Σελίδα 1 από 1

Ελάχιστο γινόμενο

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 10, 2017 9:27 am
από KARKAR
Ελάχιστο  γινόμενο.png
Ελάχιστο γινόμενο.png (9.24 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές
Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έχουμε τοποθετήσει τα σημεία A(0,6) , B(8,0) και S(2,3) .

Ευθεία διερχόμενη από το S , τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο P και το τμήμα AB στο σημείο Q .

Ζητούμενο είναι το ελάχιστο του γινομένου SP\cdot SQ . Προσπαθήστε και για άλλη προσέγγιση ...

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιαν 10, 2017 11:05 am
από george visvikis
KARKAR έγραψε:Ελάχιστο γινόμενο.pngΣτο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έχουμε τοποθετήσει τα σημεία A(0,6) , B(8,0) και S(2,3) .

Ευθεία διερχόμενη από το S , τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο P και το τμήμα AB στο σημείο Q .

Ζητούμενο είναι το ελάχιστο του γινομένου SP\cdot SQ . Προσπαθήστε και για άλλη προσέγγιση ...


Αν \displaystyle{\lambda } είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ζητούμενης ευθείας, τότε θα έχει εξίσωση \displaystyle{y = \lambda x - 2\lambda  + 3} και τα σημεία

τομής της με τις ευθείες x=0 και AB:3x+4y-24=0 θα είναι \displaystyle{P(0, - 2\lambda  + 3),Q\left( {\frac{{8\lambda  + 12}}{{4\lambda  + 3}},\frac{{18\lambda  + 9}}{{4\lambda  + 3}}} \right)}

\displaystyle{S{P^2} \cdot S{Q^2} = 4(1 + {\lambda ^2}) \cdot 36\left( {\frac{{{\lambda ^2} + 1}}{{{{(4\lambda  + 3)}^2}}}} \right) \Leftrightarrow } \boxed{SP \cdot SQ = \frac{{12({\lambda ^2} + 1)}}{{4\lambda  + 3}}}

Αλλά, \displaystyle{\frac{{12({\lambda ^2} + 1)}}{{4\lambda  + 3}} \ge 3 \Leftrightarrow {(2\lambda  - 1)^2} \ge 0}, οπότε για \boxed{\lambda  = \frac{1}{2}} έχουμε \boxed{{(SP \cdot SQ)_{\min }} = 3} και η ευθεία PQ έχει εξίσωση \boxed{y = \frac{1}{2}x + 2}

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 2:58 am
από Doloros
KARKAR έγραψε:Ελάχιστο γινόμενο.pngΣτο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έχουμε τοποθετήσει τα σημεία A(0,6) , B(8,0) και S(2,3) .

Ευθεία διερχόμενη από το S , τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο P και το τμήμα AB στο σημείο Q .

Ζητούμενο είναι το ελάχιστο του γινομένου SP\cdot SQ . Προσπαθήστε και για άλλη προσέγγιση ...


Μήπως πρέπει να το δούμε πιο γενικά;

Τέμνουσα ειδική.png
Τέμνουσα ειδική.png (7 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές


Αν δοθεί σταθερή γωνία και σταθερό σημείο S μέσα σ αυτή πως θα

κατασκευάσουμε ευθεία που διέρχεται από το σημείο αυτό και τέμνει τις πλευρές της

γωνίας στα σημεία P,Q έτσι ώστε το γινόμενο SP \cdot SQ να είναι ελάχιστο;

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 7:42 am
από KARKAR
Ελάχιστο  γινόμενο - γενίκευση.png
Ελάχιστο γινόμενο - γενίκευση.png (14.87 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές
. Αναμένοντας την καθαρά γεωμετρική (υποθέτω) λύση του Νίκου :


Είναι : \dfrac{x}{sin\phi}=\dfrac{OS}{sin\theta}  , \dfrac{y}{\sin\omega}=\dfrac{OS}{sin\zeta} , άρα : xy=\dfrac{OS^2sin\phi sin\omega}{sin\theta sin\zeta}

Το τμήμα OS και οι γωνίες \phi,\omega , καθώς και το άθροισμα \theta+\zeta είναι σταθερά .

Ο αριθμητής λοιπόν είναι σταθερός , άρα το xy ελαχιστοποιείται , όταν μεγιστοποιηθεί το sin\theta sin\zeta.

Αλλά αν \theta+\zeta=a , το sinx sin(a-x) , μεγιστοποιείται όταν x=\dfrac{a}{2} * , δηλαδή ,

όταν OP=OQ , πράγμα που επιτυγχάνεται , αν από το S φέρουμε κάθετη προς τη διχοτόμο .

*Τούτο αποδεικνύεται εύκολα με τη συνάρτηση f(x)=sinx sin(a-x) , ίσως όμως να προκύπτει κι αλλιώς ...

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 1:06 pm
από Mihalis_Lambrou
KARKAR έγραψε: όταν μεγιστοποιηθεί το sin\theta sin\zeta.

Αλλά αν \theta+\zeta=a , το sinx sin(a-x) , μεγιστοποιείται όταν x=\dfrac{a}{2} *

...

*Τούτο αποδεικνύεται εύκολα με τη συνάρτηση f(x)=sinx sin(a-x) , ίσως όμως να προκύπτει κι αλλιώς ...


Θανάση, σου κάνει η Τριγωνομετρική απόδειξη

2\sin \theta \sin \zeta = \cos (\theta - \zeta) - \cos (\theta + \zeta)= \cos (\theta - \zeta) - \cos a

που μεγιστοποιείται αν \theta = \zeta ή ζητάς κάτι άλλο;

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 2:09 pm
από KARKAR
Φυσικά Μιχάλη , η προσέγγισή σου καλύπτει πλήρως το τεθέν ερώτημα .

Υποψιάζομαι πάντως , ότι μπορεί να υπάρχει κι άλλη αντιμετώπιση ...

Re: Ελάχιστο γινόμενο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Ιαν 11, 2017 2:52 pm
από Doloros
Γράφουμε τον κύκλο (O,P,Q) και τη σταθερή διχοτόμο Oz της σταθερής γωνίας

\widehat {xOy}. Ας είναι K το κέντρο αυτού του κύκλου , G το σημείο τομής τη KS με την

Oz , M το σταθερό μέσο του OS και T,H οι προβολές των K,G στην OS.

SP \cdot SQ = K{O^2} - K{S^2} = 2OS \cdot MT\,\,(1) . Επειδή

Ελάχιστο γινόμενο Ανάλυση.png
Ελάχιστο γινόμενο Ανάλυση.png (27.83 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές


G{O^2} - G{S^2} = 2OS \cdot MH \geqslant 2OS \cdot MT = SP \cdot SQ η μικρότερη τιμή του γινομένου

SP \cdot SQ πραγματοποιείται όταν MH \equiv MT δηλαδή όταν K \equiv G ή τελικά όταν

\boxed{PQ \bot Oz}.

Φιλικά, Νίκος