Διχοτόμος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1005
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Διχοτόμος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Μάιος 18, 2017 11:36 pm

Οι κύκλοι με κέντρα O και O' εφάπτονται εσωτερικά στο M.

Η χορδή AB είναι εφαπτόμενη του κύκλου O' στο σημείο C.

Να δείξετε ότι η MC είναι διχοτόμος της γωνίας \widehat{AMB}.

DIXOTOMOS.png
DIXOTOMOS.png (25.21 KiB) Προβλήθηκε 294 φορές


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4865
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διχοτόμος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Doloros » Παρ Μάιος 19, 2017 12:41 am

Ορέστη καλημέρα. Ωραία η άσκηση αλλά "πολύ παιγμένη". Ας δούμε πρώτα μερικές λύσεις και ...βλέπουμε .

Επειδή δεν βλέπω όμως "κίνηση" βάζω μια πουι νομίζω δεν "κυκλοφορεί"

Διχοτόμος_Ορέστη_1.png
Διχοτόμος_Ορέστη_1.png (26.15 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές


Φέρνω την κοινή εφαπτομένη στο M που τέμνει την BC στο S και την εφαπτομένη

του μεγάλου κύκλου στο D που τέμνει την προηγούμενη εφαπτομένη στο T.

Επειδή τα τρίγωνα SMC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TMD είναι ισοσκελή με κορφές τα S,T θα είναι

AB//TD άρα το D μέσο του τόξου {\rm T}o\xi AB οπότε \boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}}.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1112
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Διχοτόμος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Μάιος 19, 2017 1:55 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Οι κύκλοι με κέντρα O και O' εφάπτονται εσωτερικά στο M.

Η χορδή AB είναι εφαπτόμενη του κύκλου O' στο σημείο C.

Να δείξετε ότι η MC είναι διχοτόμος της γωνίας \widehat{AMB}.

DIXOTOMOS.png



Οι κόκκινες γωνίες ως ίσες με την μπλε η κάθε μια (υπό χορδής-εφαπτόμενης) είναι ίσες.Άρα \displaystyle{AB//EZ \Rightarrow \boxed{x = y}}

διχοτόμος.png
διχοτόμος.png (12.71 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4865
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διχοτόμος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Doloros » Παρ Μάιος 19, 2017 2:16 pm

Μια παρεμφερή με την προηγούμενη ανάρτησή μου.

Διχοτόμος_Ορέστη.png
Διχοτόμος_Ορέστη.png (37.03 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές


Αν η κοινή εφαπτομένη στο M κόψει την ευθεία AB στο S , το \vartriangle SMC είναι

ισοσκελές. Ισχύουν τα παρακάτω :

\widehat \theta  = \widehat {{\theta _1}} ( υπό χορδής κι εφαπτομένης ) . \widehat \omega  = \widehat {{\theta _1}} + \widehat {{a_1}} ( εξωτερική στο \vartriangle CMB) και άρα

\widehat \omega  = \widehat {{a_1}} + \widehat \theta \,\,(1). Αλλά από το ισοσκελές τρίγωνο \vartriangle SMC έχω \widehat \omega  = \widehat {{a_2}} + \widehat \theta \,\,(2).

Από τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) έχω \widehat {{a_1}} + \widehat \theta  = \widehat {{a_2}} + \widehat \theta  \Rightarrow \boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}}


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3672
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Διχοτόμος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Μάιος 19, 2017 2:52 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Οι κύκλοι με κέντρα O και O' εφάπτονται εσωτερικά στο M.Η χορδή AB είναι εφαπτόμενη του κύκλου O' στο σημείο C.Να δείξετε ότι η MC είναι διχοτόμος της γωνίας \widehat{AMB}.


Στο σχήμα του Ορέστη. Τα ισοσκελή (λόγω των ακτινών) τρίγωνα \vartriangle {O}'MC,\vartriangle OMD με κοινή γωνία «βάσης» τους \angle {O}'MC\equiv \angle OMD είναι όμοια

οπότε OD\parallel O'C\mathop  \Rightarrow \limits^{O'C \bot AB} OD \bot AB\mathop  \Rightarrow \limits^{AB\,\chi o\rho \delta \eta \,\,\tau o\upsilon \,\,\left( O \right)} D το μέσο του τόξου AB και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 448
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Διχοτόμος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Παρ Μάιος 19, 2017 3:07 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Οι κύκλοι με κέντρα O και O' εφάπτονται εσωτερικά στο M.

Η χορδή AB είναι εφαπτόμενη του κύκλου O' στο σημείο C.

Να δείξετε ότι η MC είναι διχοτόμος της γωνίας \widehat{AMB}.

DIXOTOMOS.png


Εναλλακτικά, εκτός φακέλου:

Η ομοιοθεσία με κέντρο το M που στέλνει τον μικρό κύκλο στον μεγάλο στέλνει το O' στο O και το C στο D.

Άρα οι O'C και OD είναι ομοιόθετες, δηλαδή παράλληλες.

Λόγω εφαπτομένης είναι O'C\perp AB, άρα είναι και OD\perp AB. Δηλαδή το απόστημα της χορδής AB βρίσκεται στην OD, άρα το D είναι το μέσο του τόξου AB και το ζητούμενο έπεται.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5409
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Διχοτόμος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από george visvikis » Σάβ Μάιος 20, 2017 11:19 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Οι κύκλοι με κέντρα O και O' εφάπτονται εσωτερικά στο M.

Η χορδή AB είναι εφαπτόμενη του κύκλου O' στο σημείο C.

Να δείξετε ότι η MC είναι διχοτόμος της γωνίας \widehat{AMB}.

DIXOTOMOS.png


Παραλλαγή της λύσης του Μιχάλη. Αν φέρω την κοινή εφαπτομένη των κύκλων, οι πράσινες γωνίες είναι προφανώς ίσες.
Διχοτόμος..png
Διχοτόμος..png (18.15 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές

\displaystyle{EH||AB \Leftrightarrow \frac{{AE}}{{BH}} = \frac{{AM}}{{BM}} \Rightarrow \frac{{AE \cdot AM}}{{BH \cdot BM}} = \frac{{A{M^2}}}{{B{M^2}}} \Leftrightarrow \frac{{A{C^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{M^2}}}{{B{M^2}}} \Leftrightarrow } \boxed{\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{BM}}} και το ζητούμενο έπεται.



Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες