Κι αυτός εφαπτόμενος

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8460
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κι αυτός εφαπτόμενος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από KARKAR » Τρί Ιαν 10, 2017 1:34 pm

Κι  αυτός  εφαπτόμενος.png
Κι αυτός εφαπτόμενος.png (14.53 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές
Του παραλληλογράμμου ABCD , δίνουμε τις συντεταγμένες τριών κορυφών του .

α) Βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής C ....β) Δείξτε ότι ο κύκλος (x-2)^2+(y-3)^2=9

εφάπτεται των πλευρών AB,AD,DC και έστω P,Q τα σημεία τομής του με την AC

γ) Βρείτε το κέντρο L και την ακτίνα άλλου κύκλου , ο οποίος εφάπτεται στις προεκτάσεις

των CD , CB και διέρχεται από το P και δείξτε ότι διέρχεται , επίσης , από το Q .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3649
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Κι αυτός εφαπτόμενος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Μαρ 19, 2017 10:16 pm

KARKAR έγραψε:Κι αυτός εφαπτόμενος.pngΤου παραλληλογράμμου ABCD , δίνουμε τις συντεταγμένες τριών κορυφών του .
α) Βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής C ....
β) Δείξτε ότι ο κύκλος (x-2)^2+(y-3)^2=9 εφάπτεται των πλευρών AB,AD,DC και έστω P,Q τα σημεία τομής του με την AC
γ) Βρείτε το κέντρο L και την ακτίνα άλλου κύκλου , ο οποίος εφάπτεται στις προεκτάσεις των CD , CB και διέρχεται από το P και δείξτε ότι διέρχεται , επίσης , από το Q .


α) Αν M\equiv AC\cap BD το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου τότε με M το μέσο της

BD \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  {x_M} = \dfrac{{{x_B} + {x_D}}}{2} = \dfrac{{6 + 0}}{2} = 3 \hfill \\
  {y_M} = \dfrac{{{y_B} + {y_D}}}{2} = \dfrac{{0 + 6}}{2} = 3 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow M\left( {3,3} \right) και με M το μέσο της AC \Rightarrow BD \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  {x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_C}}}{2} \Rightarrow  \ldots {x_C} = 8,5 \hfill \\
  {y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_C}}}{2} \Rightarrow  \ldots {y_C} = 6 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{C\left( {8,5,6} \right)}.

β) Ο δοσμένος κύκλος \left( K \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9 έχει κέντρο K\left( {2,3} \right) και ακτίνα r = 3

\bullet Είναι CD \to y - 6 = 0 \Rightarrow d\left( {K,CD} \right) = \dfrac{{\left| {3 - 6} \right|}}{{\sqrt 1 }} = 3 = r \Rightarrow \left( K \right) εφάπτεται της CD

\bullet Είναι AB \to y = 0 \Rightarrow d\left( {K,AB} \right) = \dfrac{{\left| 3 \right|}}{{\sqrt 1 }} = 3 = r \Rightarrow \left( K \right) εφάπτεται στην AB

\bullet Είναι AD \to y - 6 = \dfrac{{6 - 0}}{{0 - \left( { - 2,5} \right)}}x \Rightarrow \ldots 6x - 2,5y + 15 = 0 \Rightarrow 12x - 5y + 30 = 0 \Rightarrow

d\left( {K,AD} \right) = \dfrac{{\left| {12 \cdot 2 - 5 \cdot 3 + 30} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {5^2}} }} = \dfrac{{39}}{{13}} = 3 = r \Rightarrow \left( K \right) εφάπτεται στην AD
κι αυτός εφαπτόμενος.png
κι αυτός εφαπτόμενος.png (51.4 KiB) Προβλήθηκε 106 φορές

γ) Είναι BD \to y =  - x + 6 \Rightarrow BD \to x + y - 6 = 0 \Rightarrow d\left( {K,BD} \right) = \dfrac{{\left| {2 + 3 - 6} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow

PQ = 2\sqrt {{r^2} - {d^2}\left( {K,BD} \right)}  \Rightarrow PQ = 2\sqrt {9 - \dfrac{1}{2}}  \Rightarrow PQ = 2\sqrt {\dfrac{{17}}{2}}  \Rightarrow \boxed{PQ = \sqrt {34} }.

Αρκεί για γ) ως ισοδύναμο πρόβλημα να δείξουμε ότι ο κύκλος με κέντρο L το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας \angle C και της εκ του K καθέτου επί την BD (προφανώς μεσοκαθέτου της PQ (λόγω κέντρου και χορδής)) ο οποίος εφάπτεται στις CD,CB δηλαδή ακτίνας R=d\left( L,CD \right) διέρχεται από το P (άρα και από το Q ).

Αν \left( e \right) είναι η εκ του K κάθετη προς την BD τότε με

{\lambda _{BD}} =  - 1\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( e \right) \bot BD} {\lambda _{\left( e \right)}} = 1 \Rightarrow \left( e \right) \to y - 3 = x - 2 \Leftrightarrow \boxed{\left( e \right) \to x - y + 1 = 0}.

Η διχοτόμος της C έχει φορέα την CZ όπου Z είναι το σημείο τομής του άξονα {x}'x\to AB με τον κύκλο \left( B,BC \right) με {{x}_{Z}}<6 (λόγω DC\parallel AB ).

Είναι BC = \sqrt {{{\left( {8,5 - 6} \right)}^2} + {6^2}}  = \sqrt {42,25}  = 6,5 \Rightarrow \left( {B,BC} \right) \to {\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} = {6,5^2}\mathop  \to \limits^{y = 0} {\left( {x - 6} \right)^2} = {6,5^2}

\Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x - 6 = 6,5 \\ 
   \vee  \\ 
  x - 6 =  - 6,5 \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x = 12,5 \\ 
   \vee  \\ 
  x =  - 0,5 \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{Z\left( { - 0,5,0} \right)}.

Αρα CZ \to y = \dfrac{6}{{8,5 - \left( { - 0,5} \right)}}\left( {x + 0,5} \right) \Rightarrow CZ \to y = \dfrac{2}{3}\left( {x + 0,5} \right) \Rightarrow  \ldots CZ \to \boxed{2x - 3y + 1 = 0}.

Άρα L:\left\{ \begin{gathered}
  x - y + 1 = 0 \\ 
  2x - 3y + 1 = 0 \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x = y - 1 \\ 
  2y - 2 - 3y + 1 = 0 \\ 
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
  x =  - 2 \hfill \\
  y =  - 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{L\left( { - 2, - 1} \right)}

και αφού εφάπτεται στη CD\to y-6=0 (άρα και στην CB αφού έχει κέντρο επί της διχοτόμου της γωνίας \angle C ) θα έχει ακτίνα R = d\left( {L,BD} \right) = \dfrac{{\left| { - 1 - 6} \right|}}{1} = 7

και αρκεί να δείξουμε ότι LP=7 (προφανώς LP=LQ όπως ορίστηκε το L ως σημείο και της μεσοκαθέτου της PQ ).

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα ισχύει: LP = \sqrt {{d^2}\left( {L,BD} \right) + {{\left( {\dfrac{{PQ}}{2}} \right)}^2}}

Αλλά d\left( {L,BD} \right) = \dfrac{{\left| { - 2 - 1 - 6} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{9}{{\sqrt 2 }} οπότε LP = \sqrt {{{\left( {\dfrac{9}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt {34} }}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {\dfrac{{81}}{2} + \dfrac{{34}}{4}} = \sqrt {\dfrac{{81}}{2} + \dfrac{{17}}{2}}  = \sqrt {49}  = 7 = {R_L}

και το ισοδύναμο πρόβλημα για το γ) ερώτημα έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης