Ημικύκλια

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 567.png (10.33 KiB) Προβλήθηκε 489 φορές

Στο παραπάνω σχήμα το

είναι κέντρο του μεγάλου ημικυκλίου ακτίνας R=6

και η

εφαπτομένη του μικρού, στο σημείο $\Gamma$ . Υπολογίστε το εμβαδόν
του τριγώνου $\Gamma EZ$ .

Ορέστης Λιγνός · #2

Έστω

.

Είναι $\widehat{ECA}+\widehat{OCB}=90^0 \Leftrightarrow \widehat{EAC}=\widehat{OCB}=\widehat{CAB}$ , άρα η

διχοτομεί την γωνία $\widehat{EAB}$ .

Ακόμη, $BC^2=AB \cdot BO=72 \Leftrightarrow BC=6\sqrt{2}$

Με Θ.Διχοτόμου παίρνουμε $\dfrac{EC}{6\sqrt{2}}=\dfrac{x}{12} \Leftrightarrow EC=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}$ .

Με Π.Θ., $AC=\dfrac{x\sqrt{6}}{2}$ και εύκολα $\sin{\phi}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ και $\cos \phi=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ .

Άρα, $\displaystyle \dfrac{EB}{12}=\sin \widehat{EAB}=\sin 2\phi=2\sin \phi \cos \phi=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \Leftrightarrow EB=8\sqrt{2}, \, x=4$ .

Άρα, $EC=2\sqrt{2}$ .

Προφανώς $ZA=ZB=6\sqrt{2}$ .

Το Θ.Πτολεμαίου για το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ZEAB

θα δώσει τελικά $EZ=8-2\sqrt{2}$ .

Τέλος, $\widehat{ZEC}=\widehat{ZEB}=\widehat{ZAB}=45^0$ .

Έτσι, $(ZEC)=\dfrac{ZE \cdot EC \sin \widehat{ZEC}}{2}=8-2\sqrt{2} \Leftrightarrow \boxed{(ZEC)=8-2\sqrt{2}}$ .

: embado.png (24.32 KiB) Προβλήθηκε 448 φορές

Ιστοσελίδα · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Στο παραπάνω σχήμα το είναι κέντρο του μεγάλου ημικυκλίου ακτίνας
και η εφαπτομένη του μικρού, στο σημείο $\Gamma$ . Υπολογίστε το εμβαδόν
του τριγώνου $\Gamma EZ$ .

Καλημέρα!

: Ημικύκλια.png (53.89 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές

Έστω ${\rm A}{\rm K} = {\rm K}{\rm O} = 3,\,{\rm Z}\Delta \bot {\rm B}{\rm E}\,\& \,\Lambda \equiv {\rm Z}{\rm O} \cap {\rm B}{\rm E}$

Από δύναμη σημείου και Θαλή: ${\rm B}\Gamma = 3\Gamma {\rm E} = 6\sqrt 2$ και απ’ το εγγράψιμο $\Gamma \Lambda {\rm O}{\rm K}:{\rm B}\Lambda = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{2}$

Από Π.Θ. στο $\triangleleft {\rm B}{\rm O}\Lambda$ και από τα όμοια $\triangleleft {\rm B}{\rm O}\Lambda , \triangleleft {\rm Z}\Delta \Lambda \Rightarrow {\rm Z}\Delta = 4\sqrt 2 - 2$

Έτσι, $(\Gamma {\rm E}{\rm Z}) = \dfrac{{\Gamma {\rm E} \cdot {\rm Z}\Delta }}{2} = 8 - 2\sqrt 2 \,\tau .\mu .$

#4

Έστω

το κέντρο του μικρού ημικυκλίου και T,H

οι προβολές των C,E

στην

. Επειδή τα T,B

αρμονικά συζυγή των O,A

θα έχω

$\dfrac{{OT}}{{OB}} = \dfrac{{AT}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{{OT}}{6} = \dfrac{{6 - OT}}{{12}} \Rightarrow \boxed{OT = 2}\,\,(1)$ . Ακόμα $\dfrac{{BC}}{{BE}} = \dfrac{{BK}}{{BA}} = \dfrac{3}{4}$ και έτσι

Αν $CT = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EH = a$ θα είναι $\boxed{a = \dfrac{4}{3}y}\,\,(2)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{HT = \frac{1}{4}TB = \frac{8}{3}}\,\,(3)$ .

: Ημικύκλια_Φάνης.png (32.52 KiB) Προβλήθηκε 385 φορές

Αλλά $C{T^2} = OT \cdot AT = 8 \Rightarrow \boxed{CT = 2\sqrt 2 }\,\,(4)$

Το ζητούμενο εμβαδόν προκύπτει αν από το εμβαδόν του τραπεζίου EHOZ

αφαιρέσω τα εμβαδά των τραπεζίων $EHTC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CTOZ$ και προκύπτει :

$\boxed{(ECZ) = a + 8 - \frac{{7y}}{3} = 8 - 2\sqrt 2 }$

KARKAR · #5

: Λόγος Θεοφανίδη.png (16.17 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές

Προεκτείνω την

και ονομάζω

την τομή της με

το μεγάλο ημικύκλιο . Υπολογίστε το λόγο : $\dfrac{(ECS)}{(ACB)}$

#6

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ημικύκλια

Ημικύκλια

Re: Ημικύκλια

Re: Ημικύκλια

Re: Ημικύκλια

Re: Ημικύκλια

Re: Ημικύκλια

Μέλη σε σύνδεση