Μέσο ευθυγράμμου τμήματος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1065
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Μέσο ευθυγράμμου τμήματος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Ορέστης Λιγνός » Πέμ Μάιος 18, 2017 10:20 am

Σε τρίγωνο \vartriangle ABC, με AB \neq AC, ο εγγεγραμμένος κύκλος τέμνει τις πλευρές BC,CA,AB στα D,E,F αντίστοιχα.

Η AD τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο P. Η EF τέμνει την κάθετη από το P στην AD στο Q.

Η AQ τέμνει την DE στο X, και την DF στο Y.

Να δείξετε ότι το A είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος XY.


MESO.png
MESO.png (19.68 KiB) Προβλήθηκε 345 φορές


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5624
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέσο ευθυγράμμου τμήματος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από george visvikis » Πέμ Μάιος 18, 2017 11:54 am

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Σε τρίγωνο \vartriangle ABC, με AB \neq AC, ο εγγεγραμμένος κύκλος τέμνει τις πλευρές BC,CA,AB στα D,E,F αντίστοιχα.

Η AD τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο P. Η EF τέμνει την κάθετη από το P στην AD στο Q.

Η AQ τέμνει την DE στο X, και την DF στο Y.

Να δείξετε ότι το A είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος XY.


MESO.png


Γεια σου Ορέστη!
Μέσο τμήματος.png
Μέσο τμήματος.png (26.12 KiB) Προβλήθηκε 327 φορές

Το κλειδί είναι να δειχθεί ότι το αντιδιαμετρικό του D είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ADQ.
Η λύση αργότερα αν δεν απαντηθεί.

edit: Άρση απόκρυψης. Από λάθος εκτίμηση, μου φάνηκε απλό να δειχθεί ότι H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ADQ. Λόγω ανειλημμένων υποχρεώσεων δεν πρόλαβα να το επανεξετάσω. Αν έχω κάτι θα επανέλθω.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Παρ Μάιος 19, 2017 2:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 497
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Μέσο ευθυγράμμου τμήματος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Πέμ Μάιος 18, 2017 3:24 pm

Μέσο Ευθυγράμμου τμήματος.png
Μέσο Ευθυγράμμου τμήματος.png (35.4 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές

Έστω πως η FE και η PQ τέμνουν την BC στο S και στο T αντίστοιχα. Ακόμα έστω R το σημείο τομής της AD με την FE.

Το S ανήκει προφανώς στην πολική του A, άρα και το A ανήκει στην πολική του S. Ταυτόχρονα όμως ανήκει και το D στην πολική του S, άρα η πολική του S είναι η AD.

Άρα οι εφαπτομένες από το S στον εγγεγραμμένο κύκλο του ABC είναι οι SD και SP, καθώς το P είναι το σημείο τομής της AD με τον εγγεγραμμένο κύκλο του ABC. Επομένως SP=SD.

Με άλλα λόγια στο ορθογώνιο τρίγωνο DPT έχουμε πως SP=SD, άρα η SP είναι διάμεσος του DPT, δηλαδή ST=SD.

Από το αρμονικό τετράπλευρο PFDE, έχουμε πως (A, R, P, D)=-1. Άρα η δέσμη QA, QR, QP, QD είναι αρμονική.

Όμως οι QP, QR, QD "κόβουν" από την BC ίσα τμήματα (ST=SD). Από γνωστό λήμμα λοιπόν έχουμε πως BC//QA.

Από το αρμονικό τετράπλευρο PFDE, έχουμε ακόμα πως (S, R, F, E)=-1. Άρα η δέσμη DS, DP, DF, DE είναι αρμονική.

Όμως έχουμε πως QA//DS, άρα οι DP, DF, DE "κόβουν" από την QA ίσα τμήματα. Έχουμε δηλαδή πως AX=AY.

Edit: Προστέθηκε το σχήμα.
τελευταία επεξεργασία από Διονύσιος Αδαμόπουλος σε Πέμ Μάιος 18, 2017 5:34 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέσο ευθυγράμμου τμήματος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Doloros » Πέμ Μάιος 18, 2017 3:45 pm

Συνοπτικά για την ώρα με βάση το πιο κάτω σχήμα :

Μέσο τμήματος.png
Μέσο τμήματος.png (54.22 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές



Οι δέσμες (A.AS,AD,AB,AC)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(D.S,T,F,E)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(M.D,P,T,A) είναι αρμονικές.

( Για την πρώτη όθεν και για τη δεύτερη εδώ)

Η AD είναι συμμετροδιάμεσος στο \vartriangle DFE και το APMQ εγγράψιμο , με συνέπεια

\widehat {{a_6}} + \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}} + \widehat {{a_7}} = \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat \phi  \Rightarrow XY//BC . Αλλά η δέσμη (D.S,T,F,E)

δηλαδή η δέσμη (D.DS,DY,DA,DX) είναι αρμονική , οπότε AX = AY.

Προφανώς η παραλληλία των XY και BC οδηγεί και σε άλλες διαφορετικές λύσεις.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3685
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Μέσο ευθυγράμμου τμήματος

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Μάιος 20, 2017 12:14 am

george visvikis έγραψε:
Ορέστης Λιγνός έγραψε:Σε τρίγωνο \vartriangle ABC, με AB \neq AC, ο εγγεγραμμένος κύκλος τέμνει τις πλευρές BC,CA,AB στα D,E,F αντίστοιχα.Η AD τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στο P. Η EF τέμνει την κάθετη από το P στην AD στο QAQ τέμνει την DE στο X, και την DF στο Y.Να δείξετε ότι το A είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος XY.

Γεια σου Ορέστη!Μέσο τμήματος.png
Το κλειδί είναι να δειχθεί ότι το αντιδιαμετρικό του D είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ADQ.
Η λύση αργότερα αν δεν απαντηθεί.
edit: Άρση απόκρυψης. Από λάθος εκτίμηση, μου φάνηκε απλό να δειχθεί ότι H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ADQ. Λόγω ανειλημμένων υποχρεώσεων δεν πρόλαβα να το επανεξετάσω. Αν έχω κάτι θα επανέλθω.


Για να μην μείνει σε εκκρεμότητα η όμορφη σκέψη του Γιώργου για το ορθόκεντρο ...

Έστω H\equiv PQ\cap \left( I \right),H\ne P . Τότε με \angle HPD = {90^0} \Rightarrow HD διάμετρος του \left( I \right) \Rightarrow \boxed{HID \bot BC}:\left( 1 \right).

Από το εγγεγραμμένο στον \left( I \right) μη κυρτό εκφυλισμένο εξάγωνο PHEEFD προκύπτει σύμφωνα με το
Θεώρημα του Pascal ότι τα σημεία τομής των απέναντι πλευρών του είναι συνευθειακά, δηλαδή τα Q\equiv PH\cap EF,Y\equiv HE\cap FD,A\equiv EE\cap DP είναι συνευθειακά και συνεπώς το Y (όπως ορίστηκε) ταυτίζεται με το σημείο τομής της DF με την AQ
Μέσο τμήματος.png
Μέσο τμήματος.png (33.71 KiB) Προβλήθηκε 197 φορές

Αν T\equiv AH\cap DQ στο μη κυρτό εκφυλισμένο εξάγωνο FFEHTD επειδή τα σημεία A\equiv FF\cap HT,Q\equiv FE\cap TD,Y\equiv EH\cap DF είναι συνευθειακά σύμφωνα με το
αντίστροφο του Θεωρήματος του Pascal το εν λόγω το εξάγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κωνική τομή και με F,H,E,D σημεία του \left( I \right) με AF εφαπτομενικό του τμήμα προκύπτει ότι και T \in \left( I \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{HD\,\,\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \tau \rho o\varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,\left( I \right)} \angle HTD = {90^0}\mathop  \Rightarrow \limits^{QP \bot AD} H πράγματι το ορθόκεντρο του τριγώνου \vartriangle DAQ \Rightarrow DH \bot AQ\mathop  \Rightarrow \limits^{DH \bot BC} AQ \equiv XAQ\parallel BC \Rightarrow  \ldots \boxed{AX = AE = AF = AY} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ. Εναλλακτικά (επίσης από το Θεώρημα του Pascal… )προκύπτει ότι η FH διέρχεται από το X και συνεπώς το τετράπλευρο XEFY είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου XY (αφού \angle YEX=\angle YFX={{90}^{0}} ) με κέντρο το μέσο της XY που είναι προφανώς το A αφού AF=AE (εφαπτομενικά τμήματα στον \left( I \right) )


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης