Γωνίες τραπεζίου

#1

: Γωνίες τραπεζίου.png (12.41 KiB) Προβλήθηκε 488 φορές

Στο αμφιγράψιμο τραπέζιο ABCD(AB||CD)

του σχήματος, είναι R^2=6r^2.

Να βρείτε τις γωνίες του τραπεζίου.

Ορέστης Λιγνός · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Επαναφορά.

Ορέστης Λιγνός · #4

Προφανώς, το τραπέζιο είναι ισοσκελές, αφού εγγράφεται σε κύκλο.

Φέρνουμε κάθετες $DM,CN \perp AB$ . Είναι προφανώς DM=CN=EK=2r

.

Επίσης , έστω DE=EC= MK=KN=x, AK=KB=y

(τα τμήματα είναι ίσα λόγω συμμετρίας, αφού έχουμε ισοσκελές τραπέζιο).

Το τραπέζιο είναι αμφιγράψιμο, άρα $2AD=AD+CB=CD+AB=2(x+y) \Rightarrow AD=x+y$ .

Ακόμη, AM=NB=AK-MK=y-x

.

Επομένως, με Π.Θ. στο $\vartriangle DMA$ , είναι r^2=xy

(1), και με Π.Θ. στο $\vartriangle ACN$ , $AC=\sqrt{4r^2+(x+y)^2}=\sqrt{x^2+6xy+y^2} \Rightarrow AC= \sqrt{x^2+6xy+y^2}$ (2)

Έχουμε, $(CAB)=\dfrac{AB \cdot CN}{2}=2ry \Rightarrow (CAB)=2ry$ (3).

Επίσης, $(CAB)=\dfrac{AC \cdot CB \cdot AB}{4R}= \dfrac{2y(x+y)\sqrt{x^2+6xy+y^2}}{4R}$ , και εξισώνοντας με την (3) και χρησιμοποιώντας ότι R^2=6r^2=6xy

, θα πάρουμε ότι (x^2+6xy+y^2)(x+y)^2=96x^2y^2

.

Θέτουμε τώρα x+y=p,xy=q

, και αφού εκφράσουμε τις παραστάσεις συναρτήσει των p,q

έχουμε

, απ'όπου $p^2=8q \Rightarrow (x+y)^2=8xy \Rightarrow x=(3-2\sqrt{2})y$ .

Τώρα, $AD=x+y=(4-2\sqrt{2})y$ , και $AM=y-x=(2\sqrt{2}-2)y$ , και παρατηρούμε πως $AD=AM\sqrt{2}$ , επομένως το ορθ. τρίγωνο $\vartriangle DAM$ είναι και ισοσκελές, δηλαδή $\widehat{A}=\widehat{B}=45^\circ$ , και $\widehat{C}=\widehat{D}=135^\circ$ .

: GWNIES.png (19.36 KiB) Προβλήθηκε 355 φορές

KARKAR · #5

: Αμφιγράψιμο.png (19.65 KiB) Προβλήθηκε 335 φορές

Σύμφωνα με το Fuss' theorem , είναι : $OI=r\sqrt{2}$ . Επίσης : $OB=r\sqrt{6}$ .

Άρα : $OS=r(\sqrt{2}-1)$ και με Π.Θ. : $SB=r(\sqrt{2}+1)$ . Τότε έχουμε :

$\tan\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$ .

Συνεπώς : $\theta=22.5^0$ , επομένως : $\widehat{ABC}=45^0$ ... τέλος .

Γωνίες τραπεζίου

Γωνίες τραπεζίου

Re: Γωνίες τραπεζίου

Re: Γωνίες τραπεζίου

Re: Γωνίες τραπεζίου

Re: Γωνίες τραπεζίου

Μέλη σε σύνδεση