Σταθερότητα και ελάχιστο

KARKAR · #1

: Σταθερότητα και ελάχιστο.png (5.55 KiB) Προβλήθηκε 918 φορές

Μεταβλητή ευθεία η οποία διέρχεται από το σταθερό σημείο T(t,t) , t>0

, τέμνει τους

θετικούς ημιάξονες Ox,Oy

στα σημεία A , B

αντίστοιχα και έστω OA=a , OB=b

.

α) Υπολογίστε την ( σταθερή ! ) τιμή της παράστασης : $\dfrac{a+b}{ab}$ .

β) Δείξτε ότι το ελάχιστο εμβαδόν του OAB

, ισούται με 2t^2

.

nikos_el · #2

Η ευθεία, εφ' όσον τέμνει και τους δύο άξονες, έχει συντελεστή διεύθυνσης $\displaystyle \lambda \in \mathbb{R}^{*}-\{1\}$ . Η εξίσωση της ευθείας, αφού διέρχεται από το σταθερό σημείο $\displaystyle T(t,t)$ , είναι: $\displaystyle \varepsilon : y-y_{0}=\lambda (x-x_{0})\Rightarrow \varepsilon : y=\lambda x+t(1-\lambda )$ . Το σημείο $\displaystyle A$ έχει τεταγμένη $\displaystyle 0$ , οπότε: $\displaystyle 0=\lmbda a+t(1-\lambda) \Rightarrow a=\frac{t(\lambda-1)}{\lambda}$ . Το σημείο $\displaystyle B$ έχει τετμημένη $\displaystyle 0$ , οπότε $\displaystyle b=t(1-\lambda)$ .
α) Για την παράσταση έχουμε: $\displaystyle K=\cfrac{a+b}{ab}=\cfrac{\cfrac{t(\lambda -1)}{\lambda}+t(1-\lambda)}{\cfrac{t(\lambda -1)}{\lambda} \cdot t(1-\lambda)}=\cfrac{\cfrac{t(\lambda -1)-\lambda t(\lambda -1)}{\lambda}}{-\cfrac{t^{2}(\lambda-1)^{2}}{\lambda}}=-\cfrac{t(\lambda-1)(1-\lambda)}{t^{2}(\lambda-1)^{2}}=$ $\displaystyle \cfrac{t(\lambda-1)^{2}}{t^{2}(\lambda -1)^{2}} \Rightarrow K=\cfrac{1}{t}=const.$

β) Το τρίγωνο $\displaystyle (OAB)$ έχει εμβαδόν:
$\displaystyle E=\cfrac{1}{2}(OA)(OB)=\cfrac{ab}{2}=\cfrac{\cfrac{t(\lambda -1)}{\lambda} \cdot t(1-\lambda}{2} \Rightarrow E =-\cfrac{t^{2}(\lambda -1)^{2}}{2\lambda}$

Έχουμε: $\displaystyle -t^{2}(\lambda-1)^{2}=2 \lambda E \Leftrightarrow -t^{2}\lambda^{2}+2t^{2}\lambda-t^{2}=2\lambda \Leftrightarrow t^{2}\lambda^{2} -(2t^{2}-2E)\lambda+t^{2}=0$ . Η εξίσωση (ως προς $\displaystyle \lambda$ ) αυτή πρέπει να έχει πραγματικές ρίζες, οπότε για τη διακρίνουσα της θα ισχύει: $\displaystyle \Delta \geq 0 \Leftrightarrow (2t^{2}-2E)^{2}-4t^{2}\cdot t^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 4t^{4}-8t^{2}E+4E^{2}-4t^{4} \geq 0$ $\displaystyle \Leftrightarrow 4E^{2}-8t^{2}E \geq 0 \Leftrightarrow E(4E-8t^{2}) \geq 0$ . Όμως E > 0

. Οπότε, $\displaystyle 4E-8t^{2} \geq 0 \Leftrightarrow E \geq 2t^{2}$ . Άρα, το ελάχιστο εμβαδόν του $\displaytyle OAB$ , ισούται με $\displaytyle 2t^{2}$ .

#3

nikos_el έγραψε:Η ευθεία, εφ' όσον τέμνει και τους δύο άξονες, ...

Νομίζω ότι οι πράξεις είναι πάρα πολλές για μια τόσο απλή άσκηση. Ας δούμε κάτι ευκολότερο:

α) Αφού η ευθεία διέρχεται από τα $(a, 0), \, (0,b)$ εύκολα βλέπουμε ότι έχει εξίσωση $y =-\frac {b}{a} x +b$ . Αφού το (t,t)

βρίσκεται πάνω στην ευθεία έχουμε $t =-\frac {b}{a} t +b$ . Λύνοντας ως προς

έπεται $\frac {a+b}{ab}=\frac {1}{t}$ . Τελειώσαμε.

Όμοια το β) λύνεται πολύ οικονομικότερα.

S.E.Louridas · #4

...Ή καθαρά γεωμετρικά. από την άμεση ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων BTD, BOA

και των ορθογωνίων τριγώνων TGA, OAB

, αν

η προβολή του

στην

και

η προβολή του

στην

παίρνουμε

$\displaystyle{\frac{t}{a} = \frac{{BT}}{{BA}}},\;\; {\frac{t}{b} = \frac{{AT}}{{BA}}} \endmatrix } \right.\;\;\;\mathop \Rightarrow \limits^{\left( + \right)} \frac{t}{a} + \frac{t}{b} = 1 \Rightarrow \frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{1}{t}.}$

#5

Και αλλιώς: Από την ισότητα εμβαδών (OAB)=(OAT)+(OBT)

έχουμε $\frac {1}{2} ab= \frac {1}{2} at+ \frac {1}{2} bt$ , και λοιπά.

S.E.Louridas · #6

i) Ή και πάντα για λόγους «πολυφωνίας» $\displaystyle{1 = \left( {\tan A} \right)\left( {\tan \left( {\frac{\pi }{2} - A} \right)} \right) = \frac{t}{{a - t}} \cdot \frac{t}{{b - t}}}$ ή $\left( {a + b} \right)t = ab$ ή $\displaystyle{\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{1}{t},}$

ii) Ή με βάση την εξίσωση της

, από τις συντεταγμένες επί την αρχήν, $\displaystyle{\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1}$ , που επαληθεύεται για x=y=t

, άμεσα παίρνουμε το ζητούμενο.

Για το ελάχιστο τώρα έχουμε και τους αντίστοιχους αλλά απόλυτα ίδιας σκέψης εδώ στο mathematica τρόπους:
viewtopic.php?f=178&t=58290

Σταθερότητα και ελάχιστο

Σταθερότητα και ελάχιστο

Re: Σταθερότητα και ελάχιστο

Re: Σταθερότητα και ελάχιστο

Re: Σταθερότητα και ελάχιστο

Re: Σταθερότητα και ελάχιστο

Re: Σταθερότητα και ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση