Ανακατωσούρα

KARKAR · #1

: Ανακατωσούρα.png (10.08 KiB) Προβλήθηκε 583 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , η διάμεσος

τέμνει

το ύψος

στο σημείο

. Αν

, υπολογίστε το $\sin\hat{C}$ .

#2

KARKAR έγραψε:Ανακατωσούρα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , η διάμεσος τέμνει

το ύψος στο σημείο . Αν , υπολογίστε το $\sin\hat{C}$ .

Με Θ Μενελάου στο $\vartriangle DAC$ και διατέμνουσα τη $\overline {BSM}$ έχω :

$\dfrac{{DS}}{{SA}} \cdot \dfrac{{AM}}{{MC}} \cdot \dfrac{{CB}}{{BD}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{3} \cdot 1 \cdot \dfrac{{CB}}{{BD}} = 1 \Rightarrow \boxed{DC = 2DA}$ .Αν

το μέσο του

και θέσω

$DO = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DS = k$ θα είναι : $\left\{ \begin{gathered} BD = 2u \hfill \\ OC = 3u \hfill \\ SA = 3k \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow SO//AC \Rightarrow \boxed{\theta = C}$

: Ανακατοσούρα.png (20.32 KiB) Προβλήθηκε 566 φορές

Επειδή $A{D^2} = DB \cdot DC \Rightarrow \sqrt 2 k = u$ και άρα $\displaystyle{\boxed{\tan \theta = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}}}$ , οπότε:

$\sin C = \sin \theta \Rightarrow {\sin ^2}C = \dfrac{1}{{1 + {{(\sqrt 2 )}^2}}} \Rightarrow \boxed{\sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{3}}$

Παρατήρηση : Η άσκηση έχει και άλλες στοιχειώδεις ή μη, αλλά όμορφες λύσεις.

harrisp · #3

Γράφουμε τον κύκλο (M,MA)

που προφανώς περιέχει τα D,C

. Όπως απέδειξε και ο κ. Νίκος ισχύει 3BD=BC

. Επομένως: $AB^2=BD\cdot BC$ από όπου εύκολα παίρνουμε ότι $\sin \angle {BAD}=\dfrac {\sqrt{3}}{3}$ . Ομως από χορδής-εφαπτομένης (η

εφάπτεται στον κύκλο στο

)είναι $\angle BAD=\angle BAC$ και το ζητούμενο έπεται.

#4

Στο ίδιο σκεπτικό...επειδή $BD=\dfrac{a}{3},$ είναι: $\displaystyle{{c^2} = \frac{{{a^2}}}{3} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\sin C = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε:Ανακατωσούρα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , η διάμεσος τέμνει

το ύψος στο σημείο . Αν , υπολογίστε το $\sin\hat{C}$ .

Με $\displaystyle{E}$ μέσον της $\displaystyle{AD \Rightarrow EM//BC}$ κι επειδή $\displaystyle{SD = SE \Rightarrow BDME}$ παραλ/μμο $\displaystyle{ \Rightarrow BE = DM = MC \Rightarrow BEMC}$ ισοσκελές τραπέζιο

Άρα οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες $\displaystyle{ \Rightarrow B{D^2} = DE \cdot DA = 2D{E^2} \Rightarrow {\cot ^2}\theta = \frac{{B{D^2}}}{{D{E^2}}} = 2}$

Τώρα ,από τον γνωστό τύπο $\displaystyle{1 + {\cot ^2}\theta = \frac{1}{{{{\sin }^2}\theta }} \Rightarrow \boxed{\sin \theta = \frac{{\sqrt 3 }}{3}}}$

: ανακατωσούρα.png (20.03 KiB) Προβλήθηκε 524 φορές

#6

KARKAR έγραψε:Ανακατωσούρα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC , ( \hat{A}=90^0 )$ , η διάμεσος τέμνει

το ύψος στο σημείο . Αν , υπολογίστε το $\sin\hat{C}$ .

: Ανακατωσούρα _new.png (18.33 KiB) Προβλήθηκε 508 φορές

Φέρνω από το

παράλληλη στην

που τέμνει την ευθεία

στο

.

Επειδή στο $\vartriangle BAC$ η

είναι διάμεσος , η τετράδα $(A,D\backslash S,T)$ είναι αρμονική

Συνεπώς $AD = 2DT \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AC = 2BT \hfill \\ DC = 2BD \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Αλλά

$\dfrac{{DC}}{{DB}} = \dfrac{{{b^2}}}{{{c^2}}} \Rightarrow 2{c^2} = {b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow 3{c^2} = {a^2}$ και άρα $\boxed{\sin C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}$

Ανακατωσούρα

Ανακατωσούρα

Re: Ανακατωσούρα

Re: Ανακατωσούρα

Re: Ανακατωσούρα

Re: Ανακατωσούρα

Re: Ανακατωσούρα

Μέλη σε σύνδεση