(όμοια αν

) τότε η αρχική δίνει y^3=0

που σημαίνει ότι το μόνο σημείο στους άξονες είναι το (0,0)

. Οπότε μπορούμε από 'δω και πέρα να υποθέσουμε ότι $x\ne 0\ne y$ .

2) Δεν υπάρχουν σημεία στο πρώτο τεταρτημόριο γιατί αν $x>0, \, y>0$ τότε $\displaystyle{x^3+y^3= x^2\sin y+y^2\sin x < x^2y+y^2x}$ , ισοδύναμα (x+y)(x-y)^2<0

, άτοπο.

3) Αν (a, b)

βρίσκεται στο γράφημα τότε (απλό) και το (-a, -b)

βρίσκεται στο γράφημα. Άρα, από το 1), δεν υπάρχουν σημεία στο τρίτο τεταρτημόριο. Επίσης αρκεί να βρούμε τα σημεία στο δεύτερο τεταρτημόριο γιατί αυτόματα θα προσδιορίσουμε και του τέταρτου.

4) Ας εξετάσουμε τι γίνεται στο δεύτερο τεταρτημόριο, όπου y>0>x

. Για ευκολία (αν και δεν είναι απαραίτητο) κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής x=-X

οπότε τώρα X,y>0

και η δοθείσα γίνεται $X^3-y^3= y^2\sin X- X^2\sin y \, (*)$ .
θα δείξουμε ότι τα σημεία του γραφήματος της (*)

είναι τα

και μόνον αυτά.

Αν το (a,b)

ανήκει στο γράφημα της (*)

τότε και το (b,a)

είναι στο ίδιο γράφημα οπότε μπορούμε χωρίς βλάβη να υποθέσουμε ότι ισχύει $X\ge y >0$ . Θα δείξουμε ότι η X>y

οδηγεί σε άτοπο, οπότε μένει η ζητούμενη X=y

.

Για

σταθερό, εξετάζουμε την συνάρτηση $f(t) = y^ 2 \sin t - t^2\sin y$ στο [y, X]

. Από Rolle υπάρχει $\xi \in [y, X]$ με

$y^ 2 \sin X - X^2\sin y= f(X) = f(X)-0= f(X)-f(y) = (X-y) f'(\xi)$
$= (X-y) (y^2\cos \xi - 2\xi \sin y)$

Η (*)

τώρα γράφεται

$0= (X-y)(X^2+Xy+y^2)-( y^2\sin X- X^2\sin y)=$

$=(X-y)(X^2+Xy+y^2 -y^2\cos \xi + 2\xi \sin y)$

$=(X-y)\left [ X(X-y) + y^2(1-\cos \xi) + 2Xy + 2\xi \sin y \right ]$

$\ge (X-y)\left [ \underbrace {X(X-y)}_ {> 0} + \underbrace {y^2(1-\cos \xi)}_{\ge 0} + \underbrace {2\xi (y + \sin y)}_{\ge 0} \right ] >0$ , άτοπο.

Και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης

Γραφική παράσταση!

Γραφική παράσταση!

Re: Γραφική παράσταση!

Re: Γραφική παράσταση!

Re: Γραφική παράσταση!

Re: Γραφική παράσταση!

Μέλη σε σύνδεση