Τρίγωνο 34.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 201.png (8.28 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ και ο περίκυκλος αυτού. Η εφαπτομένη στο

τέμνει την
προέκταση της $B\Gamma$ στο

και η διχοτόμος της γωνίας $\angle \Gamma PA$ τέμνει
την

στο $\Delta$ ενώ την $A\Gamma$ στο

.
Δείξτε ότι $\dfrac{P\Delta }{PE}=\sqrt{\dfrac{\Delta B}{E\Gamma }}$ .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:201.png

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ και ο περίκυκλος αυτού. Η εφαπτομένη στο τέμνει την
προέκταση της $B\Gamma$ στο και η διχοτόμος της γωνίας $\angle \Gamma PA$ τέμνει
την στο $\Delta$ ενώ την $A\Gamma$ στο .
Δείξτε ότι $\dfrac{P\Delta }{PE}=\sqrt{\dfrac{\Delta B}{E\Gamma }}$ .

: Τρίγωνο 34.png (27.01 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

Επειδή $\widehat {{a_3}} = \widehat {PAB} = \widehat C$ θα έχω

$\vartriangle APD \approx \vartriangle CPE \Rightarrow \dfrac{{AP}}{{CP}} = \dfrac{{PD}}{{PE}} = \dfrac{{AD}}{{CE}} \Rightarrow \dfrac{{D{P^2}}}{{E{P^2}}} = \dfrac{{AP \cdot AD}}{{PC \cdot CE}}$ . Αρκεί λοιπόν να δείξω :

$AP \cdot AD = PC \cdot DB\,\,(1)$ Αλλά λόγω θεωρήματος διχοτόμου στο

$\vartriangle APB$ και δύναμης του

ως προς το κύκλο έχω

$P{A^2} = PB \cdot PC \Leftrightarrow \dfrac{{PA}}{{PB}} = \dfrac{{PC}}{{PA}} \Leftrightarrow \dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{PC}}{{AP}} \Leftrightarrow AP \cdot AD = PC \cdot DB\,\,(2)$ .

KARKAR · #3

: Ριζικός λόγος.png (23 KiB) Προβλήθηκε 309 φορές

$\dfrac{PD}{PE}=\dfrac{AD}{EC}$ από τα όμοια ADP ,CEP

.

Επίσης $\dfrac{PD}{PE}=\dfrac{DB}{AE}$ από τα όμοια PDB ,PEA

. Πολλαπλασιάζοντας :

$\dfrac{PD^2}{PE^2}=\dfrac{AD\cdot BD}{AE \cdot EC} =\dfrac{BD}{EC}$ , αφού AD=AE

.

Τρίγωνο 34.

Τρίγωνο 34.

Re: Τρίγωνο 34.

Re: Τρίγωνο 34.

Μέλη σε σύνδεση