Τρίγωνο από 3 σημεία

[Ορέστης Λιγνός]

3 σημεία-28.png

Άσκηση 28. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία ( το μέσο της το ίχνος του ύψους από την κορυφή και το μέσο του αντίστοιχα).


ΥΓ. Έβαλα στην άσκηση τον αύξοντα αριθμό γιατί έγινε κάποιο λάθος και υπάρχουν δύο ασκήσεις με τον αριθμό Άρα η αμέσως προηγούμενη του Θανάση είναι η και η πιο πριν του Κώστα η Όποιος έχει πρόσβαση στο φάκελο ας διορθώσει την αρίθμηση.

Γεια σου Γιώργο.

Είναι , και άρα η κάθετη από το στην , έστω είναι η ευθεία .

Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε πως , οπότε το προσδιορίζεται ως η τομή του κύκλου με την .

Έστω η ευθεία κάθετη στην στο (ουσιαστικά πρόκειται για την ).

Ο κύκλος τέμνει την στο (το ορθόκεντρο).

Ο κύκλος τέμνει την στο .

Η κάθετη από το στην τέμνει την στο .

[Doloros]

3 σημεία-28.pngΆσκηση 28. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία ( το μέσο της το ίχνος του ύψους από την κορυφή και το μέσο του αντίστοιχα).


ΥΓ. Έβαλα στην άσκηση τον αύξοντα αριθμό γιατί έγινε κάποιο λάθος και υπάρχουν δύο ασκήσεις με τον αριθμό Άρα η αμέσως προηγούμενη του Θανάση είναι η και η πιο πριν του Κώστα η Όποιος έχει πρόσβαση στο φάκελο ας διορθώσει την αρίθμηση.

Ανάλυση

Απο τρία σημεία άσκηση 28_ok.png (34.02 KiB) Προβλήθηκε 1197 φορές

Ο κύκλος του για το διέρχεται από τα δεδομένα σημεία .

Έστω το κέντρο αυτού του κύκλου . Το αντιδιαμετρικό του είναι σημείο

του ύψους από το του . Αν το συμμετρικό του ως προς τη ,

τότε το είναι το ορθόκεντρο του , συνεπώς και το περίκεντρο του

είναι γνωστό , συμμετρικό του ως προς το . Η ακτίνα του

κύκλου είναι γνωστή και άρα γράφοντας τον κύκλο έχουμε πια

απλή κατασκευή.

Φέρνω δια του ευθεία παράλληλη στην που τέμνει τον στα .

Το συμμετρικό του ως προς το είναι το σημείο .

[george visvikis]

Άσκηση 29. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από το περίκεντρο το ορθόκεντρο και το μέσο της

[KARKAR]

Άσκηση 29. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από το περίκεντρο το ορθόκεντρο και το μέσο της

29.png (17.13 KiB) Προβλήθηκε 1150 φορές

[Doloros]

Άσκηση 29. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από το περίκεντρο το ορθόκεντρο και το μέσο της

29.png

Απο τρία σημεία άσκηση 29.png (19.78 KiB) Προβλήθηκε 1144 φορές

Φέρνω τη ευθεία στο και το συμμετρικό του ως προς την ευθεία

. Ο κύκλος τέμνει την ευθεία στα και την ευθεία ακόμα στο

.

Τη πρωτοαπάντησε ο κ. . και μάλιστα ακριβώς με το ίδιο τρόπο !

[Ορέστης Λιγνός]

Άσκηση 29. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από το περίκεντρο το ορθόκεντρο και το μέσο της

Φέρνουμε την ευθεία παράλληλη από το στην .

Το σημείο προσδιορίζεται ως η τομή του κύκλου με την .

Έστω η ευθεία κάθετη στην στο .

Ο τέμνει την στα .

[rek2]

30. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία των πλευρών του , αντιστοίχως, τα οποία τις διαιρούν σε σταθερό λόγο

[Mihalis_Lambrou]

30. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία των πλευρών του , αντιστοίχως, τα οποία τις διαιρούν σε σταθερό λόγο

Γενικότερα ας δούμε την περίπτωση όπου τα χωρίζουν τις σε λόγους , αντίστοιχα. Είναι τότε (με διανύσματα)





Λύνουμε τώρα το γραμμικό σύστημα ως προς . Θα βρούμε



το οποίο κατασκευάζεται εύκολα. Όμοια τα υπόλοιπα.

Θα ήταν ενδιαφέρον να κάνουμε μία καθαρά γεωμετρική λύση, τουλάχιστον στην περίπτωση (δεν το σκέφτηκα). Για παράδειγμα είναι γνωστό ότι τότε τα δύο τρίγωνα έχουν το ίδιο κέντρο βάρους (το δείχνει πρώτος ο Πάππος στην Συναγωγή του), οπότε αν βρούμε μία από τις κορυφές τότε οι άλλες δύο είναι άμεσες.

[KARKAR]

Άσκηση 31

Τριάδα.png (15.86 KiB) Προβλήθηκε 1076 φορές

Να βρεθούν - και με συντεταγμένες - οι άλλες δύο κορυφές του ορθογωνίου τριγώνου ,

με γνωστή τη , το σημείο στο οποίο η εφαπτομένη του περικύκλου στο , τέμνει την

προέκταση της και το σημείο , στο οποίο η διχοτόμος της τέμνει τον περίκυκλο .

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 31Να βρεθούν - και με συντεταγμένες - οι άλλες δύο κορυφές του ορθογωνίου τριγώνου ,

με γνωστή τη , το σημείο στο οποίο η εφαπτομένη του περικύκλου στο , τέμνει την

προέκταση της και το σημείο , στο οποίο η διχοτόμος της τέμνει τον περίκυκλο .

H είναι διάμετρος, οπότε έχουμε τις καθετότητες . Αν οι καθετότητες μεταφράζονται



Λύνοντας είναι

Όμοια έχουμε τις καθετότητες , που για μεταφράζονται



και λοιπά.

[rek2]

30. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία των πλευρών του , αντιστοίχως, τα οποία τις διαιρούν σε σταθερό λόγο

Γενικότερα ας δούμε την περίπτωση όπου τα χωρίζουν τις σε λόγους , αντίστοιχα.
...

H παράλληλη προς την από το , τέμνει την στο (εσωτερικά ή εξωτερικά κ.λπ., ανάλογα με τις τιμές των ) και την στο .

Ο λόγος προσδιορίζεται εύκολα από τους λόγους και είναι ίσος με κ.λπ.

[rek2]

32. Να κατασκευαστεί ισοσκελές (Μιχάλη, μη το πας παραπέρα, ...άντε μέχρι και ορθογώνιο ) τρίγωνο, από τα ίχνη των διχοτόμων του.

[george visvikis]

32. Να κατασκευαστεί ισοσκελές (Μιχάλη, μη το πας παραπέρα, ...άντε μέχρι και ορθογώνιο ) τρίγωνο, από τα ίχνη των διχοτόμων του.

Καλημέρα σε όλους!

3 σημεία-rek2.png (11.23 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές

Έστω τα ίχνη των διχοτόμων (τα στις ίσες πλευρές). Από το φέρνω ευθεία που ορίζει τη διεύθυνση της

και έστω η προβολή του στην και ημιευθεία κάθετη στην προς το μέρος των Η εφαπτομένη του κύκλου

από το τέμνει τις στα αντίστοιχα και το συμμετρικό του ως προς ορίζει την τρίτη κορυφή του τριγώνου.

[Mihalis_Lambrou]

32. Να κατασκευαστεί ισοσκελές (Μιχάλη, μη το πας παραπέρα, ...άντε μέχρι και ορθογώνιο ) τρίγωνο, από τα ίχνη των διχοτόμων του.

Κώστα, σωστά το έθεσες.

Για να καταλάβουν όσοι δεν υποψιάστηκαν τι θέλει να πει η προειδοποίηση του Κώστα, προσθέτω ότι θέλοντας και μη δεν μπορούμε να πάμε παραπέρα:

Αποδεικνύεται ότι η περίπτωση δεν επιλύεται με κανόνα και διαβήτη.

Άλλες περιπτώσεις που δεν λύνονται με κανόνα και διαβήτη είναι οι (ισοδύναμες μεταξύ τους) και και .

Για την ιστορία ας προσθέσω ότι το πρόβλημα ανακατασκευής τριγώνου του οποίου έχουν δοθεί τρία σημεία από τα α) κορυφές, β) τα "κύρια κέντρα" και γ) τα ίχνη των προηγουμένων, έχει απαντηθεί πλήρως. Δηλαδή είναι γνωστή η κατασκευή εάν και εφόσον γίνεται ενώ για τις υπόλοιπες (καμιά 25-ριά) έχει αποδειχθεί ότι δεν γίνονται με κανόνα και διαβήτη.

Το ενδιαφέρον είναι ότι η εν λόγω πλήρης απάντηση έχει γίνει αρκετά πρόσφατα ενώ με τις επιμέρους περιπτώσεις ασχολούνται οι Γεωμέτρες εδώ και 130 χρόνια, τουλάχιστον. Μέχρι πρότινος ήταν ανοικτά καμιά εικοσαριά από τις περιπτώσεις που προκύπτουν, αλλά τώρα το θέμα είναι ολοκληρωμένο.

Δεν υπάρχει αντίστοιχη εργασία (εννοώ τελική απάντηση) όταν δίνονται άλλα σημεία, όπως
π.χ. αν τα σημεία είναι εκεί που οι σεβιανές των κύριων κέντρων τέμνουν την περιγεγραμμένη περιφέρεια (παραπάνω είδαμε μερικές τέτοιες περιπτώσεις) ή την εγγεγραμμένη περιφέρεια (δεν είδαμε ακόμα τέτοια περίπτωση, αλλά θα βάλω).

Επίσης υπάρχουν σκόρπιες κατασκευές όταν τα δεδομένα σημεία περιλαμβάνουν άλλα αξιοσημείωτα κέντρα τριγώνου, όπως σημείο Gergonne, Lemoine, Brocard και λοιπά.

Προσθέτω ότι το επόμενο εξάμηνο θα διδάξω μεταπτυχιακό μάθημα για την κατεύθυνση Μαθηματικά για την Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση του Μαθηματικού Κρήτης, με τίτλο "Γεωμετρία για την Δευτεροβάθμια".

Έχω σχεδιάσει ένα απίθανο πρόγραμμα/ύλη για το μάθημα. Αργά ή γρήγορα θα το ανακοινώσω στο για να ακούσω την γνώμη των μελών, ώστε να το βελτιώσω.

Μία από τις εργασίες που θα δώσω στους μεταπτυχιακούς του μαθήματος είναι αυτό που αναφέρω τέσσερις παραγράφους παραπάνω ("Δεν υπάρχει αντίστοιχη ... ")

[KARKAR]

Τρία σημεία.png (10.44 KiB) Προβλήθηκε 923 φορές

Να κατασκευαστεί τρίγωνο του οποίου γνωρίζουμε τα μέσα των πλευρών

αντίστοιχα και το σημείο της , για το οποίο ισχύει .

[george visvikis]

Τρία σημεία.pngΝα κατασκευαστεί τρίγωνο του οποίου γνωρίζουμε τα μέσα των πλευρών

αντίστοιχα και το σημείο της , για το οποίο ισχύει .

MNS-KARKAR.png (7.44 KiB) Προβλήθηκε 915 φορές

Από το φέρνω ευθεία , που ορίζει την ευθεία των κορυφών Στη συνέχεια, επειδή

εύκολα προσδιορίζουμε αυτές τις κορυφές. Τέλος το σημείο τομής των είναι η τρίτη κορυφή

[KARKAR]

Άσκηση 34

34.png (7.79 KiB) Προβλήθηκε 904 φορές

Το είναι το μέσο της και τα σημεία των , ώστε : .

[Mihalis_Lambrou]

Άσκηση 34
είναι το μέσο της και τα σημεία των , ώστε : .

Ας παρατηρηθεί ότι η άσκηση αυτή, όπως και η προηγούμενη,

Να κατασκευαστεί τρίγωνο του οποίου γνωρίζουμε τα μέσα των πλευρών

αντίστοιχα και το σημείο της , για το οποίο ισχύει .

είναι ειδικές περιπτώσεις της Άσκησης 30 όπως γενικεύθηκε στις λύσεις παραπάνω (βλέπε ποστ # και #).

[Doloros]

Άσκηση 34
34.png Το είναι το μέσο της και τα σημεία των , ώστε : .

Φέρνω τις που τέμνονται στο ενώ η τέμνει τη στο .

Από Θ Μενελάου στα τρίγωνα με διατέμνουσες ,

.

Απο τρία σημεία Ασκηση 34.png (20.83 KiB) Προβλήθηκε 895 φορές

Με όμοιο τρόπο στο με διατέμνουσα βρίσκω :

Μετά απ’ αυτά η και θα διέρχεται από το μέσο του άρα θα τέμνει

τη στο μέσο . Θα είναι .

Δηλαδή προσδιορίζεται το σημείο και στη συνέχεια οι τέμνονται στο

. Τα υπόλοιπα απλά .

[KARKAR]

34.png (11.59 KiB) Προβλήθηκε 864 φορές

Προεκτείνοντας τις κατά αντίστοιχα , έχουμε την παράλληλη προς την

, η οποία διέρχεται από το . Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε την παράλληλη προς την ,

η οποία διέρχεται από το . Αν τώρα από τα φέρω και ,

βρίσκω την κορυφή , στη συνέχεια εύκολα τις άλλες , π.χ τη (σημείο συμμετρικό του

ως προς ) και τέλος την (π.χ ως τομή των ) .