Πρόταση διαγωνίσματος

Christos.N · #1

Θέμα Α
Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Τρία οποιαδήποτε σημεία ορίζουν πάντα μοναδικό επίπεδο.
β) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες.
γ) Αν $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ είναι πλευρές τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και $\tau$ η ημιπερίμετρός του, τότε το εμβαδόν του Ε
δίνεται από τον τύπο ${\rm E} = \sqrt {\left( {\tau - \alpha } \right)\left( {\tau - \beta } \right)\left( {\tau - \gamma } \right)}$ .
δ) Αν $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ είναι πλευρές τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και ${\alpha ^2} > {\beta ^2} + {\gamma ^2}$ , τότε $\hat {\rm A} < {90^0}$ .
ε) Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο
της υποτείνουσας επί την προβολή της πλευράς αυτής στην υποτείνουσα.
Α2. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.

Θέμα Β
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ με πλευρές ${\rm A}{\rm B} = 9$ , ${\rm B}\Gamma = 7$ και ${\rm A}\Gamma = 12$ . Αν ${\rm B}\Delta$ το ύψος του στην πλευρά ${\rm A}\Gamma$ .
Β1. Να βρείτε το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του.
Β2. Να βρείτε το μήκος της προβολής της πλευράς ${\rm B}\Gamma$ στην ${\rm A}{\rm B}$ .
Β3. Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας $\hat {\rm B}$ .

Θέμα Γ
Σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας R θεωρούμε το εγγεγραμμένο ισοσκελές τραπέζιο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ $({\rm A}{\rm B}//\Gamma \Delta )$ , με βάσεις ${\rm A}{\rm B} = {\lambda _3}$ και $\Gamma \Delta = {\lambda _6}$ .

: Καταγραφή1.PNG (12.61 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές

Γ1. Να αποδείξετε ότι ${\rm A}\Delta = {\lambda _4}$ .
Γ2. Να αποδείξετε το ύψος $\upsilon$ του τραπεζίου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ είναι ίσο με $\frac{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}R$ .
Γ3. Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ συναρτήσει του

.
Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ${\rm O}{\rm B}\Gamma \Delta$ συναρτήσει του

. .

Θέμα Δ
Στο επίπεδο $(\pi )$ θεωρούμε τετράγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ πλευράς $\alpha$ και ευθεία $(\varepsilon )$ κάθετη στο επίπεδο $(\pi )$ η οποία διέρχεται από το σημείο ${\rm A}$ . Στην ευθεία $(\varepsilon )$ παίρνουμε ευθύγραμμο τμήμα ${\rm A}{\rm E} = \alpha$ .

: κατάγραφη 2.png (7.73 KiB) Προβλήθηκε 746 φορές

Δ1. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ${\rm B}\Delta {\rm E}$ είναι ισόπλευρο πλευράς $\sqrt 2 \alpha$ .
Δ2. Να αποδείξετε ότι για την ακτίνα

του κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου ${\rm B}\Delta {\rm E}$ ισχύει $R = \sqrt {\frac{2}{3}} a$ .
Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ${\rm E}({\rm B}\Delta )$ συναρτήσει του

.(θεωρούμε το μικτόγραμμο με πλευρά το κυρτό τόξο ΒΔ) .

#2

Γειά σου Χρήστο μερακλή !
Φυσικά , μου αρέσει το 4ο θέμα

Γιώργος Απόκης · #3

Πανέμορφο τέταρτο θέμα!

#4

Christos.N έγραψε:Θέμα Δ
Στο επίπεδο $(\pi )$ θεωρούμε τετράγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ πλευράς $\alpha$ και ευθεία $(\varepsilon )$ κάθετη στο επίπεδο $(\pi )$ η οποία διέρχεται από το σημείο ${\rm A}$ . Στην ευθεία $(\varepsilon )$ παίρνουμε ευθύγραμμο τμήμα ${\rm A}{\rm E} = \alpha$ .
κατάγραφη 2.png
Δ1. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ${\rm B}\Delta {\rm E}$ είναι ισόπλευρο πλευράς $\sqrt 2 \alpha$ .
Δ2. Να αποδείξετε ότι για την ακτίνα του κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου ${\rm B}\Delta {\rm E}$ ισχύει $R = \sqrt {\frac{2}{3}} a$ .
Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν του μικτόγραμμου τριγώνου ${\rm E}({\rm B}\Delta )$ συναρτήσει του .(θεωρούμε το μικτόγραμμο με πλευρά το κυρτό τόξο ΒΔ) .

Ωραίο θέμα!

: Stereo-D.png (24.2 KiB) Προβλήθηκε 608 φορές

Δ.1 Αφού η

είναι κάθετη στο επίπεδο θα είναι κάθετη σε κάθε ευθεία του επιπέδου που διέρχεται από το ίχνος της, άρα τα

ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα $AEB, AE\Delta, AB\Delta$ είναι ίσα, οπότε το τρίγωνο $EB\Delta$ είναι ισόπλευρο με πλευρά $a\sqrt 2$

Δ.2 Αν

είναι η ζητούμενη ακτίνα, τότε $\displaystyle{EB = R\sqrt 3 \Leftrightarrow a\sqrt 2 = R\sqrt 3 \Leftrightarrow }$ $\boxed{R = a\sqrt {\frac{2}{3}} }$

Δ.3 Αν E_1

είναι το εμβαδόν του κυκλικού τομέα $O\overset\frown{B\Delta}$ και $(OB\Delta), (EB\Delta)$ τα εμβαδά των τριγώνων $OB\Delta, EB\Delta$ αντίστοιχα,

τότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι: $\displaystyle{S = (EB\Delta ) + {E_1} - (OB\Delta ) = \frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{\frac{{2{a^2}\pi }}{3} \cdot {{120}^0}}}{{{{360}^0}}} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{2{a^2}}}{3}\eta \mu {120^0} = }$

$\displaystyle{ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} + \frac{{2{a^2}\pi }}{9} - \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6} \Leftrightarrow }$ $\boxed{S=\frac{a^2}{9}(3\sqrt 3+2\pi)}$

Πρόταση διαγωνίσματος

Πρόταση διαγωνίσματος

Re: Πρόταση διαγωνίσματος

Re: Πρόταση διαγωνίσματος

Re: Πρόταση διαγωνίσματος

Μέλη σε σύνδεση