Τρίγωνο από 3 σημεία

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9359
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιούλ 16, 2017 5:18 pm

Αρχίζω ένα θρεντ με κατασκευές τριγώνου από τρία δεδομένα σημεία του.
Παρακαλώ τις συνεισφορά σας. Επίσης, παρακαλώ να μην είναι ιδιαίτερα δύσκολες
ασκήσεις αλλά να ταιριάζουν, μέσες άκρες, στον παρόντα φάκελο.

Άσκηση 1. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο αν γνωρίζουμε το κέντρο Ο του περιγεγραμμένου κύκλου, το κέντρο I του εγγεγραμμένου κύκλου και το κέντρο I_A ενός παραγεγραμμένου κύκλου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5544
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από george visvikis » Κυρ Ιούλ 16, 2017 6:05 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Αρχίζω ένα θρεντ με κατασκευές τριγώνου από τρία δεδομένα σημεία του.
Παρακαλώ τις συνεισφορά σας. Επίσης, παρακαλώ να μην είναι ιδιαίτερα δύσκολες
ασκήσεις αλλά να ταιριάζουν, μέσες άκρες, στον παρόντα φάκελο.

Άσκηση 1. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο αν γνωρίζουμε το κέντρο Ο του περιγεγραμμένου κύκλου, το κέντρο I του εγγεγραμμένου κύκλου και το κέντρο I_A ενός παραγεγραμμένου κύκλου.


Με Ευκλείδεια.
Τρίγωνο από τρία σημεία.png
Τρίγωνο από τρία σημεία.png (16.86 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές

Κατασκευάζω το τρίγωνο OII_a. Επειδή είναι γνωστό ότι το μέσο M του II_a ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο, γράφω

τον κύκλο (O, OM=R) που τέμνει την προέκταση του IaI στην κορυφή A του τριγώνου. Από τον τύπο OI^2=R(R-2r),

βρίσκω \boxed{r = \frac{{{R^2} - O{I^2}}}{{2R}}} Στη συνέχεια γράφω τον κύκλο (I, r) και φέρνω από το A τις εφαπτόμενές του που τέμνουν τον

(O, OM) στις άλλες δύο κορυφές B, C του τριγώνου και ολοκληρώνεται η κατασκευή.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5544
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από george visvikis » Κυρ Ιούλ 16, 2017 6:39 pm

Άλλη μία...
Τρίγωνο από τρία σημεία.b.png
Τρίγωνο από τρία σημεία.b.png (18.96 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

Μέχρι τον προσδιορισμό του σημείου A όπως και πριν. Στη συνέχεια ο κύκλος (M, MI) τέμνει τον (O,
 R) στα σημεία B, C.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9359
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιούλ 16, 2017 7:19 pm

Λίγο αλλιώς:

Επειδή η γωνία IBI_A είναι ορθή (όμοια η ICI_A) σημαίνει ότι τα B,C είναι στον κύκλο διαμέτρου II_A. Τώρα, ως γνωστόν (το χρησιμοποίησε και ο Γιώργος) ο περιγεγραμμένος κύκλος τέμνει το II_A στο μέσον του M, το οποίο M είναι το μέσον του μικρού τόξου BC (υπόψη BM=MC καθότι είμαστε πάνω στην διχοτόμο της A). Έτσι ο κύκλος κέντρου O και ακτίνας OM τέμενει τον προηγούμενο κύκλο στα ζητούμενα B,C. Επίσης τέμνει την (διχοτόμο) II_A στο ζητούμενο σημείο A.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5544
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από george visvikis » Κυρ Ιούλ 16, 2017 7:43 pm

Άσκηση 2: Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC αν γνωρίζουμε την κορυφή του A, το ορθόκεντρο H και το βαρύκεντρο G.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 484
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Ιούλ 16, 2017 8:59 pm

george visvikis έγραψε:Άσκηση 2: Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC αν γνωρίζουμε την κορυφή του A, το ορθόκεντρο H και το βαρύκεντρο G.



Ξέρουμε πως το περίκεντρο O του τριγώνου ABC βρίσκεται στην ευθεία HG, με την ιδιότητα HG=2GO.

Επομένως μπορούμε να προσδιορίσουμε το O.

Ακόμη το μέσο M της BC βρίσκεται την προέκταση της AG κατά τμήμα AG=2GM.

Ξέρουμε πως η ευθεία BC περνάει από το M, αλλά ταυτόχρονα είναι κάθετη στην AH. Μπορούμε να κατασκευάσουμε όμως ευθεία που περνάει από καθορισμένο σημείο και είναι κάθετη σε συγκεκριμένη ευθεία.

Μένει λοιπόν να βρούμε τα B, C πάνω στην BC.

Όμως ο κύκλος με κέντρο O και ακτίνα OA περνάει από τα B, C, άρα τα B, C βρίσκονται στην τομή αυτού κύκλου με την ευθεία BC που προσδιορίσαμε παραπάνω.

edit: Έγινε διόρθωση σε τυπογραφικό λάθος.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Δευ Ιούλ 17, 2017 12:00 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Houston, we have a problem!
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9359
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιούλ 16, 2017 9:28 pm

Για λόγους πληρότητας βάζω 4 πολύ απλές ασκήσεις. Ας τις αφήσουμε 24 ώρες για τους μικρούς μας μαθητές.

Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο ABC σε κάθε μία από τις περιπτώσεις όπου δίνονται τα σημεία
α) B,C και H,
β) B,C και G,
γ) B,C και I.
Τέλος, τι συμβαίνει στην περίπτωση που δίνονται τα δ) B,C και O;


(τα α) και β) ουσιαστικά έχουν γίνει, αλλά ας ξαναγίνουν ανεξάρτητα).


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1377
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από rek2 » Δευ Ιούλ 17, 2017 4:09 pm

Κατασκευή χωρίς διερεύνηση;
τελευταία επεξεργασία από rek2 σε Τετ Ιούλ 19, 2017 3:32 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Ρεκούμης Κωνσταντίνος
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ
Δημοσιεύσεις: 449
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ » Δευ Ιούλ 17, 2017 4:25 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Για λόγους πληρότητας βάζω 4 πολύ απλές ασκήσεις. Ας τις αφήσουμε 24 ώρες για τους μικρούς μας μαθητές.

Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο ABC σε κάθε μία από τις περιπτώσεις όπου δίνονται τα σημεία
α) B,C και H,
β) B,C και G,
γ) B,C και I.
Τέλος, τι συμβαίνει στην περίπτωση που δίνονται τα δ) B,C και O;


(τα α) και β) ουσιαστικά έχουν γίνει, αλλά ας ξαναγίνουν ανεξάρτητα).


α) Φέρνω το συμμετρικό H' του ορθοκεντρου, εως προς την BC το οποίο είναι γνωστό ότι ανήκει στον περίκυκλο του τριγώνου. Η τρίτη κορυφή λοιπόν ανήκει στην τομή του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγωνου BCH' και της ευθείας HH'


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9359
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #10 από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιούλ 17, 2017 4:43 pm

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο ABC σε κάθε μία από τις περιπτώσεις όπου δίνονται τα σημεία
α) B,C και H,
β) B,C και G,
γ) B,C και I.
Τέλος, τι συμβαίνει στην περίπτωση που δίνονται τα δ) B,C και O;



α) Φέρνω το συμμετρικό H' του ορθοκεντρου, εως προς την BC το οποίο είναι γνωστό ότι ανήκει στον περίκυκλο του τριγώνου. Η τρίτη κορυφή λοιπόν ανήκει στην τομή του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγωνου BCH' και της ευθείας HH'


Αλλιώς το α).

Φέρνω κάθετη από το H στην BC. Απ' αυτής βρίσκεται το A αφού AH ύψος. Επίση φέρνω από το C κάθετη στην BH. To A θα βρίσκεται και σε αυτήν (αφού BH ύψος επί την AC). Το A είναι στην τομή των δύο αυτών καθέτων. Τελειώσαμε.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 484
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #11 από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Ιούλ 17, 2017 6:41 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Για λόγους πληρότητας βάζω 4 πολύ απλές ασκήσεις. Ας τις αφήσουμε 24 ώρες για τους μικρούς μας μαθητές.

Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο ABC σε κάθε μία από τις περιπτώσεις όπου δίνονται τα σημεία

β) B,C και G,
γ) B,C και I.
Τέλος, τι συμβαίνει στην περίπτωση που δίνονται τα δ) B,C και O;




β)

Μπορούμε να προσδιορίσουμε το μέσο M του BC.

Χρησιμοποιώντας τώρα τον τύπο AG=2GM, μπορούμε να προσδιορίσουμε το A.

γ)

Φέρνουμε από το I κάθετη στην BC και έστω D το σημείο τομής τους. Έχουμε πως το D είναι το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC με την BC.

Αφού φέρουμε τον εγγεγραμμένο κύκλο (τον κύκλο δηλαδή με κέντρο I και ακτίνα ID) φέρνουμε από τα B, C εφαπτόμενες σε αυτό τον κύκλο (προφανώς η μια από τις δύο εφαπτόμενες για κάθε σημείο είναι η BC που την έχουμε ήδη άρα δεν την λαμβάνουμε υπόψιν. Να σημειωθεί πως από σημείο εκτός κύκλου είναι δυνατή η κατασκευή των εφαπτομένων του σημείου στο κύκλο με κανόνα και διαβήτη.)

Οι άλλες δύο σίγουρα τέμνονται στο A, καθώς έχουμε πως ο εγγεγραμμένος κύκλος του ABC εφάπτεται στις AB και AC.

δ)

Φέρνουμε τον κύκλο με κέντρο το O και ακτίνα OB=OC (τον περιγεγραμμένο κύκλο του ABC). Το A σίγουρα θα βρίσκεται σε αυτόν τον κύκλο. Όμως θα μπορούσε να είναι ένα οποιοδήποτε από τα σημεία του περιγεγραμμένου κύκλου, καθώς δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός. Επομένως μπορούμε να επιλέξουμε ένα οποιοδήποτε σημείο του κύκλου για το A.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5544
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #12 από george visvikis » Δευ Ιούλ 17, 2017 6:49 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:[b]Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο ABC σε κάθε μία από τις περιπτώσεις όπου δίνονται τα σημεία
γ) B,C και I.


Αλλιώς.
Προς το ημιεπίπεδο των B, C, I φέρνω ημιευθείες Bx, Cy, ώστε I\widehat Bx=I\widehat BC, I\widehat Cy=I\widehat CB. Το σημείο τομής τους είναι η τρίτη κορυφή A του τριγώνου.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5544
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #13 από george visvikis » Δευ Ιούλ 17, 2017 7:25 pm

Άσκηση 4. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC από τα σημεία που δίνονται σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις.
α) I, I_a, I_b.............β) O, I_a, I_b


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 484
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #14 από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Δευ Ιούλ 17, 2017 9:24 pm

george visvikis έγραψε:Άσκηση 4. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC από τα σημεία που δίνονται σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις.
α) I, I_a, I_b



Έχουμε ότι \widehat{ICI_A}=90^o, και ότι \widehat{ICI_B}=90^o, άρα το C μπορεί να προσδιοριστεί με την τομή των ημικυκλίων με διαμέτρους τις II_A και II_B.

Ξέρουμε τώρα πως τα σημεία A και B βρίσκονται πάνω στις ευθείες II_A και II_B (1) αντίστοιχα τις οποίες και φέρνουμε.

Ταυτόχρονα όμως είναι γνωστό πως ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC περνάει και από τα μέσα των II_A και II_B. Επομένως ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC μπορεί να προσδιοριστεί με την βοήθεια των τριών σημείων C, M, N, όπου M, N τα μέσα των II_A και II_B αντίστοιχα.

Σύμφωνα λοιπόν με την (1) τα A, B μπορούν να προσδιοριστούν, ως οι τομές του περιγεγραμμένου κύκλου του ABC και των II_A και II_B αντίστοιχα.


Houston, we have a problem!
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9359
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #15 από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιούλ 17, 2017 10:10 pm

george visvikis έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:Άσκηση 3. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο ABC σε κάθε μία από τις περιπτώσεις όπου δίνονται τα σημεία
γ) B,C και I.


Και πάλι αλλιώς.

Ξέρουμε ότι \angle BIC= 90 + \frac {A}{2}, από όπου βρίσκουμε την A=2 \angle BIC-180. Άρα το A βρίσκεται στο τόξο (ας πούμε πάνω από το BC) που βλέπει το BC υπό γωνία 2 \angle BIC-180. Γράφουμε το εν λόγω τόξο αλλά και το προεκτείνουμε και κάτω του BC ώστε να γίνει πλήρης κύκλος. Έστω M το μέσον του τόξου κάτω από το BC. Παρατηρούμε ότι η AI διέρχεται από το M, οπότε γράφοντας την ευθεία IM, τέμνει το άνω τόξο BC στο ζητούμενο σημείο A.


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9359
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #16 από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιούλ 17, 2017 10:34 pm

Είδαμε τις περιπτώσεις όπου δίνονται δύο κορυφές και ένα από τα O,G,H,I.

Ας δούμε τώρα τις περιπτώσεις που δίνεται μία κορυφή και δύο από τα O, G, H, I.

Πρώτα από όλα παρατηρούμε ότι αν δίνονται δύο από τα O,G,H τότε βρίσκουμε και το τρίτο από την ευθεία Euler και την ιδιότητα HG=2GO. Συνεπώς οι περιπτώσεις αυτές ουσιαστικά έχουν γίνει και οι τρεις, οπότε μένει να εξετάσουμε την περίπτωση όπου ένα από τα σημεία είναι το I. Αρχίζω με το εξής:

Άσκηση 5. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο αν γνωρίζουμε τα A, O, I.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4972
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #17 από Doloros » Δευ Ιούλ 17, 2017 10:49 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:Είδαμε τις περιπτώσεις όπου δίνονται δύο κορυφές και ένα από τα O,G,H,I.

Ας δούμε τώρα τις περιπτώσεις που δίνεται μία κορυφή και δύο από τα O, G, H, I.

Πρώτα από όλα παρατηρούμε ότι αν δίνονται δύο από τα O,G,H τότε βρίσκουμε και το τρίτο από την ευθεία Euler και την ιδιότητα HG=2GO. Συνεπώς οι περιπτώσεις αυτές ουσιαστικά έχουν γίνει και οι τρεις, οπότε μένει να εξετάσουμε την περίπτωση όπου ένα από τα σημεία είναι το I. Αρχίζω με το εξής:

Άσκηση 5. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο αν γνωρίζουμε τα A, O, I.



Προφανώς γνωστός ο κύκλος (O,R) τον οποίο και γράφω.

Από τη σχέση I{O^2} = {R^2} - 2Rr , υπολογίζεται και κατασκευάζεται γεωμετρικά η

ακτίνα r του εγγεγραμμένου κύκλου (I,r). Οι εφαπτόμενες από το A σ αυτόν τον

κύκλο τέμνουν το περιγεγραμμένο κύκλο στα B,C


Παρατήρηση : αν d = OI το r κατασκευάζεται ως τετάρτη ανάλογος από την

αναλογία \boxed{\frac{{2R}}{{R + d}} = \frac{{R - d}}{r}}



Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5544
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #18 από george visvikis » Τρί Ιούλ 18, 2017 8:22 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:Άσκηση 5. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη τρίγωνο αν γνωρίζουμε τα A, O, I.

Αλλιώς... Η AI τέμνει τον κύκλο (O, OA=R) στο M και ο κύκλος (M, MI) τον (O, R) στα B, C και ολοκληρώνεται η κατασκευή.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8681
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #19 από KARKAR » Τρί Ιούλ 18, 2017 9:51 am

Άσκηση 6

Μέσα  και  κέντρο.png
Μέσα και κέντρο.png (13.83 KiB) Προβλήθηκε 270 φορές
Τα M,N είναι τα μέσα των AB,AC αντίστοιχα και το O το περίκεντρο.

Βρείτε και τις συντεταγμένες των τριών κορυφών του τριγώνου \displaystyle ABC .

Η άσκηση απευθύνεται μόνο σε μαθητές (εκτός αν παρέλθει ο Αη - Λιάς ! )


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9359
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #20 από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιούλ 18, 2017 11:40 am

george visvikis έγραψε:Άσκηση 4. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC από τα σημεία που δίνονται σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις.
α) I, I_a, I_b


Λύθηκε παραπάνω από τον Διονύση αλλά δίνω άλλη λύση (που όμως αν το καλοσκεφτεί κανείς είναι κρυφά μια παραλλαγή της λύσης του Διονύση).

Είναι γνωστό και απλό ότι το I είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου I_aI_bI_c. Έτσι στο τρίγωνο αυτό μας δίνονται δύο κορυφές, οι I_a, \, I_b, και το ορθόκεντρο. Άρα βρίσκουμε (πρόκειται για την άσκηση 3α) την τρίτη κορυφή I_c. Τα ζητούμενα A,B,C είναι απλά οι πόδες των υψών του I_aI_bI_c.



Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης