Εγγράψιμο και λόγος

Γιώργος Μήτσιος · #1

Γεια σας και καλή Κυριακή . Προσωπική Σύνθεση :

: 21-5-17 Εγγράψιμο και λόγος.PNG (5.12 KiB) Προβλήθηκε 703 φορές

Στο ορθογώνιο ABCD

του σχήματος είναι CD=5 ..AD=AE=ZB=2

το μέσον της

και

η τομή των AM,DZ

.

1) Να εξεταστεί αν το DAEH

είναι εγγράψιμο και

2) Να βρεθεί ο αριθμός $p=\dfrac{\left ( ABCD \right )}{\left ( DEH \right )}$ .
Μερικοί τον θεωρούν (μη) τυχερό , κάποιοι τον βλέπουν ως ..Θύρα , μα για όλους (μας) είναι πρώτος!

Ευχαριστώ , Γιώργος .

Ορέστης Λιγνός · #2

Γεια σου Γιώργο.

α) Εύκολα $ZE=1, ZA=3, ZD=\sqrt{AD^2+AZ^2}=\sqrt{13}$ (1).

Έστω $K \equiv ZH \cup CB$ .

Από τα όμοια $\vartriangle KZB, \vartriangle KCD$ , έχουμε $\dfrac{BK}{CK}=\dfrac{2}{5} \mathop \Rightarrow \limits^{CB=2} BK=\dfrac{4}{3}$ (2).

Από το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο $\vartriangle AMB$ με διατέμνουσα $\overline{HZK}$ έχουμε εύκολα $\dfrac{AH}{HM}=\dfrac{6}{7}$ (3).

Είναι $AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$ . (4)

Από την (3), έχουμε $\dfrac{6}{7}=\dfrac{AH}{HM}=\dfrac{AM-HM}{HM}=\dfrac{AM}{HM}-1=\dfrac{\sqrt{26}}{HM}-1$

$\Rightarrow AH=\dfrac{6\sqrt{26}}{13}, HM=\dfrac{7\sqrt{26}}{13}$ (5).

Είναι $\cos \widehat{HAZ}=\dfrac{AB}{AM} \mathop = \limits^{(4)}\dfrac{5\sqrt{26}}{26}$ , οπότε $\cos \widehat{HAZ}=\dfrac{5\sqrt{26}}{26}$ (6).

Με Ν. Συνημιτόνων στο $\vartriangle HAZ$ και χρησιμοποιώντας $AH=\dfrac{6\sqrt{26}}{13}, AZ=3,\cos \widehat{HAZ}=\dfrac{5\sqrt{26}}{26}$ παίρνουμε
$HZ=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$ (7).

Από (1), (7) $ZH \cdot ZD=3=ZE \cdot ZA \Rightarrow AEHD$ εγγράψιμο.

β) Με Ν. Συνημιτόνων στο $\vartriangle AHE$ και χρησιμοποιώντας ότι $AH=\dfrac{6\sqrt{26}}{13}, AE=2, \cos \widehat{HAE}=\dfrac{5\sqrt{26}}{26}$ , έχουμε $HE=\dfrac{10\sqrt{13}}{13} \mathop \Rightarrow \limits^{\textnormal{\gr Π.Θ. στο } \vartriangle DHE} DH=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$ .

Εύκολα πλέον $(DHE)=\dfrac{DH \cdot HE}{2}=\dfrac{10}{13}=\dfrac{(ABCD)}{13}$ , οπότε p=13

.

Τώρα

Ιστοσελίδα · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας και καλή Κυριακή . Προσωπική Σύνθεση :

Στο ορθογώνιο του σχήματος είναι

το μέσον της και η τομή των .

1) Να εξεταστεί αν το είναι εγγράψιμο και

2) Να βρεθεί ο αριθμός $p=\dfrac{\left ( ABCD \right )}{\left ( DEH \right )}$ .
Μερικοί τον θεωρούν (μη) τυχερό , κάποιοι τον βλέπουν ως ..Θύρα , μα για όλους (μας) είναι πρώτος!

Ευχαριστώ , Γιώργος .

Καλημέρα Γιώργο και Ορέστη.

: Εγγράψιμο-και-λόγος.png (29.4 KiB) Προβλήθηκε 662 φορές

1) Αν $ZK \bot DE$ , τότε εύκολα $EK = KZ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},\,DE = 2\sqrt 2$ και από $\dfrac{{ZK}}{{KD}}\mathop = \limits^{D\widehat KZ = A\widehat BM = {{90}^ \circ }} \dfrac{{MB}}{{BA}} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow \triangleleft DKZ \sim \triangleleft ABM$ , οπότε DAEH

εγγράψιμο.

2) Αφού, πλέον, $E\widehat HD = {90^ \circ }$ , από $\triangleleft DEH \sim \triangleleft AMB \Rightarrow EH = \dfrac{{2\sqrt {13} }}{{13}},\,DH = \dfrac{{10\sqrt {13} }}{{13}}$ , οπότε $p = \dfrac{{\left( {ABCD} \right)}}{{\left( {DEH} \right)}} = \cdots = 13$

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας και καλή Κυριακή . Προσωπική Σύνθεση :
21-5-17 Εγγράψιμο και λόγος.PNG
Στο ορθογώνιο του σχήματος είναι

το μέσον της και η τομή των .

1) Να εξεταστεί αν το είναι εγγράψιμο και

2) Να βρεθεί ο αριθμός $p=\dfrac{\left ( ABCD \right )}{\left ( DEH \right )}$ .
Μερικοί τον θεωρούν (μη) τυχερό , κάποιοι τον βλέπουν ως ..Θύρα , μα για όλους (μας) είναι πρώτος!

Ευχαριστώ , Γιώργος .

1. Έστω

τα σημεία τομής της ευθείας

με τις ευθείες BC,AD

και

το

σημείο τομής των ευθειών $HZ\,,\,BC$ . Θέτω , BS = y,CT = u,AP = v

Θα ισχύουν

από τις ομοιότητες $\vartriangle ASD \approx \vartriangle BZS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle AEP \approx \vartriangle BET$ , λόγω H -

δέσμης:

: Εγγράψιμο και λόγος_2_MITSIOS.png (21.53 KiB) Προβλήθηκε 636 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{AZ}}{{ZB}} = \frac{{AD}}{{BS}}\,\,(1) \hfill \\ \frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AP}}{{BT}}\,\,(2) \hfill \\ \frac{{DA}}{{AP}} = \frac{{MT}}{{MS}}\,\,(3) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{3}{2} = \frac{2}{y} \hfill \\ \frac{2}{3} = \frac{v}{{u + 2}} \hfill \\ \frac{2}{v} = \frac{{y + 1}}{{u + 1}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{v = 3}$ . Τώρα όμως το τρίγωνο APZ

θα είναι

ορθογώνιο και ισοσκελές , οπότε το

είναι ορθόκεντρο του $\vartriangle DPZ$ και έτσι

$PH \bot DH$ και το τετράπλευρο DAEH

είναι εγγράψιμο.

2. Από την ομοιότητα των τριγώνων $AMB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DEH$ έχω :

$\dfrac{{(ABM)}}{{(HDE)}} = \dfrac{{A{M^2}}}{{D{E^2}}} = \dfrac{{26}}{8} = \dfrac{{13}}{4}\,\,(4)$ και αφού $\dfrac{{(ABCD)}}{{(ABM)}} = \dfrac{{10}}{{\dfrac{5}{2}}} = 4\,\,(5)$ πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη και προκύπτει $\boxed{p = 13}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας και καλή Κυριακή . Προσωπική Σύνθεση :
21-5-17 Εγγράψιμο και λόγος.PNG
Στο ορθογώνιο του σχήματος είναι

το μέσον της και η τομή των .

1) Να εξεταστεί αν το είναι εγγράψιμο και

2) Να βρεθεί ο αριθμός $p=\dfrac{\left ( ABCD \right )}{\left ( DEH \right )}$ .
Μερικοί τον θεωρούν (μη) τυχερό , κάποιοι τον βλέπουν ως ..Θύρα , μα για όλους (μας) είναι πρώτος!

Ευχαριστώ , Γιώργος .

Με $\displaystyle{PZ \bot AB \Rightarrow PZ//MB \Rightarrow \frac{{PZ}}{1} = \frac{3}{5} \Rightarrow \boxed{PZ = \frac{3}{5}}}$ και $\displaystyle{PZ//DA \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{{\frac{3}{5}}}{2} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{3}{{10}}}$

Επειδή $\displaystyle{x + y = \sqrt {13} }$ έχουμε $\displaystyle{x = \frac{{3\sqrt {13} }}{3},y = \frac{{10\sqrt {13} }}{3}}$ κι εύκολα έχουμε $\displaystyle{x\left( {x + y} \right) = ZE \cdot ZA = 3 \Rightarrow DAEH}$ εγγράψιμο

$\displaystyle{\frac{{\left( {DEZ} \right)}}{{\left( {DEH} \right)}} = \frac{{x + y}}{y} = \frac{{13}}{{10}} \Rightarrow \frac{{\frac{1}{5}\left( {DAB} \right)}}{{\left( {DEH} \right)}} = \frac{{13}}{{10}} \Rightarrow \frac{{\frac{1}{{10}}\left( {ABCD} \right)}}{{\left( {DEH} \right)}} = \frac{{13}}{{10}} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {ABCD} \right)}}{{\left( {DEH} \right)}} = 13}}$

: EKL.png (11.26 KiB) Προβλήθηκε 614 φορές

Εγγράψιμο και λόγος

Εγγράψιμο και λόγος

Re: Εγγράψιμο και λόγος

Re: Εγγράψιμο και λόγος

Re: Εγγράψιμο και λόγος

Re: Εγγράψιμο και λόγος

Μέλη σε σύνδεση