50%

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9275
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

50%

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιαν 12, 2018 8:17 pm

50%.png
50%.png (16.61 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές
Το σημείο A ανήκει στο ημικύκλιο διαμέτρου BC . Οι διχοτόμοι των \hat{B} , \hat{C}

τέμνονται στο E και τέμνουν το ημικύκλιο στα S,P αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : (EBC)=2(ESP) .

β) Αν το E είναι το μέσο της BS , βρείτε την \tan\hat{B} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5387
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: 50%

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 12, 2018 10:20 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 12, 2018 8:17 pm
50%.pngΤο σημείο A ανήκει στο ημικύκλιο διαμέτρου BC . Οι διχοτόμοι των \hat{B} , \hat{C}

τέμνονται στο E και τέμνουν το ημικύκλιο στα S,P αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : (EBC)=2(ESP) .

β) Αν το E είναι το μέσο της BS , βρείτε την \tan\hat{B} .
Για το πρώτο ερώτημα.
50 στα 100.png
50 στα 100.png (23.58 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές
Ας είναι T το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του \vartriangle ABC με τη BC .

Θα είναι \boxed{ET = r\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE = r\sqrt 2 }. Επειδή Θ. Ν πόλου:\left\{ \begin{gathered} 
  SA = SE = SC\, \hfill \\ 
  PA = PR = PB\, \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Θα είναι η PS μεσοκάθετος στο AE άρα αρκεί να δείξουμε ότι :

(EBC) = (APES) \Leftrightarrow ra = AE \cdot PS \Leftrightarrow ra = r\sqrt 2  \cdot PS που ισχύει αφού το

\vartriangle OPS είναι ισοσκελές ορθογώνιο με κάθετες πλευρές \dfrac{a}{2} και άρα PS = \dfrac{a}{2}\sqrt 2 .

Στο άλλο θα με απασχολήσει η γεωμετρική κατασκευή του τριγώνου ABC κι μετά ο υπολογισμός


Είναι
50 στα 100_Β ερώτημα.png
50 στα 100_Β ερώτημα.png (28.44 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές
Το S είναι τέτοιο ώστε \dfrac{{SB}}{{SC}} = 2 (Κατασκευή με κύκλο του Απολλώνιου )

Εύκολα μετά \displaystyle \boxed{\tan B = \frac{4}{3}}


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 697
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: 50%

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Ιαν 12, 2018 11:41 pm

Χαιρετώ! Για το α' : Το τρίγωνο PEB είναι ορθ. και ισοσκελές άραBE=\sqrt{2}PE.

Για τα όμοια τρίγωνα BEC,PES παίρνουμε : \dfrac{\left ( BEC \right )}{\left ( PES \right )}=(\dfrac{BE}{PE})^{^{2}}=2
13-1-18 ..50 στα 100.PNG
13-1-18 ..50 στα 100.PNG (8.09 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές
Για το β' : Αν  ES=BS/2 τότε και CS=BS/2 (αφού και τρίγωνο SEC ορθ. και ισοσκελές)

άρα  tan\omega =1/2. Τότε tanB=tan2\omega =\dfrac{2tan\omega  }{1-tan^{2}\omega }=\dfrac{4}{3}..Φιλικά Γιώργος.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1268
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: 50%

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Ιαν 13, 2018 1:53 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 12, 2018 8:17 pm
50%.pngΤο σημείο A ανήκει στο ημικύκλιο διαμέτρου BC . Οι διχοτόμοι των \hat{B} , \hat{C}

τέμνονται στο E και τέμνουν το ημικύκλιο στα S,P αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : (EBC)=2(ESP) .

β) Αν το E είναι το μέσο της BS , βρείτε την \tan\hat{B} .

1.Επειδή \displaystyle \vartriangle ESC,PBE είναι ορθογώνια ισοσκελή, το \displaystyle D είναι μέσον της \displaystyle EC και \displaystyle SD//BP \Rightarrow PSDB τραπέζιο

άρα \displaystyle \left( {PSE} \right) = \left( {EBD} \right) = \frac{{\left( {BEC} \right)}}{2} \Rightarrow \boxed{\left( {BEC} \right) = 2\left( {PSE} \right)}

2.Αν επιπλέον \displaystyle E μέσον της \displaystyle BS ,το \displaystyle BPSD είναι παραλ/μμο \displaystyle  \Rightarrow PE = ED = DC = PB.

Ακόμη, \displaystyle \angle PBA = \angle PSB = \theta (βαίνουν σε ίσα τόξα)

Είναι \displaystyle \tan \left( {{{45}^0} + \theta } \right) = \frac{{PD}}{{SD}} = 2 \Rightarrow \frac{{1 + \tan \theta }}{{1 - \tan \theta }} = 2 \Rightarrow \boxed{\tan \theta  = \frac{1}{3}}

\displaystyle \tan B = \tan \left( {\angle PBC - \theta } \right) = \frac{{\tan \angle PBC - \tan \theta }}{{1 + \tan \angle PBC \cdot \tan \theta }} = \frac{{3 - \frac{1}{3}}}{{1 + 3 \cdot \frac{1}{3}}} \Rightarrow \boxed{\tan B = \frac{4}{3}}
50%.png
50%.png (20.18 KiB) Προβλήθηκε 85 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6227
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 50%

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 13, 2018 11:18 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Ιαν 12, 2018 8:17 pm
50%.pngΤο σημείο A ανήκει στο ημικύκλιο διαμέτρου BC . Οι διχοτόμοι των \hat{B} , \hat{C}

τέμνονται στο E και τέμνουν το ημικύκλιο στα S,P αντίστοιχα .

α) Δείξτε ότι : (EBC)=2(ESP) .

β) Αν το E είναι το μέσο της BS , βρείτε την \tan\hat{B} .
50%.png
50%.png (23.01 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές
α) P\widehat OS=90^0, άρα PS είναι η πλευρά του τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο ακτίνας R, οπότε PS=R\sqrt 2

κι επειδή τα τρίγωνα EBC, ESP είναι όμοια, θα είναι \displaystyle \frac{{(EBC)}}{{(ESP)}} = {\left( {\frac{{2R}}{{R\sqrt 2 }}} \right)^2} = 2

β) EC=ES\sqrt 2=BE\sqrt 2 και από νόμο συνημιτόνων στο BEC: \displaystyle 4{R^2} = 3B{E^2} - 2B{E^2}\sqrt 2 \cos {135^0} \Leftrightarrow

\displaystyle B{E^2} = \frac{{4{R^2}}}{5}, οπότε \displaystyle {\cos ^2}\theta  = \frac{{B{E^2}}}{{B{O^2}}} = \frac{4}{5} \Leftrightarrow \cos 2\theta  = \frac{3}{5} και \boxed{\tan B = \tan 2\theta  = \frac{4}{3}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5387
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: 50%

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 13, 2018 11:32 am

Παρατήρηση :

Το τρίγωνο ABC είναι της μορφής (5,4,3) , προκύπτει δε χωρίς τριγωνομετρία( αλλά όχι πιο απλά).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες