Εμβαδόν τραπεζίου 2

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2946
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Εμβαδόν τραπεζίου 2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Απρ 20, 2017 6:46 pm

trapezio.png
trapezio.png (22.14 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές
Δίνεται τραπέζιο ABCD\,(AB//CD), με E μέσο της AD και O \equiv BD \cap CE. Να βρεθεί το (ABCD) αν (OBE) = 6(OCD) = 24


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8566
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εμβαδόν τραπεζίου 2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από KARKAR » Πέμ Απρ 20, 2017 8:36 pm

Ναννοτεχνολογία.png
Ναννοτεχνολογία.png (11.91 KiB) Προβλήθηκε 186 φορές
Προεκτείνοντας την CE μέχρι το T , είναι : \dfrac{(DOC)}{(TOB)}=\dfrac{b^2}{(a+b)^2} .

Επίσης : \dfrac{(TOB)}{(EOB)} =\dfrac{OT}{OE}=\dfrac{OE+EC}{OE}=\dfrac{2(a+b)}{a} .

Με πολλαπλασιασμό των παραπάνω προκύπτει : \dfrac{(DOC)}{(EOB)}=\dfrac{2b^2}{a(a+b)} .

Αλλά ο λόγος αυτός ισούται με \dfrac{1}{6} και λύνοντας βρίσκουμε a=3b .

Αν h το ύψος του τραπεζίου , τότε το ύψος του DOC είναι \dfrac{h}{5} , οπότε :

\dfrac{b}{2}\cdot\dfrac {h}{5}=4 , δηλαδή : b\cdot h=40 . Συνεπώς : E= \dfrac{a+b}{2}\cdot h=2bh=80


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4863
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν τραπεζίου 2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Doloros » Πέμ Απρ 20, 2017 9:47 pm

Έστω S το σημείο τομής των ευθειών BA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CS. Φέρνω από το A παράλληλη

στην DB που τέμνει την SC στο P. Θέτω AB = a\,\,,\,\,DC = SA = b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{\frac{a}{b} = x,\,\,x > 0}

Προφανώς (PSA) = (OCD) = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(EDO) = (EAP) = T. Θα ισχύουν :

Εμβαδόν τραπεζίου 2 Nannos_a_tropos.png
Εμβαδόν τραπεζίου 2 Nannos_a_tropos.png (34.86 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές


\left\{ \begin{gathered}
  \frac{{(EAB)}}{{(PSA)}} = \frac{{AB}}{{AS}} \hfill \\
  \frac{{(OSB)}}{{(ODC)}} = \frac{{S{B^2}}}{{D{C^2}}} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  \frac{{T + 24}}{{T + 4}} = x \hfill \\
  \frac{{2T + 52}}{4} = {(x + 1)^2} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{x = 3}. Μετά εύκολα έχω : \left\{ \begin{gathered}
  T = 6 \hfill \\
  (DAB) = 60 \hfill \\
  (DBC) = 20 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right. \Rightarrow (ABCD) = 80


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1110
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εμβαδόν τραπεζίου 2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Απρ 21, 2017 11:33 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:trapezio.pngΔίνεται τραπέζιο ABCD\,(AB//CD), με E μέσο της AD και O \equiv BD \cap CE. Να βρεθεί το (ABCD) αν (OBE) = 6(OCD) = 24


Με \displaystyle{M} μέσον της \displaystyle{BD} είναι

\displaystyle{EM//AB//CD \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{{EM}}{{CD}} = \frac{{\frac{m}{2}}}{n} \Rightarrow \frac{y}{{x + 2y}} = \frac{m}{{2\left( {m + n} \right)}} \Rightarrow \frac{{OM}}{{OB}} = \frac{m}{{2\left( {m + n} \right)}} \Rightarrow \frac{S}{{24}} = \frac{m}{{2\left( {m + n} \right)}}}

Άρα \displaystyle{\boxed{S = \frac{{12m}}{{m + n}}}(1)}.Ακόμη, \displaystyle{\vartriangle OEM \simeq \vartriangle OCD \Rightarrow \frac{S}{4} = {\left( {\frac{{EM}}{{CD}}} \right)^2} \Rightarrow S = 4{\left( {\frac{{\frac{m}{2}}}{n}} \right)^2} \Leftrightarrow \boxed{S = {{\left( {\frac{m}{n}} \right)}^2}}(2)}

Από \displaystyle{(1)}, \displaystyle{(2)} παίρνουμε \displaystyle{{m^2} + nm - 12{n^2} = 0} με δεκτή ρίζα \displaystyle{\boxed{m = 3n}} οπότε από την \displaystyle{(2)} έχουμε

\displaystyle{S = 9 \Rightarrow \left( {MEB} \right) = 15 \Rightarrow \left( {DEB} \right) = 30 \Rightarrow \left( {DAB} \right) = 60 \Rightarrow 3n \cdot \upsilon  = 120 \Rightarrow \frac{{n \cdot \upsilon }}{2} = 20 \Rightarrow \left( {DCB} \right) = 20} με \displaystyle{\upsilon } ύψος του τραπεζίου

Συνεπώς \displaystyle{\boxed{\left( {ABCD} \right) = 60 + 20 = 80}}

ET2.png
ET2.png (10.22 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές



Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης