Ενδιαφέρον αντίστροφο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5624
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ενδιαφέρον αντίστροφο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από george visvikis » Τετ Αύγ 09, 2017 7:45 pm

Είναι πασίγνωστο ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο ABC(\widehat A=90^0) αν ισχύει μία από τις δύο παρακάτω σχέσεις
τότε θα ισχύει και η άλλη. 1) BC=2AB......................... 2) 2\widehat A=3\widehat B

Εδώ θα ήθελα να αποδείξουμε το αντίστροφο, ότι δηλαδή αν ισχύουν και οι δύο αυτές σχέσεις, το τρίγωνο είναι

υποχρεωτικά ορθογώνιο στη γωνία \widehat A.


Αν έχει συζητηθεί ξανά θα παρακαλούσα να μη δοθούν παραπομπές για ένα 48ωρο, μήπως και

υπάρχουν κάποιοι που το βλέπουν για πρώτη φορά. Δεκτή κάθε λύση εντός και εκτός φακέλου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5044
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ενδιαφέρον αντίστροφο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από S.E.Louridas » Τετ Αύγ 09, 2017 10:53 pm

george visvikis έγραψε:Εδώ θα ήθελα να αποδείξουμε το αντίστροφο, ότι δηλαδή αν σε τρίγωνο ABC, ισχύουν οι σχέσεις BC=2AB και 2\widehat A=3\widehat B, το τρίγωνο είναι υποχρεωτικά ορθογώνιο στη γωνία \widehat A.

Η πρώτη των σχέσεων μας οδηγεί στο ότι, αν θεωρήσουμε δεδομένη την πλευρά BC, τότε η κορυφή A θα κινείται στον κύκλο (B,BO),
αν O είναι το μέσον της BC.
Τότε θα υπάρχουν δύο σημεία του κύκλου (B,BO), το A με \angle BAC = {90^ \circ } και \angle CBA = {60^ \circ } και το συμμετρικό του A’ ως προς την BC
που δίνουν τα ίσα μεταξύ τους ορθογώνια με τις δύο αυτές ιδιότητες. Θα αποδείξουμε ότι αυτά είναι τα μοναδικά.
Είναι γνωστό ότι τα τρίγωνα OAB,\;\; OBA' είναι ισόπλευρα.
Διαπιστώνουμε εύκολα, ότι για το τυχόν εσωτερικό σημείο A_1 του τόξου A’OA έχουμε O{A_1} < OA και για τυχόν εσωτερικό σημείο A_2
του συμπληρωματικού του τόξου A’OA, ως προς τον κύκλο (B,BO) έχουμε O{A_2} > OA.
Για το τρίγωνο {A_1}BC με διάμεσο \displaystyle{{A_1}O με {A_1}O < BO = \frac{{BC}}{2}} θα έχουμε \displaystyle{\angle B{A_1}C > {90^ \circ } \Rightarrow 2\angle B{A_1}C > {180^ \circ } \Rightarrow} \displaystyle{3\angle CB{A_1} > {180^ \circ } \Rightarrow \angle CB{A_1} > {60^ \circ } \Rightarrow \angle CBA > {60^ \circ } \Rightarrow {60^ \circ } > {60^ \circ },} πράγμα άτοπο.
Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο αν \displaystyle{O{A_2} > OA,} οπότε \displaystyle{\angle B{A_2}C < {90^ \circ }.}
Άρα μόνο όταν \displaystyle{OA=OB=OC} δηλαδή όταν \displaystyle{\angle A=90^\circ} ισχύουν τα δεδομένα που αποτελούν την υπόθεση.
ασδφγ.png
ασδφγ.png (30.55 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ενδιαφέρον αντίστροφο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Doloros » Πέμ Αύγ 10, 2017 11:59 am

Έστω ευθύγραμμο τμήμα AC . Γράφω τον Απολλώνιο κύκλο για κάθε σημείο B

του οποίου , \boxed{\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{1}{2}}. Ο κύκλος αυτός κέντρου O τέμνει εσωτερικά και εξωτερικά

το AC στα σημεία D,E που είναι αρμονικά συζυγή των A,C .

Το αντίστροφο Πρότασης Βισβίκης.png
Το αντίστροφο Πρότασης Βισβίκης.png (29.98 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές


Επειδή \widehat {CAB} = 3\widehat \theta \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ABC} = 2\widehat \theta ενώ η BD διχοτόμος του \vartriangle ABC θα είναι

\boxed{\widehat \omega  = \widehat \phi } και άρα η OB εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου , κέντρου K, του

\vartriangle ABC. Αφού όμως η διάμετρος ED του (O) διαιρείται αρμονικά από τον (K) , οι

κύκλοι είναι ορθογώνιοι, δηλαδή το K βρίσκεται πάνω στην BC που σημαίνει

ότι το \vartriangle ABC είναι ορθογώνιο στο A.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5624
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ενδιαφέρον αντίστροφο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από george visvikis » Σάβ Αύγ 12, 2017 10:29 am

Ευχαριστώ το Σωτήρη και το Νίκο για τις πολύ ωραίες Ευκλείδειες λύσεις. Ας δούμε και μία τριγωνομετρική προσέγγιση.

Η άσκηση εδώ επινοήθηκε γι' αυτόν ακριβώς το λόγο.
Ενδιαφέρον αντίστροφο.png
Ενδιαφέρον αντίστροφο.png (9.35 KiB) Προβλήθηκε 49 φορές

Από νόμο ημιτόνων παίρνουμε \displaystyle{2\sin 5x = \sin 3x} κι επειδή η γωνία \widehat B είναι οξεία, από τις λύσεις της παραπομπής η μόνη

δεκτή είναι \displaystyle{\cos 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow } \boxed{\widehat B=60^0} και \boxed{\widehat A=90^0}



Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες